Французский математик н орем и положительные дробные показатели степени доклад

Обновлено: 02.07.2024

Презентация на тему: " Учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Степень с рациональным показателем Историческая справка о понятии степени с рациональным показателем." — Транскрипт:

1 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Степень с рациональным показателем Историческая справка о понятии степени с рациональным показателем

2 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Некоторые наиболее встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер

3 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Из практики решения всех более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями Возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

4 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Равенство а 0 =1(для а 0)применял в своих трудах в начале XVв.самаркандский ученый аль-Каши

5 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Независимо от него нулевой показатель был введен Н.Шюке в XV. Он же ввел и отрицательные показатели степени.

7 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Николай Оре́м, или Николай Орезмский (до 1330 г., Нормандия 11 июля 1382 г. Лизье, Франция) католический богослов, епископ, один из наиболее известных французских философов и учёных XIV в.1330 Нормандия 11 июля 1382Лизье Франция философов

8 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Орем словесно формулирует правила действия со степенями Пример в современной записи: (а n ) 1/m =a n/m a 1/n *b 1/n =(ab) 1/n

10 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г.английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.Джон ВаллисИ. Ньютон

11 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Джон Валлис ( ) Исаак Ньютон ( )

12 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Новое определение степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В 1830 г. его высказал английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г.

13 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Герман Ганкель Книга Дж.Пикок

14 учитель Е.Н. Ханычева ФБОУ В(С)ОШ ЭВК Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется т.о. чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени. а именно:

Николай Оре́м, или Николай Орезмский (Nicolas Oresme, Nicholas Oresme, Nicole Oresme) (до 1330 г., Нормандия — 11 июля 1382 г. Лизье, Франция) — католический богослов, епископ, один из наиболее известных французских философов и учёных XIV в.

Содержание

Биография

В 1348 г. Николай Орем впервые упоминается в документах Парижского университета в качестве члена нормандской университетской корпорации и магистра факультета искусств. В пятидесятых годах, вплоть до 1361 г., он преподает в Наваррской коллегии, причем с 1356 г. получает звание grand maitre. К нему благосклонно относилась королевская семья, Николай стал воспитателем дофина, будущего короля Франции Карла V. В 1361 г. Николай Орезмский был архидиаконом в Байё, в 1362 г. — каноником в Руане. В 1370—1377 гг. по поручению короля Карла V он выполнил переводы с латинского на французский нескольких сочиненийАристотеля, снабдив их глоссами и комментариями, а именно: Никомаховой Этики (1370), Политики и Экономики (1374) и сочинения О небе (1377). В 1377 г. он был выбран епископом Лизье, где и проживал до своей смерти.

Научная деятельность

Вместе с Уильямом Оккамом и Жаном Буриданом Николай Орем был одним из наиболее почитаемых преподавателей и мыслителей своего времени. Он был решительным противником астрологии и получил известность благодаря своим переводам античных трудов на французский язык и преподавательскому дарованию.

Здесь внятно формулируется принцип относительности, причем в точности в том же виде, что у Галилея в XVII столетии. Тем не менее, окончательный вердикт Орема о возможности вращения Земли был отрицательным.

Новой для своего времени была идея Орема о том, что движение планет определено не Богом, сотворившим Землю, а равновесием природных сил. С другой стороны, Орем придерживался традиционных представлений о делении мира на подлунный и небесный.

В Трактате о конфигурации качеств Орем изобретает графическое представление для переменной величины, зависящей от пространственных координат либо от времени. Он изображает движение, откладывая по горизонтальной оси время, а по вертикальной — интенсивность движения в данный момент времени (то есть величину, которую впоследствии стали называть мгновенной скоростью). Он доказывает теорему о том, что тело, движущееся равноускоренным движением, проходит за данное время то же самое расстояние, которое прошло бы за это же время тело, движущееся равномерным движением со скоростью, равной средней скорости первого тела. Эти идеи Орема, равно как и мысленный эксперимент с движущимся кораблём, были впоследствии активно восприняты Галилеем.

Орему принадлежит математический трактат Algorismus proportionum (Вычисление пропорций), в котором он впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов.

Николай Орем внёс свой вклад в экономическую теорию, а точнее в денежную политику. В своей работе О происхождении, сущности и обращении денег он выдвинул идею о том, что право чеканить деньги принадлежит не суверену, а народу. Тем самым он противостоит растущей тенденции европейских правителей решать свои финансовые проблемы за счёт инфляции.

Николай Орем был выдающимся учёным и представителем философии Раннего Возрождения, повлиявшим на Николая Кузанского, Коперника, Галилея и Декарта.

Из практики решения все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Вместо нашего знака 2 он писал , вместо он писал. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи):

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно описал 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени·, а именно:

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого – при введении понятия умножения на дробь и т. п.

2. Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начиная с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений. Степенной функцией называют функцию вида

, где а - постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями а и вместо равенства запишем: где r -рациональное число. Для r=0 и r=1 по определению соответственно имеем: y=1, y=x.

Графиком первой из этих функций на ПЛОСКОСТИ является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса l-го и 3-го координатных углов.

При r = 2 графиком функций является парабола у = х2. Декарт, который первое неизвестное обозначал через z, второе -через у, третье - через х, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

Декарт с помощью подстановки

Получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

, изображающее окружность, расположенную в одной плоскости(zx) с параболой. Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (x), разбивает уравнение на два уравнения и , каждое из которых представляет собой определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения.

Декарт, как и Ферма, часто пользовался параболой и возможности окружностью для построения корней уравнений, так как старался прибегать к вспомогательным кривым более низкого порядка. Ньютон же, наоборот, руководствовался в таких случаях не степенью уравнения вспомогательной кривой, а легкостью ее вычерчивания. При графическом решении, например, уравнений 4-й степени предпочитал не параболу, а эллипс.

Не только при r= 2, вообще при r = 2п (т. е. r = 2, 4, 6,. ) график степенной функции есть парабола . Функция монотонно возрастает на полусегментеи убывает на полуинтервале ]. В интервале (0; 1) парабола у = х2 лежит ниже биссектрисы у=x. Парабола y= х2 расположена

При r=3 соответствующее уравнение изображает так называемую кубическую параболу. Эту кривую французский математик, отец начертательной геометрии, Г. Монж (1746-1818) использовал для построения действительных корней кубических уравнений. График этой функции, как и вообще степенной функции с натуральным нечетным показателем (у = х2п+1), говорит о том ,что функция монотонно возрастает на интервале (), т. е. при всех значениях х: при положительных значениях х значения функции положительно, а при отрицательных-отрицательны: кубическая парабола, как у=х2 , касается оси Ох. Кубическая парабола применяется в технике, например на железнодорожных линиях, как вставка, смягчающая крутой поворот от прямолинейного к круговому участку пути. Ньютон обобщил понятие параболы, назвав параболическими кривыми все линии, изображаемые уравнением

Ныне термин параболические кривые применяют обычно для линий изображаемых уравнением

Где с - положительное вещественное число, т - положительное рациональное. При m 0, x- любое действительное число.

Еще в 1679 г. Лейбниц в одном из своих писем к голландскому физику и математику Христиану Гюйгенсу рассматривал уравнения вида и т. п.

Одним из замечательных достижений Эйлера было установление связи между показательной и тригонометрической функциями.

Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Известно, например, что при распадении радиоактивного вещества его масса т уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз. Если обозначить через to (период полураспада) промежуток времени, необходимый для того, чтобы от первоначальной массы вещества осталась половина ее, то оставшаяся через t лет масса выразится так:

, т. е. радиоактивный' распад (изменение количества вещества в зависимости от времени) совершается по закону, выражаемому показательной функцией. Если, взять, к примеру, уран-238, то для него лет. Поскольку возраст Земли начисляется примерно в 5-7 млрд. лет, то можно утверждать, что в наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.

Другим примером может служить размножение живых организмов - явление, при описании которого прибегают к показательной функции.

Степень с натуральным показателем.

Пусть а – произвольное действительное число, а n – натуральное число, больше или равно 2. Тогда n-я степень числа а есть произведение n чисел ,каждое из которых равно а:

Число а в выражении называется основанием, а n – показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n–й степенью числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как

, но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи обычно опускают и пишут просто а.

Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна.

Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

Действительно, если а>0, то как произведение n положительных чисел положительно. Если а n

Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где (a, это все равно, что доказать формулу

Если m>n, то число m-n будет натуральным; следовательно, по теореме 1.

Теорема 2. доказана.

Следует обратить внимание на то, что формула

(a доказана нами лишь в предположении, что m>n. Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались

И мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению

Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основания степени прежним, то есть.

Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа.

Что и требовалось доказать.

Формулу иногда полезнее читать справа налево:

Определить x из уравнений:

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше то основание, которое больше. Другими словами, если a>b>0,

То при любом натуральным n

Пример. Какое число больше: ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

Так как 9>8, то. Следовательно,

Теорема 2. Если 0

Доказательство. Пусть m>n. Тогда m=n+k, где k- некоторое натуральное числа. Поэтому,

Если 0>a>1, то. Следовательно,

1. Данные выражения представьте в виде степеней с одинаковыми показателями, и сравнить их по величине:

2. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями и сравнить их по величине:

3. Что больше: или ?

Свойства степеней с целыми показателями

Свойства степеней с натуральными показателями:

Эти свойства оказываются справедливыми и для степеней с любыми целыми (положительными, отрицательными и нулевыми)показателями, если только числа a и b не равны нулю.

Докажем, например, что при a

Где, m и n - любые целые числа.

Поскольку для натуральных чисел m и n формула уже доказана, то нам остается рассмотреть 3 случая:

1) числа m и n отрицательны;

2) одно из чисел m и n положительно, а другое отрицательно;

3) хотя бы одно из чисел m и n равно нулю.

Случай 1. Пусть m и n – отрицательные числа. Тогда по определению степени с отрицательным показателем

Так как m и n отрицательны, то - m и –n положительны.

Значит,. Используя определения степени с отрицательным показателем запишем:

Случай 2. Один из показателей m и n положителен, а другой – отрицателен. Пусть, например, m>0, а n b>0 и n отрицательно, то, то есть из двух степеней с положительными основаниями и одинаковыми отрицательными показателями больше та, основание которой меньше.

Если а>1, то из двух степеней и больше та, показатель которой больше. Под m и n здесь подразумеваются любые целые числа, а не только натуральные.

2. При каком показателе n степень не зависит от основания a?

Извлечения корня из степени. Возведении корня в степень. Извлечение корня из корня.

Пусть а – произвольное положительное число, а m и n- натуральные числа, причем m делится без остатка на n. Тогда

Другими словами, верна следующая теорема.

Теорема 1. Чтобы извлечь корень из степени положительного числа, показатель которой делится нацело на показатель корня, достаточно показатель подкоренного выражения разделить на показатель корня, оставив основание степени прежним.

Доказательство. На основании правила возведения степени в степень имеем:

Но это и означает, что.

Теорема 2. Чтобы корень из положительного числа возвести в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное число, оставив показатель корня без изменения, то есть при a>0.

Если n – нечетное число, то формула верна и для a 0 и m, n, k – натуральные числа, то

2) если a>0 и k- общий делитель чисел m и n, то

Доказать формулу - это значит, что

По правилу возведения корня в степень

Показатель mkn степени делится нацело на показатель nk корня.

Следовательно, по теореме 1. Поэтому.

Это и означает, что.

Формула легко вытекает из.

Теорема 4. Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели этих корней, не изменяя подкоренного числа, то есть

Доказательство. По теореме 2

Величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного числа разделить на их общий множитель; поэтому Итак,.

Но по определению корня это и означает, что.

Общие свойства степенных функций.

Степенными функциями называются функции вида у =, где а и r - заданные действительные числа. Согласно этому определению показатель степени r может быть как рациональным, так и иррациональным. Но поскольку мы еще не знаем, что такое степень с иррациональным показателем, то пока ограничимся лишь случаем, когда число r рационально. Кроме того, мы будем считать, что а = 1. После того как функция у = будет изучена, исследование функции у= не представит особых затруднений.

Поскольку степеньс рациональным показателем r определена, вообще говоря, лишь для положительных значений Х, то и функцию у = мы будем рассматривать только для положительных значений аргумента х.

Степенные функции обладают следующим основными свойствами.

Свойство 1. При положительных значениях аргументах степенная функция у= принимает только положительные значения.

Действительно, если r =0, то =1>0. Если, где m и n - натуральные числа, то. Но x>0; значит, также больше нуля, потому и >0. Если , где m и n – натуральные числа, то.

Но следовательно, и

На рисунках 102-104 вы видите графики степенных функций у= при различных значениях r. Каждая из приведенных кривых расположена выше оси x. это и служит графическим подтверждением 1-го свойства степенной функции.

Имеем: : Так как , причем оба эти числа положительны. Поэтому и , то есть , или.

Так как , то по 2-му свойству степенной функции

Или , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если число r положительно, то при неограниченном приближении x к 0 соответствующие значения функции у= неограниченного приближаются к 0. При неограниченном возрастании x соответствующие значения функции у= неограниченно возрастают.

Если число r отрицательно, то при неограниченном приближении x к нулю соответствующие значения функции у= неограниченно возрастают; при неограниченном росте x соответствующие значения функции у= неограниченно приближаются к нулю.

Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1: а)б)в)

Вычислите: а) б) в) г)

Упростите выражение: а) б)

Представьте выражение в виде степени: а)

Сократите дробь: а)б) в)г) д) е)

Упростите выражение и найдите его значение: а) б)

Эта работа основана на реальных исторических фактах, которые подразумевают под собой историю развития степени. Через этот проект можно заметить развитие истории этих действий и увидеть научные изменения, которые были образованы много лет тому назад, до наших дней.

Благодаря этому проекту, учащиеся смогут развить умственный кругозор. Исторические сведения повысят интерес школьников к изучению математике. На уроках математике, на открытых уроках и различных мероприятиях просвещающих учащихся поможет распознать истинную историю развития степени.

ОРЕМ (Оресм) (Oresme) Никола (ок . 1323-82), французский ученый. Разрабатывал теорию отношений, ввел дробные показатели степени. С именем Орема связывают первые попытки построения системы прямолинейных координат, введение понятий ускорения и средней скорости. Автор "Трактата о сфере". Труды по астрономии.

Смотреть что такое ОРЕМ в других словарях:

корень - ОР; окончание - ЕМ; Основа слова: ОРВычисленный способ образования слова: Бессуфиксальный или другой∩ - ОР; ⏰ - ЕМ; Слово Орем содержит следую. смотреть

- (Оресм) (Oresme) Никола (ок. 1323-82) - французский ученый.Разрабатывал теорию отношений, ввел дробные показатели степени. С именемОрема связывают первые попытки построения системы прямолинейных координат,введение понятий ускорения и средней скорости. Автор ""Трактата о сфере"".Труды по астрономии. смотреть

ОРЕМ (ORESME) НИКОЛА

ОРЕМ (Оресм) (Oresme) Никола (ок. 1323-82) - французский ученый. Разрабатывал теорию отношений, ввел дробные показатели степени. С именем Орема связывают первые попытки построения системы прямолинейных координат, введение понятий ускорения и средней скорости. Автор "Трактата о сфере". Труды по астрономии.
. смотреть

ОРЕМ ЗЕМЛЮ ДО ГЛИНЫ, А ЕДИМ МЯКИНУ.

Орем землю до глины, а едим мякину.См. РАБОТА - ПРАЗДНОСТЬ

ОРЕМ НИКОЛА

Орем, Оресм (Oresme) Никола (около 1323, Орем, Нормандия, — 1382, Лизьё), французский математик, физик и экономист. С именем О. связана одна из первых . смотреть

ОРЕМ (ОРЕСМ) (ORESME) НИКОЛА (ОК . 132382)

ОРЕМ (ОРЕСМ) (ORESME) НИКОЛА (ОК. 132382)

ОРЕМ (Оресм) (Oresme) Никола (ок. 1323-82), французский ученый. Разрабатывал теорию отношений, ввел дробные показатели степени. С именем Орема связывают первые попытки построения системы прямолинейных координат, введение понятий ускорения и средней скорости. Автор "Трактата о сфере". Труды по астрономии. смотреть

ОРЕМ (ОРЕСМ) НИКОЛА (ОКОЛО 13231382)

французский ученый, крупнейший представитель средневековой экономической мысли. В своем лТрактате о происхождении, природе, юридическом основании и изменении денег

Словарь бизнес-терминов. Академик.ру . 2001 .

ОРЕМ (ОРЕСМ), НИКОЛА (ОКОЛО 13231382)

французский ученый, крупнейший представитель средневековой экономической мысли. В своем "Трактате о происхождении, природе, юридическом основании и изм. смотреть

Читайте также: