Доклад на тему уравнения

Обновлено: 07.05.2024

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения.

Уравнения вида f_n = 0, где f_n – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида

где x, y. v – переменные, а i, j. r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:

или, в частном случае, 3x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a₀ № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg – логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения.

Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы. См. также ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Интегральные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.

Диофантовы уравнения.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.

Линейные уравнения.

Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Квадратные уравнения.

Решения общего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы

Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.

Другие алгебраические уравнения.

Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.

Например, уравнение x 3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x 2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:

Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.

Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.

Системы линейных уравнений.

Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде

Решение такой системы находится с помощью определителей

Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.

Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:

Если m = n и матрица (a_ij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:

Тема происхождение уравнений выбрана мною потому, что в дальнейшем будут изучаться на уроках алгебры, которую будем изучать начиная с 7 класса. Алгебра − часть математики, принадлежащая, вместе с арифметикой и геометрией, к числу старейших разделов этой науки. Алгебра изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. В отличие от арифметики, эти величины обозначаются буквами, а не цифрами.

В ходе работы над этой темой я попыталась выяснить историю уравнений, для чего нужны и значение их в математике.

Цель исследования: Выяснить историю происхождения уравнений и значение в нашей жизни.

Задачи исследования: Узнать происхождение уравнений, рассмотреть ряд уравнений.

2.Происхождение уравнений.

Кто и когда придумал первые уравнения? Что такое уравнение?

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u и т.п., но наиболее часто используются буквы x, y и z.

Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.

Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение, систему уравнений, и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

Многие математики занимались решением уравнений. Одним из них был французский математик Франсуа Виет. Франсуа Виет жил в XVI веке. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики, астрономии, ввел буквенные обозначения в уравнении. Громкую славу Ф.Виет получил при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели сложную тайнопись, благодаря которой они вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции. Никто не мог найти шифр. Тогда обратились к Виету. Виет нашел решение за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными, в том, что шифр разгадать невозможно, обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиторам и вошел в историю как великий математик. Более подробно познакомимся с Виетом в старших классах.

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажёром для развития мышления.

3.Решение уравнений

Что значит решить уравнение? Решить уравнение (найти корни уравнения) это значит, что нужно найти значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Корень уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Давайте рассмотрим некоторые уравнения.

х=710

х=70 – корень уравнения. Проверим, подставив вместо х его числовое значение.

21=21 Уравнение решено верно.

Итак, при решении уравнений используются следующие свойства:

- Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному;

- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Также с алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

-В любой части уравнения можно раскрыть скобки.

-В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

-К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.

-Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.

4. Решение уравнений в Древней Греции и Индии

Диофантовы уравнения (пример): 5x + 35y=40

Решение: Наибольший общий делитель (5, 35) = 5,

40 можно поделить на 5,

значит, у этого уравнения есть корни,

Как бы мы могли решить это же уравнение в настоящее время:

выразим х через у и перенесем слагаемое 35у в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный и получим

5х=40-35у разделим обе части этого уравнения на 5 (наибольший общий делитель)

Решением данного уравнения с двумя переменными будет пара чисел, обращающих это уравнение в верное равенство. (х=1, у=1)

5. Заключение.

Таким образом, при изучении данной темы я узнала, что уравнения появились в жизни людей в далеком прошлом и по сей день являются неотъемлемой частью жизни человека будь то ремонт или приготовление пищи. Узнала, что алгебра - это часть (раздел) математики, посвященная изучению уравнений, содержащих цифры и буквенные обозначения, которые представляют величины, подлежащие определению. В современном мире на помощь человеку пришли калькуляторы и компьютеры, но без знания математики не обойтись. Она развивает наш ум и логику, память и внимание, помогает в решении жизненных задач.

6. Используемая литература.

Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.

Оценить 3389 0

Математические уравнения и их использование в решении задач

Введение

Глава 1. История возникновения уравнений

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Заключение

Введение.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Глава 1. История возникновения уравнений

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Слово "алгебра" возникло после появления тракта "Китаб аль-джебр валь-мукабала" хорезмского математика и астронома Мухамеда Бен Муса аль Хорезми. Термин "аль-джерб", взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как алгебра.

Знак равенства ввел в 1556 году английский математик Рекорд, который объяснил это так, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Франсуам Виемт (фр. Franзois Viиte, seigneur de la Bigotiиre; 1540 - 13 декабря 1603) -- выдающийся французский математик, один из основоположников алгебры

Создателем современной буквенной символики является французский математик Франсуа Виет (1540 - 1603). До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появлялись постепенно.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Диофант (не ранее III века н.э.) - единственный известный нам древнегреческий математик, который занимался алгеброй.

Эваримст Галуам (фр. Йvariste Galois;25 октября 1811, 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция - 31 мая 1832, ,Франция) - выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры.

Нильс Хенрик Абель (1802 - 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

1.Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

2. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX--VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI--Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI--XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

1) уравнение как средство решения текстовых задач;

2) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

3) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие много аспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию - линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики

Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,-- это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k - натуральное число, большее 1) и ax=b.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей -- приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

3. О трактовке понятия уравнения.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х - переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)-термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.

Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение -- это особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств, оба компонента играют значительную роль.

Первый - смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при обосновании корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

В настоящее время математика достигла своего расцвета, она является основой большинства современных наук, а ее приложения используются во всех областях человеческой деятельности.

Большим значением в практической математике является метод уравнений. С их помощью решаются множество различных задач смежных дисциплин и задач прикладного характера (экономические, транспортные, биохимические, астрономические, географические и многие другие)

Чтобы решить уравнение нужно совершить ряд алгебраических преобразований. В математике существует множество задач, которые решаются с помощью уравнений. Чтобы решить эти задачи, мы вспоминаем слова великого Ньютона, задачу нужно перевести с родного языка на язык алгебры.

Используя данный способ, мы сможем легко и быстро решить любую, на первый взгляд сколь угодно сложную, задачу.

Опираясь на данное изложение, мы хотели бы сказать, что современный мир — мир развития науки и техники, невозможен без знания и умения решать уравнения.

Уравнением с одним неизвестным называется запись вида, А (х)=В (х) — выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные, называемые параметрами.

Областью определения уравнения (иногда говорят — область допустимых значений неизвестного) называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

Корнем или решением, уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнении получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейные и квадратные уравнения, а также уравнения вида f (х)=а, где f — одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Например, корень уравнения х 3 =а равен, корень уравнения log ₃х = а есть 3 а , а уравнение cos х = а решается по формуле х= arcos, а + 2Пп, где п=о, 1, 2,…Существует формула и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшим.

Два основных способа упрощения уравнений — это замена переменной и разложение на множители.

Например, биквадратное уравнение х 4 +ах 2 +b=0 сводится к квадратному заменой y=х 2 , а тригонометрическое уравнение 2cos 2 х +cos х — 1= 0 — заменой y= cos х. вообще, если вы сумели записать уравнение в виде F (f (x))=0, сделайте замену y=f (x). Решить два уравнения, f (y)=0 и f (x)=y, почти всегда проще, чем одно данное.

Разложить уравнение на множители — значит представить его в виде f (x) . g (x)=0. Такое уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений: f (x)=0 и g (x)=0. Множеством решений исходного уравнения будет объединение множеств решений этих двух более простых. Правда, здесь спрятана и одна из ловушек. При замене одного уравнения двумя может расшириться область определения задачи: первое уравнение определено на пересечении областей определения f и g, а совокупность двух уравнений — на объединении. Так, уравнение (х+1)=0 имеет только один корень (х=0), совокупность же уравнений =0 и х+1=0 — два (х=0 и х= -1).

Один корень легко угадать: х= -1.

Как найти остальные? Можно доказать, что если х₀ — корень многочлена P (х), то это многочлен делится на х — х₀, т. е.разлагается на множители, один из которых х — х₀. Выполним это разложение — вынесем из левой части множитель х+1:

х 2 — 3х — 2=х 3 +х 2 — х 2 — 3х — 2= х 2 (х+1) — (х 2 +х) — 2х — 2= (х+1) (х 2 -х -2).

Таковы главные способы упрощения. Однако догадаться какую именно замену следует применить или как разложить на множители конкретное уравнение, порой бывает очень трудно. Успех здесь зависит от знания стандартных формул, опыта, смекалки и в большой мере — от удачи.

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения к эквивалентному, основанные на использовании четырех аксиом. Линейные однородные уравнения и их основные свойства, корни действительные и различные. Линейные уравнения высших порядков, их параметры.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	21.08.2017
Размер файла	15,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений.

Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений

Как уже упоминалось во введении, линейное уравнение есть алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.

Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

где ai(x) (i = 0, 1, . п) и r(х) -- известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у -- искомая функция аргумента x; y`(n) -- ее производные по х.

Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.

Функция r(х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.

Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.

Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на ao(x) и обозначим новые коэффициенты через

ai(x) = ai(х) / а0(х) (I = 1, . n), а новую правую часть -- через f(x)= r(х) /а0(х)/

Тогда уравнение (1) запишется в виде

y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = f(x) (2)

а соответствующее ему однородное уравнение -- в виде

y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = 0 (3)

Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства

y`` + p(x)y` + q(x)y = 0 (4)

где р(х) и q(x) -- функции, непрерывные при всех допустимых значениях х. Уравнение (4) является линейным однородным уравнением вида (3), где п = 2, а1(х)=р(х), а2(х)=а(х). Оно имеет очевидное решение y(x)=0 (нулевое решение), для которого y' = 0, y`` = 0 и уравнение (4) обращается в тождество. Интерес представляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).

Пусть у1=у1(х), у2 = y2(x) -- два решения уравнения (4), отличные от нулевого.

Определение 2. Два решения у1 и y2 уравнения (4) называются линейно зависимыми, если существуют постоянные a1 и а2, не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом значении х справедливо соотношение

A1y2(x) + a2y2(x) = 0 (5)

Если же таких чисел a1 и а2 не существует, т. е. тождество (5) справедливо только при a1 = a2 = 0, то решения у1 и у2 называются линейно независимыми.

Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда уравнение (4) имеет вид

y `` + py` + qy = 0 (6)

где р и q -- постоянные, его общее решение можно найти всегда. Уравнение (6) называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решение в виде y -- ekx, где k -- некоторое пока неизвестное число (действительное или мнимое). Тогда y' = kekx, у" = k2ekx. Подставив эти выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель ekx, отличный от нуля для всех х, получим

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Его корни находятся по формуле

k1,2 = - p/2 ± v p2/4 - q (8)

В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.

1. Корни действительные и различные: k =/= k2. В этом случае частными решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = еk2x. Как было показано, эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

y = C1ek1x + C2ek2x

2. Корни действительные и равные: k1 = k2 = k. В этом случае одно частное решение имеет вид y1 = ekx. Если взять y2 = ekx , то решения у1 и y2 окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по формуле (5) и получаем y2 = x ekx. Решения у1 и у2 линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

у = ekx (С1 + C2x). (9)

3. Корни комплексные: k1 = a + ib, k2 = a - ib, где a = - p/2 - действительная, ав = vq - P2/4 - мнимая часть комплексного числа.

Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми решениями уравнения (6) являются частные решения у1=еах sin вx и у2 = еах cos вx . Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид

Y = еах (C1 sin вx + C2cos вx). (10)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7), которое легко составить непосредственно по уравнению (8), если в нем заменить производные соответствующими степенями показателя k.

Глава 3. Линейные уравнения высших порядков

Линейные уравнения высших порядков обладают аналогичными свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее. Сформулируем их, не останавливаясь на доказательствах.

Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка вида (3):

y(n) + a1(x)y(n-1) +. + an-1(x)y` + an(x)y = 0

Частные решения у1, y2, … yn, уравнения (3) называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х соотношения

A1y1 + a2y2 + … + anyn = 0

где постоянные a1, а2, . аn одновременно не обращаются в нуль. Если у\, г/2, ..-, уп -- линейно независимые частные решения уравнения (3), то его общее решение задается формулой

y = C1y1 + C2y2 + … Cnyn, (11)

где С1 С2, . Сn -- произвольные постоянные.

Если коэффициенты а1, а2, . ап уравнения (3) постоянны, то его частные решения у1, у2, . уп находятся с помощью характеристического уравнения

kn + a1kn-1 + … + an-1k+an = 0 (12)

При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имеющему кратность т, соответствуют т частных решений вида ekx, xm-1, . xm-1 ekx уравнения (3).

Подведем итог вышесказанному.

Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение -- это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения - составляют один из множества разделов современной математической науки.

Список использованной литературы

линейный уравнение корень

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982, 1987.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. - Минск: Высшая школа, 1979.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1978.

8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981.

Подобные документы

Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016

Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.

материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.

презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013

Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.

презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013

Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Читайте также: