Геометрический смысл производной доклад
Обновлено: 05.05.2024
Проведен анализ геометрического смысла производной. Выявлено, что производная функции в точке связана с углом наклона касательной, проведенной к графику функции в рассматриваемой точке. Дано определение касательной, и получено ее уравнение. Рассмотрены случаи, когда производная равна бесконечности.
Геометрический смысл производной
1. Если существует конечная производная функции в точке , то она равна тангенсу угла между осью абсцисс x и наклонной касательной, проведенной к графику функции в точке . При этом угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке , а уравнение касательной имеет вид:
.
2. Если производная функции в точке равна бесконечности: , то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
.
Исследование геометрического смысла производной
Исследуем геометрический смысл производной функции при некотором, заранее заданном значении аргумента . Считаем, что функция имеет конечную производную в . Тогда существует окрестность точки , в которой функция определена и имеет конечные значения. Проводим оси координат. По оси абсцисс будем откладывать значения переменной x ; по оси ординат – значения переменной y . Строим график функции в окрестности точки .
Отмечаем точку , где . Выбираем на графике произвольную точку , где .
Тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению ее аргумента.
Проводим через и секущую . Далее через проводим прямую, параллельную оси x , а через – параллельную оси y . Точку пересечения этих прямых обозначим как A .
Треугольник – прямоугольный. Пусть α – угол между сторонами и . Тогда
.
Но . Отсюда
(1) .
Поскольку прямая параллельна оси x , то угол α является углом между секущей и осью абсцисс x .
Производная функции в x 0 равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс: f′ ( x 0) = tg α .
Теперь выполним предельный переход . При этом точка будет стремиться к , приближаясь к ней сколь угодно близко. Сама секущая также будет меняться, поворачиваясь вокруг точки . При она будет стремиться к некоторой предельной прямой, которую мы назовем касательной к графику в точке . Угол наклона α касательной мы найдем из (1), устремляя , и воспользовавшись определением производной:
.
Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла между касательной, проведенной через эту точку, и осью абсцисс.
Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом , и проходящей через точку имеет вид:
.
Подставляя , получаем уравнение касательной к графику в точке :
.
Определение касательной
Выше мы провели исследование, и пришли к новому геометрическому объекту – прямой, к которой стремятся секущие при устремлении к . Мы назвали этот объект касательной к графику. В классической геометрии такого объекта нет. Он появляется только в результате применения методов математического анализа. Поэтому мы должны дать его четкое математическое определение.
Касательная к графику функции Пусть точки и принадлежат графику функции . Проведем через них секущую . Касательной к графику функции в точке называется прямая, уравнение которой получается из уравнения секущей при стремящемся к .
Наклонная касательная – это касательная, угол α которой с осью абсцисс заключен в интервале . Уравнение наклонной касательной имеет вид:
,
где – угловой коэффициент – действительное число.
Вертикальная касательная – это касательная, параллельная оси ординат. Уравнение вертикальной касательной имеет вид:
.
Секущая – это прямая, которая пересекает кривую как минимум в двух точках.
Теорема о геометрическом смысле производной
1. Если существует конечная производная функции в точке , то она равна тангенсу угла между осью абсцисс x и наклонной касательной, проведенной к графику функции в точке . При этом угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке , а уравнение касательной имеет вид:
.
2. Если производная функции в точке равна бесконечности: , то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
.
Возьмем на графике функции произвольную точку , отличную от . Здесь . Проведем через точки и прямую, которая является секущей. Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. В наиболее общей форме оно имеет следующий вид:
(Т1) .
Выполняем предельный переход .
1. Пусть в точке существует конечная производная функции.
Перепишем уравнение (Т1) в эквивалентном виде учитывая, что :
.
Считаем, что x и постоянные, то есть заранее заданные числа. Выполняем предельный переход , применяя определение производной:
;
(Т2) .
Мы видим, что при , график секущей (Т1) преобразуется в прямую (Т2), которая является касательной по приведенному выше определению. Как видно из (Т2), касательная является прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом, равным производной функции в . Из аналитической геометрии известно, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла α между осью абсцисс и этой прямой. Тогда:
.
2. Пусть в точке производная функции равна бесконечности: .
Чтобы разделить уравнение (Т1) на покажем, что существует такая проколотая окрестность точки , в которой
при .
Введем обозначение: . Тогда
.
Согласно определению бесконечного предела функции это означает, что для любого числа M существует такая проколотая окрестность точки , в которой . Возьмем . Тогда существует проколотая окрестность , в которой , то есть в этой окрестности . Поскольку , то отсюда .
Далее рассматриваем в окрестности точки , на которой или, что тоже самое, . Перепишем уравнение (Т1) в эквивалентном виде учитывая, что :
.
Считаем, что y и постоянные. Выполняем предельный переход . По условию, . Применяем свойства бесконечно больших функций:
.
Тем самым мы нашли, что если , то касательная имеет вид
.
Это уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ординат.
Производная равна бесконечности
Если производная в равна бесконечности, то касательная вертикальна, но возможны три случая: 1) Производная равна плюс бесконечности: ; 2) производная равна минус бесконечности: ; 3) производная равна бесконечности без определенного знака: .
1) Если производная равна плюс бесконечности: , то угол между осью абсцисс и любой секущей, проходящей через точку положителен: , и стремится к при . Здесь подразумевается, что вторая точка графика , через которую проходит секущая, расположена достаточно близко к .
2) Если производная равна минус бесконечности: , то угол между осью абсцисс и любой секущей, проходящей через точку отрицателен: , и стремится к при .
3) Если производная равна бесконечности без определенного знака: , то углы наклона секущих, проходящих через вторую точку слева и справа от , имеют разные знаки.
- Производная.Рассмотрим некоторую функцию в двух точках и . Здесь через х обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: называется приращением функции. Производной функции в точке называется предел, к которому стремится отношение приращение функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (формула 1).
Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке . Производная функции обозначается (формула 2).
- Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции . Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
- Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).
- Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: . Её средняя скорость () находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5. Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что
Скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
- Производная.Рассмотрим некоторую функцию в двух точках и . Здесь через х обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: называется приращением функции. Производной функции в точке называется предел, к которому стремится отношение приращение функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (формула 1).
Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке . Производная функции обозначается (формула 2).
- Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции . Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
- Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).
- Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: . Её средняя скорость () находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5. Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что
Скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Производная функции − это результат дифференцирования функции.
Дифференцирование в математике — это процесс, при котором функция f превращается в другую функцию f’ ("производная от f").
Простыми словами, производная — это средний наклон между двумя точками:
Интегрирование — это обратный процесс, т. е. восстановление функции по данной производной.
Например, функция x² (на графике выше) является одним из интегралов от 2x (пунктирная синяя линия), поскольку производная x² равна 2x.
Геометрический смысл производной функции
Производная функции f(x) в данной точке — это наклон касательной f(x) в точке a, как показано на рисунке.
Эта прямая линия образует угол, который на данном рисунке мы назвали β и он зависит от наклона касательной (она является производной в данной точке). Таким образом: tan β = f´(a).
Физический смысл производной функции
Представьте точку, которая движется по прямой с постоянно меняющейся скоростью. Её скорость постоянно меняется, поэтому она рассчитывается в момент "t0". Для этого нам нужно рассчитать короткий промежуток времени Δt, а расстояние, которое точка пройдёт за это время будет ΔS.
Таким образом её скорость будет примерно ΔS / Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем точнее будет результат (скорость). Самую точную мгновенную скорость точки в момент t0 можно получить, если рассчитать предел Δt —>0. Таким образом:
Таблица производных функций
Как пользоваться этой таблицей?
Например, производная линейной функции a*x равна константе, стоящей вместе с переменной x, т. е.: (а*x)′ = а.
Или нужно найти производную функции f(x) = 2 cos x:
f’(x) = (2 cos x)’ = 2 (cos x)’ = 2 (– sin x) = –2 sin x
Как найти производную?
Пример 1
Степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1.
Пример 2
f(x) = 3x³ – 5x² + 6x − 5
f'(x) = 3*3x² – 2*5x¹ + 6 − 0
Пример 3
Нужно сначала раскрыть скобки:
f(x) = 2x² − 8x + x³ − 4x²
Теперь можно приступать к поиску производной, как и в предыдущих примерах степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1:
Пример 4
Переведём сначала корень в степень:
Теперь можно производить вычисления производной с обычной формулой степеней:
Можно остановиться здесь, но бывает, что ответ с корнем в знаменателе не считается совсем правильным, поэтому умножаем всю вторую дробь на "√x/√x".
Значит правильный и "красивый" ответ:
Пример 5
f(x) = sin x − cos x
Из таблицы мы знаем:
Так как это вычитание, осталось только подставить:
f´(x) = (sin x − cos x)´
f´(x) = cos x − (− sin x)
f´(x) = cos x + sin x
Сложные функции — примеры
Правило сложной функции:
(u (v))´ = u´ (v) * v´
Пример
1. Сначала нужно разобраться, что "arctg x" является нашей простой (внутренней) частью функции, это наше “v” формулы.
2. Применяем формулу корня из таблицы в левой части, получится 1/2 √arctg x, оставляя правую нерешённой.
3. Применяем формулу arctg x из таблицы (1/ (1 + x²)).
4. Совмещаем и готово
4.1. Если хотите "красивый" ответ, нужно убрать корень из знаменателя, умножая всю эту дробь на √arctgx / √arctgx.
Получится √arctgx / (2 (1 + x²) arctgx)
Как определить знак производной?
1. Определить точки, в которых производная равна нулю (также называются критическими точками).
2. Начертить таблицу, в которую вставляются все критические точки, а между ними оставляются незаполненными по одному окошку.
3. Выбрать значения x до и после полученного интервала, подставить в производную. Если значение получилось больше нуля, то знак будет плюс, если меньше — минус.
Пример:
Её производная y’ = 2x – 6.
Расчёт критических точек:
Значит в нашей таблице будет только одна критическая точка x = 3, и оставим место на "до" и "после".
Далее выбираем любой x сначала меньше 3, а потом больше 3.
1. для x 3 выбираем, например, x = 4 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(4) = 2 * 4 – 6 = 2 >0, значит в таблицу записываем "+" (это означает, что в этой точке функция возрастает).
Вторая производная
Можно вычислить и "производную производной", обозначается она как y’’. Если использовать предыдущий пример:
- её производная y’ = 2x – 6
- вторая производная y’’ = (2x – 6)' = 2
Её физический смысл: это скорость изменения скорости движения точки, которая принадлежит графику функции.
Что такое композиция функций?
Иногда называется сложной функцией.
Сложная функция обычно записывается как (f o g) (x), т. е. можно "изобразить g (x) через f (x)" или наоборот.
Например, даны две функции: f (x) = 2x + 3 и g (x) = – x² + 5.
Требуется узнать (f o g) (x), это означает "f (g (x))".
Нужно подставить в функцию f (вместо x) функцию g
(f o g) (x) = f (g (x)) = f (–x² + 5) = 2 (–x² + 5) + 3 = – 2x² + 10 + 3 = – 2x² + 13
Если нужно узнать (g o f) (x), это "g (f (x))".
(g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 3) = – (2x + 3)² + 5 = – (4х² + 12x + 9) + 5 = – 4х² – 12x – 9 + 5 = – 4х² – 12x – 4
Читайте также: