Доклад на тему комбинаторные задачи 5 класс

Обновлено: 04.07.2024

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: Знакомство с новым разделом математики – комбинаторика, изучение методов решения комбинаторных задач.

Изучить методы решения комбинаторных задач;
Научить решать комбинаторные задачи c применением этих методов.

формированию познавательного интереса к предмету.
воспитанию чувства патриотизма; ответственности за качество и результат, выполняемой работы.

развитию речи, логического и творческого мышления;

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал, презентация, жетончики.

№	Ход урока Действия учителя	Действия ученика
1	Организационный момент

В ходе устной работы учащиеся вспоминают правила рационального счета, замечают закономерности и решают две несложные комбинаторные задачи.

В последних двух задачах нам пришлось перебрать все возможные варианты, как обычно говорят в этих случаях – все возможные КОМБИНАЦИИ.

Такие задачи называют комбинаторными, а раздел математики, в котором рассматриваются данные задачи, называется – комбинаторикой.

Мистер Холмс обращается к миссис Хадсон: “Уважаемая миссис Хадсон к нам придут гости. В качестве вторых блюд приготовьте мясо, котлеты и рыбу. На сладкое – мороженое, фрукты и пирог. Гость выбирает одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Подсчитайте, сколько будет гостей, и поставьте необходимое количество стульев. Очень вас прошу, чтобы количество стульев соответствовало количеству приглашенных”. Помогите миссис Хадсон.

То есть изучить способы решения таких задач.

Методы решения комбинаторных задач.

Предлагает учащимся использовать Приложение 2

Решаем первую задачу:

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 используя в записи числа каждую из них не больше одного раза?

Слайд содержит три гиперссылки. 1-я гиперссылка – (переход к слайду 8) метод “Дерево возможных вариантов”.

1 метод – Дерево возможных вариантов.

Предлагает учащимся самостоятельно решить задачу Приложение2(№2):

Постройте все слова, которые можно получить из слова ТОК перестановками его букв.

Сколько из них имеет смысл? (слово ТОК не считаем).

Проверяет решение задачи.

Возвращаемся к слайду 7.

Предлагает решить первую задачу вторым способом – “Перебор возможных вариантов”.

2-я гиперссылка – (переход к слайду 9) метод “Перебор возможных вариантов”.

Разбирает с учащимися решение задачи и переходим к слайду10.

Учитель предлагает учащимся из полос, лежащих на парте, составить макет Российского Флага.

Затем по щелчку на слайде появляется Российский Флаг.

Учитель: Что означает каждый цвет нашего флага?

Историческая справка о Российском Флаге (Приложение 5).

Учитель: В каких странах флаг состоит из такого же набора цветных полос?

Предлагает решить задачу с флагами:

Сколько флагов можно составить с помощью полос данных цветов (красный, синий, белый), если полосы располагать горизонтально?

Эту задачу учащиеся решают самостоятельно, можно обозначить цвета флага – белый(Б), синий(С), красный(К).

Учитель: Какой будет ответ в задаче, если не указать, как располагать полосы?

Возвращаемся к слайду 7.

Отвечают на вопрос.

Отвечают на вопрос задачи.

3-я гиперссылка – переход к слайду -13 физкультминутка.

С помощью гиперссылки переходим к слайду 12.

В некотором царстве в некотором государстве жил-был Иван-царевич и была у него невеста Елена-прекрасная. Похитил его невесту Кощей бессмертный. Отправился Иван-царевич выручать Елена-прекрасную. Сначала его путь лежал через болото, где жила Кикимора-болотная. Туда вели две дороги. Кикимора указала дорогу к Бабе-яге, которая поможет Ивану-царевичу победить Кощея бессмертного, к ней ведут три дороги. Сколькими способами Иван-царевич может добраться до Бабы-яги?

Мы с вами изучили методы решения комбинаторных задач. Сможете вы теперь помочь Миссис Хадсон?

Предлагает учащимся воспользоваться Приложение 3. №1.

Для осуществления дифференцированного подхода в приложении есть дополнительные задачи - №2, №3, №4.

Проверяется решение задачи.

Гиперссылка. Переход к слайду 17.

Проверяет ответы дополнительных задач.

Предполагаемый ответ: Да сможем.

Выбирают один из способов и решают самостоятельно задачу.

На слайде 15 появляется первый вопрос автоматически следующие два по щелчку.

По щелчку на слайде появляются рисунки.

Учитель учащимся перед уроком выдает листочки, а на магнитную доску вывешивается рисунок – дерево.

Красный цвет – наливные яблочки; зеленый цвет – листочки; желтый цвет – осенние листья.

Красный цвет – доволен собой, уроком.

Зеленый цвет – остались непонятные вопросы.

Комбинаторные задачи Презентация подготовлена учителем математики

Презентация подготовлена учителем математики
МОУ Константиновской СШ Дружковой М.Д.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов

– раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторная задача – это задача, требующая осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа

Комбинаторная задача –
это задача, требующая осуществления
перебора всех возможных вариантов
или подсчета их числа.

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Организованный перебор – строгий порядок разбора всех случаев, возможных решений

Организованный перебор –
строгий порядок разбора всех случаев, возможных решений.

Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов

Задача 1: Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

Решение задачи: Ответ: 6 способов

Ответ: 6 способов

Задача 2 Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7? ( цифры могут повторяться )

Задача 2 Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7? (цифры могут повторяться)

Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
11;14;17;(начали с 1)
41;44;47;(начали с 4)
71;74;77;(начали с 7)
Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

Решение задач с помощью дерева возможных вариантов

Существует более общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов.
При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Рассмотрим задачу 2 о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7 (цифры в записи числа не повторяются )

Рассмотрим задачу 2 о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7
(цифры в записи числа не повторяются)

Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов.

Ответ: числа 147;

417; 471; 714; 741

Задача 3. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Задача 3. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Решение задачи: Ответ : 6 способов

Ответ: 6 способов

Задача 4. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1; 2 и 3 ( цифры могут повторяться )

Задача 4. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1; 2 и 3 (цифры могут повторяться)

Решение. Двузначное число

Первая цифра 1 2 3

Вторая цифра 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Варианты числа: 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33

Задача 5. У ослика Иа-Иа есть 3 надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый

Задача 5. У ослика Иа-Иа есть 3 надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному шарику своим друзьям: Винни-Пуху, Пятачку и Кролику. Сколько есть вариантов у Иа-Иа?

Ответ: 6 вариантов

Правило умножения в комбинаторных задачах

Правило умножения в комбинаторных задачах.

Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.

Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:

Задача 6. На обед в школьной столовой предлагается 2 вида супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

Рассуждение:
Первое блюдо можно выбрать 2 способами, для каждого вида супа можно выбрать второе блюдо из 3 предложенных, уже получается 6 вариантов , осталось выбрать напиток: для каждого из 6 полученных наборов существует 4 способа выбора напитка.

Ответ: 24 способа.

Оформление: Суп - 2 способа

Суп - 2 способа
Вторые блюда - 3 способа
Сок - 4 способа

Решение: 2 x 3 x 4= 24

Ответ:
Можно составить 24 варианта различных обедов.

Перестановки в комбинаторных задачах

Перестановки в комбинаторных задачах.

В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называют перестановкой.

Задача 7. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга

Задача 7. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось ?

Решение задачи: 6 способов

Здесь речь идет о числе перестановок, т

Здесь речь идет о числе перестановок, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности.

Сначала Миша выбирает, к кому отправится в первую очередь – 3 способа, затем он идет в гости к кому – то из 2 оставшихся, ну а затем – к последнему.

Задача 8. В турнире участвуют четыре человека

Задача 8. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение.
Первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.
Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом 4•3•2•1=24.

Разработано учителем математики МБОУ - Полужская ООШ им.Ф.Е.Стрельца.

Прозвенел уже звонок,

Встали тихо, замолчали,

Всё, что нужно, вы достали.

Приготовились к уроку,

В нём иначе нету проку.

Больше не вертитесь.

Мы урок начнем сейчас,

Интересен он для вас.

Слушай всё внимательно,

Поймешь всё обязательно.

Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.

Какой рисунок солнышка соответствует твоему настроению на начало урока

Повторение

1. Чему равен объём куба, ребро которого равно 8 дм?

2. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с с измерениями и 2см, 6 см и 10 см?

3.Вычислите сумму

27 + 16 + 33 + 24.

4. Из цифр 7, 4, 5 составили трёхзначные числа. Сколько чисел получится и какие это числа, если цифры не повторяются?

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Германии трех городов: Берлина, Дрездена и Мюнхена. Сколько существует вариантов такого маршрута?

БДМ БМД ДБМ ДМБ МБД МДБ

Нередко в повседневной жизни мы встречаемся с задачами, решение которых требует рассмотрения всех возможных случаев, или, как ещё принято говорить, всех возможных комбинаций . Поэтому такие задачи называют комбинаторными

Комбинаторные

Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Занимался идеями комбинаторного искусства.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить.

Методы решения комбинаторных задач

- Метод перебора вариантов:

если нужных комбинаций не слишком много, то все их можно просто

Перечислить, или, как говорят перебрать все возможности.

-Изображение дерева возможных вариантов: позволяет наглядно представить

все варианты.

В 5 классе в пятницу 3 урока: математика, литература, родной язык. Сколько вариантов расписания можно составить?

У Арсения есть три книги: красная, зелёная и фиолетовая. Сколько существует способов расставить эти книги на полку?

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5? (Цифры НЕ могут повторяться!)

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6? (Цифры НЕ могут повторяться!)

Слайды и текст этой презентации

Что такое комбинаторика?

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи,называется комбинаторикой.

Задача 11. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1,2.
Решение В записи числа на первом месте ( в разряде сотен) может стоять цифра 1 или цифра 2:

На втором месте ( в разряде десятков) в каждом случае также одна из двух цифр 1 или 2.

На третьем месте ( в разряде единиц) в каждом из полученных случаев можно записать либо 1, либо 2:

В итоге мы видим, что получилось восемь чисел: 111,112,121,122,211,212,221,222
Задача12 . Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются числа 0,7.

Решение. Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек. После того как президент избран, вице- президентом можно выбрать любого из четырёх оставшихся членов правления.

Значит выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице- президента. Следовательно , общее число способов выбрать президента и вице- президента фирмы равно 5*4=20

Решение Первой цифрой может быть любая из четырёх цифр,Второй- любая из трёх других,а третьей-любая из двух других. Получаем
Первая

Третья 684846 682826 482824 462624
Всего из данных цифр можно составить 4*3*2=24 числа

Можно заглянуть в будущее!

Размещением из n элементов по k (k

О не может стоять на первом месте в числе. Значит первой цифрой будет одна из трёх оставшихся, на втором месте могут стоять цифры отличные от первой, т.к. цифры в записи не должны повторятся. Значит:

Значит общее количество чисел равно 3*3=9

О не может стоять на первом месте в числе. Значит на первом месте может стоять одна из трёх оставшихся цифр. На втором месте может стоять также одна из трёх цифр не совпадающая с первой. На третьем месте могут стоять две цифры не совпадающие ни с первой ,ни со второй.
о второй циф

3 5 05 03 1 5 05 01 1 3 0 3 1 0

Общее количество трёхзначных чисел равно 3*3*2=18

На первом месте может стоять любая из пяти цифр, на втором месте может стоять любая из четырёх цифр , отличная от первой

3 5 7 9 1 5 7 9 1 3 7 9 1 3 5 9 1 3 5 7

Количество двузначных чисел равно 5*4=20

На первом месте не может стоять О. Значит на первом месте может стоять одна из двух оставшихся.На втором месте может стоять любая из трёх, на третьем месте также может стоять любая из трёх.

5 3 0 5 3 0 5 3 0 5 3 0 5 3 0 5 3 0

Всего чисел 2*3*3 =18

Соберём все варианты в такой таблице
Метро Трамвай Автобус

Метро
Всего у Бориса есть 9 способов

Рассмотрим ещё 2 задачи
Задача №1 Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
Составим таблицу: слева от первого поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки- вторые цифры этих чисел. Т.к. в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме О, то строки будут отмечены цифрами1,2,4,5,9. Значит, в нашей таблице будет пять строк. На втором месте в искомом числе должна стоять чётная цифра, значит, столбцы будут отмечены цифрами 0,2,4.

На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком, или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
Соберём все варианты в такой таблице.
плюшка бутерброт пряник кекс

Ещё раз подтвердим правило умножения

Выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной клетке.
Значит 4*3=12.
Приятного аппетита!

Дерево возможных вариантов

Правило умножения для трёх, четырёх и т. д. испытаний можно объяснить ,с помощью геометрической модели, которую называют деревом возможных вариантов. Вы уже им пользовались в предыдущих задачах. Н.п в задачах №228, № 323. Дерево наглядно и позволяет всё учесть

Задача №694 (напомним)

Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?
Решение. У первого члена семьи( например, бабушка) есть 5 вариантов выбора, у второго члена(например, папа)-4 варианта, у третьего(мама)-3 варианта, у четвёртого(дочь)-2 варианта, у пятого(сын)-1 вариант.

Роскошное дерево вариантов! Правило умножения. Понятие факториала!

Получили, что каждому выбору чашки бабушки соответствует 4 возможных выбора папы, т.е. всего5*4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть 3 варианта выбора, у дочери-2, у сына-1, т.е. всего 3*2*1способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5*4*3*2*1 или 1*2*3*4*5=5!(пять-факториал)
Значит количество вариантов равно
5!=120

Лена, Света, Маша, Катя и Наташа пришли к зубному врачу. Сколькими способами они могут встать в очередь?
Рассуждаем. Предположим Лена встаёт в очередь там где ей захочется, у неё есть 5 вариантов, тогда у Светы остаётся встать в очередь 4 вариантами, у Маши-3 вариантами,у Кати-2 вариантами и у Наташи-1 вариантом. По правилу умножения получаем 5*4*3*2*1=5!=120 способов.
Заглядывая в учебник 9 класса, мы выяснили, что в данной ситуации у нас получилось число перестановок из 5 элементов!

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Когда Лена, Света, Катя, Маша, Наташа становились в очередь , они располагались в определённом порядке. Былоих5. Значит это перестановка из 5 злементов.
Подсмотрим формулу. Вот она Pn =n!
В нашем случае так и получилось P5=5!=120

Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье( с застёжкой)?
Рассуждаем. Т.к. застёжка в ожерелье не меняет своё место, то число перестановок из 7 элементов, т.е. 7!
1*2*3*4*5*6*7= 720*7=5040 способов

На книжную полку ставят 6 разных книг. Сколькими способами эти книги можно разместить на полке?
Рассуждаем. Положение 1-й книги будет определяться6 вариантами, положение второй книги-5 вариантами,3книги -4 вариантами, 4-й-соответственно-3вариантами,5-й-2 вариантами,6-й-1вариантом. Значит всего способов по правилу умножения6*5*4*3*2*1=6!=720
А можно по другому?. Да. Найдём число перестановок из 6 элементов т.е.P6 =6! =720

Кодовый замок имеет 6 кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в определённой последовательности( набрать код). Сколько существует вариантов кода для этого замка
Рассуждаем. Явно нам необходимо найти количество перестановок из 6 элементов.т.е P6 =6! =720

К полднику в детском саду на четырёхместный стол поставили сок, молоко, какао и компот. Сколькими способами четверо детей могут выбрать себе один из напитков?
Рассуждаем.Первый ребёнок имеет возможность выбрать любой стакан 4вариантами, второму остаётся выбор из 3 вариантов, третьему придётся выбирать из 2 вариантов, четвёртому остаётся выбор одного варианта. По правилу умножения -количество вариантов равно 4*3*2*1=4!=24
А можно по –другому? Да. Количество перестановок
P4 =4! =24

Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырёхместном купе?

Рассуждаем. Первый пассажир может выбрать любое место из 4, второму остаётся выбирать из 3 вариантов, третьему из 2вариантов, ну а 4 пассажир займёт то место, которое останется. Значит количество способов 4*3*2*1=24, а по -другому P4 =4!=24
Счастливого пути!

Читайте также: