Квадратичная функция в строительстве и архитектуре доклад

Обновлено: 02.07.2024

3.2.Алгоритм построения графика функции у=а(х+m)2 + n.

«Что чувство удивления – могучий источник желания знать:

Введение

В 8 классе на уроке алгебры мы впервые встретились с квадратичной функцией. Я считаю, что рассмотреть свойства этой функции и понять их с помощью графика легче.

Если рассмотреть, как абстрактные математические понятия встречаются в действительности, то предмет математики становится интересней, а наши знания более осмысленными и глубокими.

В настоящее время очень популярны нестандартные задачи, нестандартные решения и применения; я считаю, что квадратичная функция и парабола относится к разряду таких применений; поэтому выбранная мной тема актуальна.

Цель исследования: изучение некоторых свойств квадратичной функции и особенностей ее графика.

Задачи исследования:

1. Изучить роль математики в развитии цивилизации и культуры.

2. Ознакомиться с оптическими свойствами параболы, рассмотреть их применение в технике, быту.

3. Изучить некоторые свойства квадратичной функции.

4. Исследовать квадратичную функцию и составить алгоритм построения графика квадратичной функции, основываясь на её свойствах.

Объект исследования: квадратичная функция и парабола.

Предмет исследования: влияние разных коэффициентов на внешнюю форму параболы.

Гипотеза: Я предполагаю, что квадратичная функция y=ax^2+bx+c , как математическое выражение, обладает действительно неожиданными свойствами и способами применения.

В своей работе я использовала следующие методы:

1) сбор и анализ литературы по теме;

4) работа с помощью программы Microsoft Office Excel.

Основными этапами исследования были:

· овладение методикой построение графиков с помощью программы Microsoft Office Excel,

· проведение опытов по построению квадратичной функции и параболы,

· обобщение полученных данных и разработка алгоритма построения графика квадратичной функции.

I. Уникальное свойство параболы.

Парабола в древности и до наших дней.

Согласно легенде, в 212 году до н.э., Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Этот день уцелевшим римлянам запомнился на всю жизнь. Почти полтысячи маленьких солнц вдруг загорелись на крепостной стене. Сначала они просто ослепляли, но через некоторое время произошло нечто фантастическое: передовые римские корабли, подошедшие к Сиракузам, один за другим вдруг начали вспыхивать, как факелы. Бегство римлян было паническим. Так для защиты своего города Архимед использовал оптическое свойство параболы (Приложение 1, рис.1).

Практическое применение параболы.

В технике.

Параболоид обладает следующим свойством:

· Все лучи, параллельные оси z, после отражения от параболоида собираются в одной точке – фокусе параболоида. На этом свойстве основано конструирование автомобильных фар, прожекторов, параболических антенн и других устройств с отражающими поверхностями, имеющими формы параболоидов (Приложение 2, рис.1).

Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, и отражаясь собираются в его фокусе. Если поместить туда фотопластинку, то получаем возможность усилить световой поток, идущий от звезды. На этом основана идея телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения.

В нашей стране существуют прожекторные полки, предназначенные для обеспечения боевых действий частей истребительной авиации зоны ПВО. В 1932 году в Москве формируется первый территориальный прожекторный полк. Такой полк охранял воздушные рубежи над Москвой в первые дни войны, создавая световые поля в которые то и дело врывались вражеские самолеты. На подступах к Москве самолеты противника были встречены нашими ночными истребителями и организованным огнем зенитной артиллерии. В результате этого было сбито более 200 самолетов противника. (Приложение 2, рис. 2).

Автомобильные фары - это тоже параболоид вращения.

(Приложение 2, рис.3).

Идя в ногу со временем, многие меняют телевизионную антенну. После того, как устанавливается новая параболическая, то убеждаются в том, что идет расширение диапазона, улучшение качества изображения, дальность приема передач. Эти изменения связаны с формой антенны (Приложение 2,рис.4). Параболическую антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и облучателя. Электромагнитная энергия подводится к облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения, от которого направляется на основное зеркало. (Приложение 2, рис.5).

В космосе.

Некоторые космические тела, такие как кометы или астероиды, проходящие вблизи крупных космических объектов на высокой скорости, имеют траекторию движения в форме параболы. Скорость примерно равна 11,2 км/с и называется параболической или космической скоростью. Масса таких тел мала, а скорость велика. Поэтому они не захватываются гравитационным полем планет (звезд) и продолжают свободный полет. Это свойство малых космических тел используется при гравитационных маневрах космических кораблей.

А для тренировок будущих космонавтов, на земле проводятся специальные полеты самолетов по траектории параболы, чем достигается эффект невесомости в гравитационном поле земли (Приложение 2,рис.6,7).

В медицине.

В медицине используется параболическое устройство, за счет которого удается разрушить камень в почках. Человека помещают на кресло, и подают электричество на параболическое устройство. Все лучи концентрируются в одной точке (фокус), фокус рассчитан на особое местонахождение (заранее). В данном случае это будет сам камень в почке (Приложение 2, рис.8).

Параболы в окружающем мире.

В природе.

Когда мы прикладываем руку к уху, чтобы лучше слышать, мы неосознанно формируем параболу в трех измерениях (Приложение 3, рис.1, 2).

В архитектуре.

Параболические формы можно встретить в архитектурных сооружениях.

-Использование математического знания о геометрии конических сечений наблюдается с древнейших времен. Вполне вероятно, что строители в прошлом пользовались в этой области знания интуитивно (Приложение 3, рис.3).

-Золотые ворота — один из немногих памятников оборонного зодчества Киевской Руси периода правления Ярослава Мудрого (Приложение 3, рис.4).

-Мост Золотые Ворота — висячий мост через пролив Золотые Ворота. Он соединяет город Сан-Франциско на севере полуострова Сан-Франциско и южную часть округа Марин, рядом с пригородом Саусалито. Мост Золотые Ворота был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года (Приложение 3, рис.5).

- Благодаря своей отражающей способности параболы используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. (Приложение 3, рис.6).

-Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Перевернутая цепная линия – это арка, которая держит сама себя и не требует никаких дополнительных опор. Ворота Сент-Луиса в Миссури – прекрасный пример такой арки (Приложение 3, рис.7).

-Знаменитый испанский архитектор Гауди обожал эту кривую и использовал во многих своих творениях, например, в Каса Мила в Барселоне (Приложение 3, рис.8).

-Над Марсовым полем в Париже возвышается всемирная знаменитость - Эйфелева башня, символ торжества металла в конце XIX века. Башня с удивительной легкостью вздымает на 300 с лишним метров 7 тысяч тонн металлических конструкций, словно сплетенных в удивительное кружево. Эйфелева башня - не только украшение Парижа, но и телевизионная вышка. (Приложение 3, рис.9).

- Стадион Фишт. На нем будет открытие и закрытие Олимпиады. А так же игры Чемпионата мира по футболу 2018г. (Приложение 3, рис.11).

Примеры решений задач по астрономии: Фокусное расстояние объектива телескопа составляет 900 мм, а фокусное .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Руководитель проекта:
Бадеева Ирина Николаевна
учитель математики, МБОУ СОШ №199

Новосибирск, 2019 – 2020 гг.

В современном понимании архитектура представляет собой искусство и науку с троить, проектировать здания и сооружения. Она, как любая сфера в жизни, требует прогресса и новшеств на протяжении многих столетий. Для развития данной области архитекторы ещё с древних времен обращаются к математике. Величайшие творения были созданы благодаря изучению этой науки. Но наше внимание привлекла парабола, которая не только невероятно красива собой, но и используется во многих постройках Новосибирска. Причём, не только в достаточно старых сооружениях, но и в новейших зданиях города. Именно поэтому выбранная нами тема является актуальной.

Общество становится всё более невнимательным к окружающим его творениям. Если рассмотреть, как абстрактные математические понятия встречаются в нашей жизни, то предмет математики становится интересней, а наши знания более осмысленными и глубокими.

Мы провели анкетирование и убедились в отсутствии навыка заметить часто встречающуюся параболическую форму в архитектурных сооружениях Новосибирска. Это и является проблемой нашей проектной работы.

Тип данного проекта – информационно-познавательный.

Объектом изучения является функция y = ax 2 и её график – парабола.

Предметом исследования работы являются архитектура города Новосибирска, в которой использована парабола, а также информация, несущая в себе историю, преимущества в использовании и необходимые умения для построения параболы.

Цель проектной работы – рассмотреть способы применения параболы в архитектурных сооружениях Новосибирска.

Для достижения поставленной цели будут решены следующие задачи:

1. Найти и ознакомиться с научной и художественной литературой, а также с архитектурными сооружениями Новосибирска, связанными с параболой.

2. Обобщить и систематизировать полученные данные в теоретической части проектной работы.

3. Ознакомить учащихся нашего класса и школы с проведёнными нами исследованиями.

Истоки параболы

Парабола известна математикам уже очень давно, а название этой функции дал древнегреческий математик Аполлоний Пергский в III в. до н.э., изучавший свойства сечений конуса.

Также изучением параболы занимались Архимед и Папп Александрийский. В дальнейшем разные учёные показали, что многие явления можно описать параболой, так, например, была открыта траектория движения снаряда.

Определение параболы

На основе изученного в 7 классе, мы можем сформулировать следующие определения:

Функциональная зависимость, или функция, – это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Аргумент – независимая переменная.

Функция аргумента – зависимая переменная.

График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Поскольку в учебнике алгебры за 7 класс дано достаточно узкое определение параболы, мы решили воспользоваться дополнительной информацией из Википедии:

Парабола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Функция y = ax 2 и её свойства

Парабола с вершиной в начале координат является графиком функции y = ax 2 .

Свойства функции y = ax 2

При a ≠ 0 ось y является осью симметрии параболы.
Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной.

Ветви параболы направлены вниз .

Ветви параболы направлены вверх .

Область определения функции D (ƒ) = ( – ∞; +∞).

Если x ≠ 0, то y > 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

Область значений функции E (ƒ) = ( – ∞; 0].

Область значений функции E (ƒ) = [0; +∞).

Функция принимает наибольшее значение y наиб. = 0 при x = 0

Функция принимает наименьшее значение
y наим. = 0 при x = 0

Способы построения параболы

I способ. Построение графика с помощью таблицы.

1. Составим таблицу значений x и y. (рис. 2)

2. Построим соответствующие точки по заданным координатам на координатной плоскости.
(рис. 3)

3. Соединим последовательно полученные точки линией. (рис. 4)

4. Полученный график – парабола.

II способ. Построение параболы с помощью линейки, карандаша, нити и булавки. (рис. 5)

На листе бумаги нужно закрепить линейку, ее край будет директрисой будущей параболы (рис. 6), в точке, которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника (рис. 7). Перемещая второй катет вдоль линейки (рис. 8) и, прижимая нить острием карандаша (рис. 9) к первому катету треугольника (рис. 10), мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки, т.е. параболу. (рис. 11, 12, 13)

Применение параболы в архитектуре Новосибирска

Парабола является узнаваемым элементом архитектуры настоящего и прошлого.

В архитектуре чаще встречаются сооружения и конструкции, в основе которых лежит парабола,
оси которой направлены вниз. Это не случайно, именно такая ее форма сочетает в себе
геометрическую красоту и механическую приспособленность к напряжениям и деформациям,
вызываемым весом сооружений, именно это ее свойство привлекало и сейчас привлекает
архитекторов использовать данную функцию при строительстве мостов и различных арок.

Симметричность же данной функции относительно оси абсцисс позволяет достигать равномерного распределения нагрузки, что способствует устойчивости и прочности сооружений, в
основе которых так или иначе лежит парабола.

В применении параболической дуги при постройке мостов и кровельных перекрытий можно различать не менее четырех различных типов. Первый тип представляют висячие (цепные) мосты с тросами, провисающими по кривой параболической формы (рис. 14). Ко второму
типу относим тот случай, когда вершина параболической арки находится под проезжей
частью (рис. 15). У мостов третьего типа параболическая арка пересекает проезжую часть
(рис. 16).
Наконец, сооружения, у которых параболическая арка целиком расположена над путем, как в случае перекрытий, принадлежат к четвертому типу (рис. 17).

В Новосибирске мы можем наблюдать примеры четвёртого типа – Бугринский мост через Обь, Комсомольский железнодорожный мост (рис. 18), Первый железнодорожный мост через Обь
(рис. 19).

Примером второго типа в нашем городе служит Октябрьский (Коммунальный) мост (рис. 20).

Исследуя архитектуру Новосибирска, мы также встретили множество сооружений, в основе которых лежит парабола.

Новосибирский театр оперы и балета (рис. 21) – основан в 1945 году.

Новосибирский областной театр кукол (рис.22) – основан в 1933 году.

Новосибирский театр музыкальной комедии (рис. 25) – основан в 1959 году.

Новосибирский государственный краеведческий музей (рис. 26) – основан в 1920 году.

Новосибирский государственный художественный музей (рис. 27) – основан в 1957 году.

Музей Н.К. Рериха (рис. 28) – основан в 2007 году.

Здание городского торгового комплекса (рис. 29) – основан в 1910 году.

Магазин наследников Жернакова (рис. 30) – основан в 1912 году.

Реальное училище (рис. 31) – основано в 1707 году.

Андреевская школа (рис. 32) – основана в 1912 году.

Церковь вознесения Господня (рис. 33) – основана в 1913 году.

Храм во имя Александра Невского (рис. 34) – основан в 1895 году.

Церковь святой Ефросинии Полоцкой, которая находится на МЖК (рис. 35) – основана в 2002 году.

Также параболическая форма конструкций используется для равномерного распределения нагрузки в метро (рис. 36).

Можно смело сказать, что парабола действительно часто встречается в архитектурных сооружениях Новосибирска, всё вышеперечисленное это лишь доказывает.

Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Темы исследований

Оформление работы

Наш баннер

Сайт Обучонок содержит исследовательские работы и проекты учащихся, темы творческих проектов по предметам и правила их оформления, обучающие программы для детей.

Код баннера:

Исследовательские работы и проекты

Параболы в арочных мостах

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Параболы в арочных мостах" автором была поставлена цель, изучить материал о свойствах квадратичной функции и ее графика - параболы, исследовать графики квадратичной функции в арочных мостах Санкт-Петербурга.

Подробнее о работе:

В ученической исследовательской работе по математике "Параболы в арочных мостах" автором было дано определение понятие "парабола" и приведены сведения из истории мостостроения в России с XII по XIX века. В работе подробно описываются виды мостов, автор останавливается на изучении принципа строительства мостов арочного вида.

Учебная исследовательская работа по математике на тему "Параболы в арочных мостах" будет интересна учащимся 9 класса, рассматривает теоретическую базу о построении арочных мостов с применением принципа параболы. В работе исследуется парабола в мостостроении, проводится анализ построения Санкт-Петербургских арочных мостов: Казанского, Синего, Троицкого, моста в Юсуповском саду и Арки-галереи над Зимней канавкой.

В исследовательском проекте по математике представлена теория квадратичной функции и ее графика, найдены арочные мосты в Петербурге и представлены их фотографии. На фотографиях арочных мостов города Санкт-Петербурга автор схематично изобразил параболу, расположенную на оси координат, и произвел вычисление уравнений графиков квадратичной функции, изучил их свойства.

Введение
1. Что такое парабола?
1.1. Парабола – график квадратичной функции.
1.2. Из истории мостостроения в России с XII по XIX века.
1.3. Виды мостов.
1.4. Арочные мосты.
2. Парабола в мостостроении.
2.1. Казанский мост.
2.2. Арка-галерея над Зимней канавкой.
2.3. Мост в Юсуповском саду.
2.4. Синий мост.
2.5. Троицкий мост.
Заключение
Используемая литература
Приложения

Введение

Ни одного архитектурного сооружения в нашем мире не существовало бы без предварительных точных расчетов, которые помогает делать наука под названием математика. В повседневной жизни довольно часто нам встречаются дугообразные конструкции; эта форма широко распространена не только из-за эстетичного внешнего вида, но и из-за способности выдерживать нагрузки, вызываемые весом самого сооружения и дополнительными факторами (сейсмическая активность в регионе, транспорт и т.д.). К таким сооружениям относятся арки, купола храмов, акведуки, однако в этой работе будут рассмотрены мосты Санкт-Петербурга.

Изучить материал о свойствах квадратичной функции и ее графика- параболы.
Исследовать графики квадратичной функции в арочных мостах Санкт-Петербурга.

Для достижения цели я поставила следующие задачи:

Изучить литературу про мосты Санкт-Петербурга.
Изучить теорию квадратичной функции и ее графика.
Найти арочные мосты в Петербурге.
Сфотографировать эти мосты.
Овладеть методикой задания уравнениями графиков квадратичной функции и исследовать их свойства.

Объект исследования: арочные мосты Санкт-Петербурга

Предмет исследования: свойства параболы, применяемые при строительстве арочных мостов Санкт-Петербурга

Продукт научно-исследовательской работы: презентация, включающая фотографии мостов Санкт-Петербурга, сделанные автором.

Парабола

Термин функция (от лат. function – исполнение, совершение) впервые был введен немецким ученым Г. Лейбницем в конце 17 века. Функцией называется зависимость между двумя переменными x и y, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. Одним из способов задания функции является график. Графиком функции называется множество точек в системе координат, абсциссы которых равны аргументу, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Существует довольно много видов функций: линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и другие, каждая из них задается уравнением и графиком. Линейная функция задается прямой, квадратичная – квадратичной параболой, степенная функции вида у=х2k+1 (где k – натуральное число) - кубической парабола, функция вида y – гиперболой и тд. В данной работе будут рассмотрены исключительно квадратичная функция и ее график.

Функция вида y=ax2+bx+c, где a, называется квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки.

Чтобы построить график функции вида y=ax2+bx+c, нужно найти координаты вершины графика.

Х вершины = (-b)/2a; для нахождения у вершины нужно подставить значение найденного x в данное уравнение;

график функции y=ax2+bx+c получается из графика функции у=aх2 сдвигом в точку (х вершины; у вершины).

Довольно часто мы сталкиваемся с параболическими формами. Например, во время или после дождя мы наблюдаем радугу. В лепестках некоторых цветов, в очертании горных хребтов и вершин можно разглядеть параболу.

Парабола в колокольчике

Гуляя по городу, мы часто видим дугообразные конструкции. Архитекторы используют параболическую форму в проектировании арок, мостов, куполов, потолков. Во-первых, именно такая форма придает эстетичный вид, во-вторых, параболическим конструкциям присуща прочность, потому что сила, создаваемая нагрузкой на мост или арку, не толкает вниз, а распределяется вдоль дуги, то есть эти строения поддерживают сами себя. В куполах всех храмов и церквей используется этот же принцип. В данной работе будут рассмотрены мосты в Санкт-Петербурге.

Прежде чем рассматривать виды мостов и их преимущества, познакомимся с историей мостостроения в России.

Из истории мостостроения в России с XII по XIX века

Наплавные мосты состояли из закрепленных между собой плотов и лодок. Именно наплавные мосты были наиболее распространены в России в этот период из-за простоты и дешевизны конструкции.

Возводной мост, прилегавший к городской стене, делался подъемным. Первое указание относительно употребления таких мостов относится к 1229 году. Механизм, приводивший мост в движение, состоял из коромысла, который вращался между столбами, и цепей.

Первый каменный мост начали строить в 1643 году при Михаиле Федоровиче Романове, однако в связи со смертью царя в 1645 году строительство было остановлено. Только в 1687 году первый каменный мост был открыт.

С воцарением Петра Великого инженерное искусство развивалось неимоверно быстро, но при царе мостов не строилось. Петр I воспринимал Петербург как крупнейший порт, куда прибывали суды всех стран Европы, а мосты мешали судоходству. Также в городе на Неве ежегодно случались наводнения и штормовые бури, которые могли повредить конструкции. Но все же Петр I сделал исключение, издав приказ о строении деревянного моста, соединявшего Березовый и Заячий острова, с целью транспортировки грузов к Петропавловской крепости.

В царствование Екатерины I в 1727 году был возведен первый наплавной мост через Неву. При Анне Иоанновне возвели несколько каменных мостов на сваях, например, Симеоновский через Фонтанку, оформленный под каменный арочный мост. Остальные мосты через Мойку и Фонтанку построены в период времени 1742-1749гг., т.е. во время правления Елизаветы Петровны. При ней же был возведен Исаакиевский мост(рис.4).

При Екатерине II в Петербурге началась замена деревянных мостов на каменные на реке Фонтанке, строение Казанского и Каменного мостов через Екатерининский канал[2], в Москве через реку Яузу был возведен Дворцовый мост. С началом строительства в 1817 году Петербурго-Московского шоссе появилось множество каменных мостов, пролеты которых могли достигать 9 саж[3]. В 40-х годах строилось несколько каменных мостов в Тифлисе[4], например, Михайловский мост с пролетом в 15 саж (32м).

Чугунные арочные мосты впервые появились в 1806 году в Петербурге при Александре I, это были первые металлические мосты в России. Были построены Полицейский, Красный, Синий, Поцелуев, Мало-Семеновский мосты.

Цепные мосты введены в Россию в 1822 году по предложению французских инженеров. Распространение таких мостов захватило период с 1824 по 1853 год. К цепным мостам относятся Пантелеймоновский, пешеходные через Екатерининский канал и Мойку, Египетский, проволочный Лиговский через Западный Бур в Брест, мост через Нарву в Ивангород, Киевский через Днепр и Островский через реку Великую.

До 1873 года из подвижных мостов с постоянными опорами применялись только подъемные с горизонтальной осью вращения. Поворотные мосты появились в первые в 1850 году при строительстве Николаевского моста в Петербурге и цепного моста в Киеве в 1853 году.

В 7 классе на уроке алгебры мы впервые встретились с квадратичной функцией. Мы считаем, что рассмотреть свойства этой функции и понять их с помощью графика легче.

В настоящее время очень популярны нестандартные задачи, нестандартные решения и применения; мы считаем, что квадратичная функция и парабола относится к разряду таких применений; поэтому выбранная нами тема актуальна.

Цель исследования: и зучение некоторых свойств квадратичной функции и особенностей ее графика.

Объект исследования: к вадратичная функция и парабола.

Предмет исследования: влияние разных коэффициентов на внешнюю форму параболы.

Задачи исследования :

1. Изучить роль математики в развитии цивилизации и культуры.

2. Ознакомиться с оптическими свойствами параболы, рассмотреть их применение в технике, быту.

3. Изучить некоторые свойства квадратичной функции.

В своей работе мы использовали следующие методы:

1) сбор и анализ литературы по теме;

4) работа с помощью программы Microsoft Office Excel .

Основными этапами исследования были:

· овладение методикой построение графиков с помощью программы Microsoft Office Excel,

· проведение опытов по построению квадратичной функции и параболы,

· обобщение полученных данных и разработка алгоритма построения графика квадратичной функции.

1.1.Парабола в древности и до наших дней

1.2.Практическое применение параболы

В технике

Параболоид обладает следующим свойством :

· Все лучи, параллельные оси z , после отражения от параболоида собираются в одной точке – фокусе параболоида. На этом свойстве основано конструирование автомобильных фар, прожекторов, параболических антенн и других устройств с отражающими поверхностями, имеющими формы параболоидов (Приложение 2,рис.1).

Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, и отражаясь собираются в его фокусе. Если поместить туда фотопластинку, то получаем возможность усилить световой поток, идущий от звезды. На этом основана идея телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения.

В нашей стране существуют прожекторные полки, предназначенные для обеспечения боевых действий частей истребительной авиации зоны ПВО. В 1932 году в Москве формируется первый территориальный прожекторный полк. Такой полк охранял воздушные рубежи над Москвой в первые дни войны, создавая световые поля в которые то и дело врывались вражеские самолеты. На подступах к Москве самолеты противника были встречены нашими ночными истребителями и организованным огнем зенитной артиллерии. В результате этого было сбито более 200 самолетов противника. (Приложение 2,рис. 2).

Автомобильные фары - это тоже параболоид вращения.

(Приложение 2,рис.1).

Идя в ногу со временем, многие меняют телевизионную антенну. После того, как устанавливается новая параболическая, то убеждаются в том, что идет расширение диапазона, улучшение качества изображения, дальность приема передач. Эти изменения связаны с формой антенны (Приложение 2,рис.4). Параболическую антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и облучателя. Электромагнитная энергия подводится к облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения, от которого направляется на основное зеркало. (Приложение 2,рис.5).

В космосе

В медицине.

1.3.Параболы в окружающем мире

В природе

Когда мы прикладываем руку к уху, чтобы лучше слышать, мы неосознанно формируем параболу в трех измерениях (Приложение 3, рис.1,2).

В архитектуре

Параболические формы можно встретить в архитектурных сооружениях.

· Использование математического знания о геометрии конических сечений наблюдается с древнейших времен. Вполне вероятно, что строители в прошлом пользовались в этой области знания интуитивно (Приложение 3,рис.3).

· Золотые ворота — один из немногих памятников оборонного зодчества Киевской Руси периода правления Ярослава Мудрого (Приложение 3,рис.4).

· Мост Золотые Ворота — висячий мост через пролив Золотые Ворота. Он соединяет город Сан-Франциско на севере полуострова Сан-Франциско и южную часть округа Марин, рядом с пригородом Саусалито. Мост Золотые Ворота был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года (Приложение 3,рис.5).

· Благодаря своей отражающей способности параболы используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. (Приложение 3,рис.6).

· Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Перевернутая цепная линия – это арка, которая держит сама себя и не требует никаких дополнительных опор. Ворота Сент-Луиса в Миссури – прекрасный пример такой арки (Приложение 3,рис.7).

· Знаменитый испанский архитектор Гауди обожал эту кривую и использовал во многих своих творениях, например, в Каса Мила в Барселоне (Приложение 3,рис.8).

· Над Марсовым полем в Париже возвышается всемирная знаменитость - Эйфелева башня, символ торжества металла в конце XIX века. Башня с удивительной легкостью вздымает на 300 с лишним метров 7 тысяч тонн металлических конструкций, словно сплетенных в удивительное кружево. Эйфелева башня - не только украшение Парижа, но и телевизионная вышка. (Приложение 3,рис.9).

· Стадион Фишт. На нем будет открытие и закрытие Олимпиады. А так же игры Чемпионата мира по футболу 2018г. (Приложение 3,рис.11).

2.1.Построение параболы.

Первый способ.

Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его большой стороны точку F. Сложим лист так, чтобы точка F совместилась с какой-нибудь точкой D на большой стороне, и на бумаге образовалась линия сгиба a. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FD и, следовательно, касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку F с другой точкой большой стороны. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к параболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму параболы (Приложение 4, рис. 1).

Второй способ.

На листе бумаги нужно закрепить линейку (ее край будет директрисой будущей параболы), в точке , которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки и, прижимая нить острием карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки , т.е. параболу (Приложение 4, рис. 2). Оказывается, что парабола график квадратичной функции — обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую — ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.

Третий способ.

Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:

1. Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;

2. Через точку K перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD₁;

3. Отрезок KF делят пополам, получают вершину 0 параболы;

4. От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;

5. Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;

6. На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;

7. Полученные точки соединяют плавной кривой (Приложение 4, рис. 3).

2.2.Понятие квадратичной функции и ее свойства

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя не будет голодать; чем сильнее натянуть тетиву лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет пещера. Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство гигантских пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций у= 1/х, у=х², у=х³, у=х²+х³. Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650г.г.). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.

С квадратичной функцией мы уже имели дело при работе с некоторыми формулами на уроках геометрии и физики. Например, формула S=πr² задаёт площадь круга как квадратичную функцию его радиуса r. Формула S=a² задаёт площадь квадрата как квадратичную функцию его стороны.

Квадратичная функция

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с - свободный член.

3.1.Зависимость графика параболы от коэффициентов

Известно, что компьютер – инструмент, который работает с конкретными математическими моделями, поэтому мы создали математическую модель квадратичной функции у=а(х+ m ) 2 + n .

Для построения графика функций мы использовали программу Microsoft Office Excel .

Необходимо выяснить как коэффициенты а, m , n влияют на внешнюю форму графика функции.

Исследование 1. Сравним графики функции при положительном и отрицательном значении коэффициента a . Примем а=1 и построим графики функций у = х 2 и у =- х 2 . (Приложение 5, рис. 2)

Оказалось, что парабола у = x 2 обладает следующими основными свойствами:

1) График функции целиком в верхней полуплоскости, принимает только неотрицательные значения. В начале координат парабола касается оси абсцисс. Это самая низкая точка графика.

2) Парабола симметрична относительно оси ординат. Это служит графической иллюстрацией того, что функция у = x 2 не меняет своих значений при изменении знака у аргумента: (— x) 2 = x 2 . Такие функции называются чётными.

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы направлены вверх.

Если старший коэффициент a

Вывод: график функции у =- х 2 можно получить из графика у = х 2 с помощью симметрии относительно оси Х.

Исследование 2. Сравним графики функции при различных целых значениях коэффициента ç a ç > 1. Построим графики функций у = х 2 и у = 2х 2. (Приложение 5, рис. 3).

Мы заметили что, график стал уже. Из построенного графика мы видим, что парабола растягивается относительно оси абсцисс. А такое преобразование на математическом языке называется - растяжением.

Исследование 3. Сравним графики функции при различных значениях коэффициента 0 a 1 . Построим графики функций у = х 2 и у = 1/2 х 2

График функции у = 1/2х 2 стал шире по отношению с основным графиком. А такое преобразование на математическом языке называется - сжатием графика (Приложение 5 рис. 4).

Исследование 4. Сравним графики функции при различных значениях коэффициента n . Построим графики функций у = х 2 +2 и у = х 2 – 2. (Приложение 5, рис. 5)

Любая точка графика y = х 2 +2 с абсциссой X находится на 2 единицы “выше”, чем точка графика y = х 2 с той же самой абсциссой; а график функции y= х 2 + 2 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вверх”.

Любая точка графика y = х 2 – 2 находится на 3 единицы “ниже”, чем точка графика y = х 2 с той же самой абсциссой; а график функции y= х 2 – 2 можно получить из графика y = х 2 параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вниз”.

Вывод: График функции y₁= f(x)+ n , а 0 можно получить из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на | n | единиц “вниз”, если n | n | единиц “вверх”, если n >0.

Исследование 5. Сравним графики функции y = f(x) и y = f(x-m) при различных значениях коэффициента m, где m – произвольное число. Построим графики функций: y = (x-3) 2 , y = (x+3) 2 . (Приложение 5, рис. 6)

Любая точка графика y=(х-3) 2 находится на 3 единицы “правее”, чем точка графика y =х 2 , а график функции y= (x-3) 2 можно получить из графика функции y =х 2 “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

Вывод: график функции y= f(x+ m ) можно получить из графика функции y = f(x), “сдвинув” его на | m | единиц вправо вдоль оси абсцисс, если m | m | единиц влево вдоль оси абсцисс, если m >0.

С помощью электронных таблиц мы построили графики функций, пронаблюдали за последовательностью построения графиков и составили алгоритм построения графиков функций данной модели.

3.2.Алгоритм построения графика функции у=а(х+ m ) 2 + n

Используя алгоритм, мы определили вид графика функции

1. График симметричен графику функции у=х 2 относительно оси ОХ Ветви направлены вниз.

2. Сжатие графика в 2 раза

3. График сдвинут на 4 единицы вправо.

4. График сдвинут на 7 единиц вверх. (Приложение 5, рис. 7)

В процессе нашей работе мы познакомились с историей открытия параболы, углубили свои знания о различных её свойствах, о способах построения параболы; выяснили как коэффициенты влияют на внешнюю форму графика функции; составили алгоритм построения графиков функций модели у=а(х+ m ) 2 + n .

Изучили значимость творческого опыта в области алгебры на примерах практического применения свойств данной кривой в различных сферах деятельности человека.

Для многих людей математика является трудной и непонятной, но мы считаем, что если подробнее изучить математические понятия и применение их в жизни, то математика становится интересной, а наши знания более осмысленными и глубокими.

Читайте также:

Квадратичная функция в строительстве и архитектуре доклад

Темы исследований

Оформление работы

Наш баннер

Исследовательские работы и проекты

Параболы в арочных мостах

Подробнее о работе:

Оглавление

Введение

Парабола

Парабола в колокольчике

Из истории мостостроения в России с XII по XIX века

1.1.Парабола в древности и до наших дней

1.2.Практическое применение параболы

1.3.Параболы в окружающем мире

2.1.Построение параболы.

2.2.Понятие квадратичной функции и ее свойства

3.1.Зависимость графика параболы от коэффициентов