Доклад по теме окружность эйлера

Обновлено: 04.07.2024

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.

Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек, окружностью Теркема, окружностью n-точек, полуописанной окружностью.

Содержание

Теорема-определение [ | ]

Треугольник, описанная вокруг него окружность (черная) и её центр (чёрный), высоты треугольника (часть высоты, расположенная внутри окружности Эйлера, синяя, а вне — её чёрная) и окружность девяти точек (синяя) и её центр (синий)

Окружность девяти точек получила такое название благодаря следующей теореме:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Иначе говоря, окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх треугольников:

треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера — Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.

Доказательство теоремы [ | ]

В статье Лемма о трезубце приведено доказательство существования окружности Эйлера при помощи данной леммы.

Свойства [ | ]

Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
Таким образом, центр девяти точек служит центром симметрии, переводящей серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) [1]
Диаметр окружности девяти точек равен радиусу описанной окружности. есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

Последнее свойство гомотетичности (подобия) означает, что окружность девяти точек делит пополам любой отрезок, который соединяет ортоцентр с произвольной точкой, лежащей на описанной окружности. . Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника. [2] . [3] : треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг. Например, на рисунке выше теорема Мавло дает равенство: дуга IF=дуга HE+дуга GD.
В симметричном виде теорема Мавло может быть записана в виде: ⌣ I F + ⌣ H E + ⌣ G D = 2 max < ⌣ I F , ⌣ H E , ⌣ G D >. .>

Последнее свойство — аналог свойств для расстояний x , y и z от вершин дополнительного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). до точки Фейербаха, а не для дуг. Аналогичное соотношение также встречается в теореме Помпею. . Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник. Точкой Фейербаха считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно точка на окружности.

На описанной окружности треугольника A B C существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника A B C , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны) [4] . Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек [4] . Эта гипербола называется гиперболой Киперта, а её центр обозначен в энциклопедии центров треугольника как Х(115).
Если прямая ℓортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника. [5]
Если прямая ℓортополюсаP проходит через ортоцентрQ треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера (на окружности 9 точек) этого треугольника. [6]

Если ABCD — четырехугольник, вписанный в некоторую окружность. EFG — диагональный треугольник для четырехугольника ABCD. Тогда точка T пересечения бимедиан четырехугольника ABCD лежит на окружности девяти точек треугольника EFG.

Случаи взаимного расположения окружности девяти точек и описанной окружности [ | ]

В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек (или окружность Эйлера) может располагаться следующим образом:

Она касается описанной окружности в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
Она целиком лежит внутри описанной окружности, если треугольник остроугольный.
Она пересекает описанную окружность в двух разных точках, если треугольник тупоугольный.

История [ | ]

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между различными множествами и подмножествами. Такая схема помогает находить логические связи между явлениями и понятиями, она изобретена Леонардом Эйлером, используется в математике и других научных дисциплинах. Использование Кругов Эйлера упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. (1),(2)

Круги Эйлера неотрывно связаны с понятием множества. Поэтому, чтобы лучше понимать, что изображено на кругах Эйлера, нужно знать, что такое множество и какие множества бывают.

Давайте изобразим множество цифр. На рисунке контуром обозначено множество, а точками элементы этого множества.

Множества бывают трех видов:

· Конечное (например - множество цифр)

· Бесконечное (например - множество чисел)

· Пустое (множество натуральных чисел

Группа предметов, образующая множество, входящее в состав более обширного множества, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, и называется подмножеством. Такое отношение образуется между большим множеством животных и входящим в его состав подмножеством плоских червей. (5)

Когда ни один предмет, из одного множества, не может одновременно принадлежать второму множеству, то отношение между ними изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Такими множествами являются множество отрицательных и множество положительных чисел. (5)

Круги Эйлера были изобретены и названы в честь Леона́рда Э́йлера (портрет слева). Это был швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер родился в Швейцарии, учился в Германии, но работал и умер в России. Этот ученый – автор 800 работ. Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье пастора. Его отец был другом семьи Бернулли. У Эйлера рано проявились математические способности. Обучаясь в гимназии, мальчик увлечённо занимался математикой, а позже стал посещать университетские лекции Иоганна Бернулли. 20 октября 1720 года Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Одаренный молодой человек обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал студенту математические статьи для изучения, а также пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер встретился и начал общаться с сыновьями Бернулли — Даниилом (портрет слева) и Николаем (потрет справа), которые тоже занимались математикой. (6)

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли по-своему. Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами. Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна. Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только. (1)

Вот несколько задач для решения, которых, удобно использовать круги Эйлера:

Задача 1.

У ребят из одной школы спрашивали об их домашних животных. 100 из них ответили, что у них дома есть собака и/или кошка. У 87 ребят была одна собака, а у 63 ребят – одна кошка. У скольких ребят есть и собака и кошка?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, не используя круги Эйлера нужно подсчитать, сколько собак и кошек было у учеников. Для этого нужно сложить 87 и 63. 87+63=150 домашних животных. Учеников было всего лишь 100, а дробного числа домашних животных получиться не может. Значит если у каждого ученика 1 домашнее животное, остается еще 50 лишних. Следовательно, у 50 учеников 2 домашних животных. И так как в задаче указано, что ни у одного из учеников нет 2 кошек или 2 собак, то это значит, что у 50 учеников есть и кошка и собака.

Но этот способ долгий и подходит только для простых задач. Такую задачу намного удобнее решить через круги Эйлера.

Красным кругом изобразим множество обладателей собак, а синим множество обладателей кошек. Всего учеников было 100. Тех, у кого есть и кошка, и собака Х. Чтобы найти количество учеников, у которых только собака нужно из 87 вычесть Х. Так как всего учеников 100, мы получаем:

Ответ: у 50 учеников есть и кошка и собака

Задача 2.

Однажды учеников спросили, кто из них любит математику, кому нравится русский язык, а кому физика. Оказалось, что из 36 учеников 2 не любят ни математику, ни русский, ни физику. Математика нравится 25 ученикам, русский язык- 11, физика – 17 ученикам; и математика, и русский- 6; и математика, и физика- 10; русский язык и физика - 4.

Сколько человек любят все три предмета?

Решение:

Изобразим 3 множества. Красное множество тех, кто любит математику, синие тех, кто любит русский язык, зеленое – физику.

Теперь впишем в множества количество элементов. 6 человек любят и русский и математику. Из них X человек любят еще и физику. Значит, только математику и русский любят 6-Х человек. Только математику и физику 10-Х, только русский и физику 4-Х человек. 25 человек любят математику. Но Х, 6-Х, 10-Х человек любят и другие предметы. Значит, только математику любят 25-(6-Х)-(10-Х)-Х= 25-6+Х-10+Х -Х=5+Х человек. Только русский любят 11-(6-Х)-(4-Х)-Х= 11-10+2Х-Х=1+Х учеников, только физику 17-(10-Х) –(4-Х)-Х= 17-14+2Х-Х= 3+Х.

Так как 2 человека не любят ни один из этих предметов, то:

Ответ: 1 человек любит все три предмета

Задача 3.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Рассмотрение Теоремы Фейербаха и теоремы Эйлера об окружности девяти точек. Ознакомление с историей ее доказательства и названия. Построение прямой Эйлера и описанной окружности. Изучение свойств окружности Эйлера, нахождение ее центра и радиуса.

Рубрика	Математика
Вид	презентация
Язык	русский
Дата добавления	08.09.2014
Размер файла	3,7 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.

курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015

Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.

презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012

Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.

реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009

Изобретение Леонардом Эйлером геометрической схемы, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Изучение частного случая кругов Эйлера — диаграммы Эйлера—Венна, изображающей все 2^n комбинаций n свойств (конечную булеву алгебру).

презентация [595,0 K], добавлен 16.02.2015

Ознакомление с формулами длины окружности, площади круга (частью плоскости, ограниченной окружностью) и исходящими из них формулами расчета радиуса, диаметра. Получение навыков применения формул, закрепление полученных знаний в ходе выполнения упражнений.

конспект урока [227,7 K], добавлен 17.05.2010

Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011

Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.

В геометрии треугольника окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:

Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.
(теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Содержание

История

См. также

Ссылки

Литература

Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
Г. С. М. Коксетер, С. П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 1978

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Окружность Эйлера" в других словарях:

Окружность девяти точек — 9 точек Окружность девяти точек это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также назы … Википедия

ДЕВЯТИ ТОЧЕК ОКРУЖНОСТЬ — окружность Эйлера, окружность, на к роп расположены середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника с вершинами. Ее радиус равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника.… … Математическая энциклопедия

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 … Википедия

Интеграл Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

Вписанная окружность — Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектри … Википедия

Теорема Эйлера (планиметрия) — В планиметрии, теорема Эйлера, названная в честь Леонарда Эйлера, утверждает, что расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле где R и r радиусы, соответственно, описанной и… … Википедия

Описанная окружность — многоугольника окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принят … Википедия

Вневписанная окружность — Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в Вневписанная … Википедия

Характеристика Эйлера — В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства X обозначается χ(X).… … Википедия

Читайте также: