Доклад взаимное расположение двух окружностей

Обновлено: 30.06.2024

Этот материал познакомит учащихся со всеми вариантами взаимного расположения двух окружностей в пространстве. А также научит определять взаимное расположение окружностей по соотношению расстояния между центрами окружностей с длинами их радиусов.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Взаимное расположение двух окружностей"

Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.

Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.

Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.

Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения. Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать, Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух точках.

Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей равны, то окружности совпадают.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией центров данной пары окружностей.

Решим несколько задач.

Задача. Как располагаются окружности, если:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача. Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно , а наибольшее равно . Найдите радиусы этих окружностей.

Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как . Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна см.

, .

Найдем радиусы окружностей.

Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между центрами окружностей и их радиусами.

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Взаимное расположение двух окружностей Могут не пересекаться – не иметь общих точек. Могут пересекаться – иметь две общие точки. Могут касаться – иметь одну общую точку.

Пересечение двух окружностей Первая окружность: О₁ - центр, r₁ - радиус Вторая окружность: О₂ - центр, r₂ - радиус r₁ O₁ О₂ r₂ О₁О₂ - расстояние между центрами окружностей О₁О₂ r₁ + r₂ Если окружности не пересекаются, то расстояние между их центрами больше суммы их радиусов.

Окружности касаются внешним образом Первая окружность: О₁ - центр, r₁ - радиус Вторая окружность: О₂ - центр, r₂ - радиус r₁ O₁ О₂ r₂ О₁О₂ - расстояние между центрами окружностей О₁О₂ = r₁ + r₂ Если окружности касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Окружности касаются внутренним образом Первая окружность: О₁ - центр, r₁ - радиус Вторая окружность: О₂ - центр, r₂ - радиус r₂ O₁ О₂ r₁ О₁О₂ - расстояние между центрами окружностей О₁О₂ = r₁ – r₂ Если окружности касаются внутренним образом, то расстояние между их центрами равно разности их радиусов.

Задачи №1. Радиусы окружностей равны 10 см и 24 см, а расстояние между центрами равно 30 см. Сколько точек пересечения имеют окружности? Решение: r₁=10 cм, r₂=24 cм, О₁О₂=30 см получаем r₁+ r₂=10см + 24 cм=34 см, видим, что О₁О₂ r₁+ r₂, значит окружности не пересекаются (смотри слайд 3)

Задачи №3. Две окружности касаются внешним образом. Радиус первой окружности 18 см, а второй 27 см. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. Решение: r₁=18 cм, r₂=27 cм, О₁О₂= ? окружности касаются внешним образом, значит : О₁О₂ = r₁+ r₂ получаем О₁О₂ = 18 см + 27 см=45 см (смотри слайд 4) №4. Две окружности касаются внутренним образом. Радиус первой окружности 49 см, а второй 12 см. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. Решение: r₁=49 cм, r₂=12 cм, О₁О₂= ? окружности касаются внутренним образом, значит : О₁О₂ = r₁– r₂ получаем О₁О₂ = 49 см – 12 см=37 см (смотри слайд 5)

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 605 122 материала в базе

Материал подходит для УМК

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

21.11.2018 2106
PPTX 125.5 кбайт
105 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Любимова Татьяна Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни

Время чтения: 2 минуты

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Одним словом необходимо выбрать 1 слово из 12, которые наиболее точно передают ваше состояние на уроке:

раздражение, злость, радость , покой , равнодушие, удовлетворение , вдохновение, скука, тревога, уверенность, неуверенность, наслаждение

Задача 1 .(ОГЭ)

Окружности с центрами в точках O 1 и O 2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n .

Задача 2. Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L , причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL . Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны .

Задача 3. Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке В . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В , пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке А . Найдите радиус второй окружности, если АВ = 6 .

Читайте также: