Доклад на тему дифференциальное исчисление функции одной переменной

Обновлено: 02.07.2024

Файл "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" внутри архива находится в папке "Конспект". Документ из архива "Конспект", который расположен в категории " ". Всё это находится в предмете "математический анализ (высшая математика)" из раздела "", которые можно найти в файловом архиве МПУ. Не смотря на прямую связь этого архива с МПУ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

Текст из документа "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции f.

О. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции f =f(x+x) – f(x). к приращению аргумента x , при стремлении x к 0:

Отношение f /x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона  будет стремиться к углу  наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной.

Так функция y = x  не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Таблица производных основных элементарных функций.

Таблица производных.

1. (x n )'=nx n -1 2. (a x )'=a x lna 3. (e x )'=e x

4. (log_ax)'= 5. (lnx)'= 6. (sinx)'=cosx

7. (cosx)'=-sinx 8. (tgx)'= 9.(ctgx)'=-

10. (arcsinx)'= 11. (arccosx)'=-

12. (arctgx)'= 13. (arcctgx)'=- 14. (х) '=1

Свойства операции дифференцирования.

Пример. Найти производную функции y=x 3 .

Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим

Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:

Пример. Найти производную функции y=sinx+e x .

Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:

у =(sinx)+(e x )=cosx+e x .

Пример. y=5 x -x 5

Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.

По правилу дифференцирования произведения функции получим:

Теорема о производной сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции y=(3x 5 +2) 6 .

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x 5 +2=t, тогда у=t 6 . Получаем

у =(t 6 )_t(3x 5 +2)_x=6t 5 (35x 4 +0)=6(3x 5 +2) 5 15x 4 =90x 4 (3x 5 +2) 5 .

Пример. Найти производную функции y=sin 5 x.

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t 4 . Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:

у =5t 4 (sinx)= 5t 4 cosx=5sin 4 xcosx.

В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.

Пример. Найти производную функции y=cosx 4 .

у =-sinx 4 4x 3 =-4x 3 sinx 4 .

Пример. Найти производную функции y=ln 3 tg(e - x ).

Тема 4.8. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование применяют в случае, если функция является показательно- степенной y=u v (u и v являются функциями от х) или содержит логарифмические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Пусть функция имеет вид y=u v . Прологарифмируем обе части, получим lny=ln u v . По свойствам логарифма степень аргумента логарифма стоящего справа можно вынести перед знаком логарифма, тогда lny=vlnu. Продифференцируем обе части, получим (lny)=(vlnu) . Пример. Найти производную функции y=(lnx) cosx . Прологарифмируем обе части: lny=ln(lnx) cosx  lny=cosxln(lnx). Продифференцируем обе части равенства, получим

(lny) =(cosxln(lnx))  ;

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х этого отрезка определяется равенством

Отношение при х0 стремится к определенному числу f (x) и, следовательно отличается от производной f (x) на величину бесконечно малую, где 0 при х0 (стр 107 Пискунов).

Умножая члены последнего равенства на х, получим:

Так как в общем случае f (x)0, то при постоянном х и переменном х0 произведение f (x)x есть величина бесконечно малая одного порядка малости с x, второе слагаемое есть величина высшего порядка малости относительно x. Таким образом, произведение f (x)x является главной частью приращения (4.3), линейной относительно x. Это означает, что если приращение аргумента x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

О. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть приращения (4.3), линейная относительно x. Обозначается

Отсюда следует, что

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

3. d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),

4. d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a,b]. Значения производной f (x) зависят от х, т.е. производная f (x) тоже представляет собой некоторую функция от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна v=f (t), а ускорение равно a= f (t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f(x).

О. Если определена n-я производная f (n) (x) и существует её производная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x):

f (n + 1) (x) = (f (n) (x)). (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Дифференциал функции y=f(x) выражается в виде dy= f (x)dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следущее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d 2 y= f (x)dx 2 . (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n-го порядка называется дифференциалом (n+1)-го порядка.

Пример. Найти дифференциал функции y=cosx.

Найдем f (x)=-sinx. Тогда по формуле (4.4): dy=-sinxdx.

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y=ln 4 x 2 .

Найдем вторую производную от функции:

f (x)= f (x)= , тогда

Определение и экономический смысл производной. Построение касательной к графику функции. Сущность дифференцируемости и эластичности функции. Правила Лопиталя. Приближенные вычисления производной сложной и обратной функций. Таблица значений производных.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	17.01.2011
Размер файла	60,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Определение и смысл производной

Понятие производной является одним из основных понятий дифференциального исчисления, производная используется при исследовании процессов, в том числе и экономических, описываемых функциями. При исследовании приращения зависимой величины , обусловленного приращением независимой переменной , часто возникает необходимость определения предела отношения этих величин

Этот предел называется производной, а операция его вычисления - дифференцированием функции. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной.

2. Построение касательной к графику функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями . Графиком функции в системе координат является непрерывная кривая . Пусть _ внутренняя точка промежутка , _ значение функции в точке . Возьмем на кривой некоторую фиксированную точку . Если точка тоже принадлежит кривой, то прямая называется секущей. Если перемещать вдоль кривой так, чтобы стремилась к совпадению с , то секущая также будет менять свое положение в зависимости от положения . Предельное положение секущей (если оно существует) при называется касательной к кривой в точке .

Угловой коэффициент секущей равен:

Величину называют приращением аргумента . Величину называют приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента. Поскольку точка фиксирована, то является функцией от , следовательно, и зависит только от .

Так как , равносильно , то угловой коэффициент касательной можно получить предельным переходом при (если этот предел существует), т.е.:

Предел относительного приращения называется производной функции . Производную функции в точке обозначают одним из символов:

Значение производной непрерывной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке .

3. Экономический смысл производной

Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на промежутке с концами и . Величина _ это мгновенная скорость изменения функции в точке . Например, если _ перемещение точки по оси за время , то _ скорость движения точки. Если функция описывает количество продукции, производимой предприятием за время , то _ это средняя производительность за промежуток времени , а _ это производительность в момент времени . Если функция описывает закон изменения капитала в зависимости от времени , то _ скорость накопления капитала.

4. Эластичность функции

Если функция получает приращение при приращении аргумента на , то называется относительным приращением функции, а - относительным приращением аргумента.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:

Эластичность функции дает приближенный процент ный прирост функции при приращении аргумента на 1%.

5. Дифференцируемость функции

Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде , то говорят, что функция дифференцируема в точке . Число является производной функции в точке :

Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции.

Итак, если дифференцируема в точке , то: .

Величину называют дифференциалом функции в точке и обозначают обычно символами:

Если функция дифференцируема в точке , то эта функция непрерывна в точке . Обратное утверждение неверно.

6. Правила дифференцирования

1. Функция дифференцируема и ;

2. Если _ постоянная, то функция дифференцируема и ;

3. Из 1 и 2 следует, что ;

4. Функция дифференцируема и ;

5. Из 4 следует, что ;

6. Если определена и дифференцируема, то .

7. Таблица производных

функция производный дифференцируемость

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

8. Производная сложной функции

Пусть и . Тогда можно определить сложную функцию . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и ее производная может быть вычислена по правилу цепочки:

Или более кратко .

Правило можно записать также в виде:

Пример 4. . Вычислить .

Обозначим . Тогда .

Пример 5. . Вычислить .

Пример 6. . Вычислить .

9. Производная обратной функции

Пусть функция задана на множестве , а - множество ее значений. Тогда каждому ставится в соответствие единственное значение . С другой стороны, каждому будет соответствовать одно или несколько значений . В случае, когда отображение является биективным, т.е. каждому значению соответствует только одно значение , для которого , на множестве можно определить функцию , множеством значений которой является , которая будет называться обратной по отношению к функции . Функции и называются взаимообратными.

Пусть функция удовлетворяет условиям существования обратной функции и в точке имеет конечную производную . Тогда обратная функция в точке также имеет конечную производную, равную

10. Дифференциал

Величина при малых мала по сравнению с величиной . Поэтому представляет собой главную часть приращения , называемую дифференциалом функции в точке . Дифференциал функции обозначают обычно символами:

Если _ независимая переменная, то и поэтому .

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 _ 6 дифференцирования с заменой символа (штрих) на символ . Например:

Таким образом, приращение функции в точке при малых значениях приблизительно в пять раз больше, чем , а приращение функции в точке приблизительно в 14 раз больше, чем .

11. Приближенные вычисления

Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различных приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции ее приближенным значением . Таким образом:

Пример 8. Вычислить .

Рассмотрим функцию . Заметим, что . Возьмем . Тогда по формуле (2):

12. Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке , т.е. существует , и всюду в некоторой окрестности этой точки , т.е. является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то .

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется точка для которой .

Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая . Тогда .

Теорема Коши. Если функции и определены и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и при этом , то найдется точка , для которой .

13. Правила Лопиталя

Пусть и - функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки a, где a - конечное число или (если , то под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь луч ; если , то окрестность - луч ). В самой точке a функции могут быть не определены. Пусть при .

I правило. Если:

2. Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .

II правило. Если:

2. Существует конечный или бесконечный предел Тогда: .

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или . Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: . Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида или .

14. Производные высших порядков

Если функция , определенная в , имеет производную во всех точках , то эту производную можно рассматривать как новую функцию , .

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если , определенная в , имеет конечную производную в точке , то значение этой производной является второй производной функции .

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Подобные документы

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.

задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009

Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.

презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013

Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014

Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.

контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010

Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.

контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011

Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.

презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013

Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Если этот предел конечный, то производная существует и функция называется дифференцируемой в точке . Производная обозначается также или . Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций.Пусть - постоянная, а , - функции, имеющие производные, тогда

6. Если функция дифференцируемая по , а функция по x, то сложная функция имеет производную (правило дифференцирования сложных функций).

Таблица производных элементарных функций

1а. . 1б. .

Пример 1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найти производные следующих функций:

Решение. 1) Перепишем данную функцию в виде: , тогда

2) Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем: .

3) Применив правило дифференцирования произведения (формула 4), находим:

4) Дифференцируя функцию как сложную находим производную:

5) По правилу дифференцирования частного (формула 5) получаем:

6) По аналогии с примером 3 находим:

7) Так как данная функция - показательная, то, согласно формуле 2

2.2. Производные высших порядка. Производной второго порядка (второй производной) от функции называется производная от ее производной, т.е.

Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную -го порядка обозначают или .

Пример 3. Найти вторую производную функции .

Решение. Найдем сначала первую производную функции

, тогда вторая производная .

2.3. Геометрические приложения производной.

Теорема.Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке , равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке : , где (см. рис 9).

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

причем знак “плюс” соответствует острому углу θ, а знак “минус” – тупому.

Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример3. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая , заданная уравнением , параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны:

Следовательно, - абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

2.4. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

Примечание. Производные по аргументу иногда, следуя Исааку Ньютону, обозначают точками наверху: , , . В этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:

Пример 4. Найти и , если функция задана параметрически:

Решение. Последовательно находим: , ; ;

2.5. Дифференцирование неявной функции.

Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции следует продифференцировать по x тождество , помня, что есть функция от , а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 5. Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Продифференцируем обе части уравнения по (не забываем, что зависит от ):

2.6. Правило Лопиталя.

При раскрытии неопределенностей и , кроме классических методов вычисления пределов, рассмотренных ранее, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя-Бернулли: если или и существует предел отношения их производных , то .

Это правило справедливо и в случае .

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

При раскрытии неопределенностей и для применения правила Лопиталя данное выражение надо преобразовать в отношение двух функций (в неопределенность или ).

При раскрытии неопределенностей , , рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.

Решение. Введем обозначение , тогда .

2.7. Исследование функции и построение ее графика.

Для построения графика функции сначала проводим элементарное исследование: находим область определения, асимптоты, выясняем некоторые особенности функции (если они имеются), т. е. точки пересечения с осями координат, симметрия, периодичность. Затем, используя первую производную, находим интервалы монотонности, экстремумы, а по второй производной – интервалы выпуклости, точки перегиба.

Пример 12. Построить график функции .

Решение. 1. Область определения данной функции: .

2. Пределы функции в точках разрыва и на концах области определения (данная функция имеет одну точку разрыва):

3. Асимптоты. Если , то прямая – вертикальная асимптота. В нашем случае вертикальная асимптота имеет уравнение . Прямая является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы

Так как ; , то наклонная асимптота имеет уравнение .

Если , то – горизонтальная асимптота.

4. Точки пересечения графика с осями координат дают: во-первых, нули функции (чтобы их найти, необходимо решить уравнение ) и, во-вторых, значение , если . Так как для данной функции , то график проходит через точку О .

5. Симметрия. Функция – четная, если ; ее график симметричен относительно оси . Функция – нечетная, если ; ее график симметричен относительно начала координат. В нашем случае

т. е. и , следовательно, симметрии относительно осей координат у графика нет.

6. Периодичность. Если для некоторого числа выполняется равенство для всех , то функция – периодическаяс периодом . Очевидно, наша функция не является периодической.

7. Первая производная: .

Находим критические точки, т.е. точки, в которых (стационарные точки) или не существует, имеем

производная не существует при .

Отметив их на области определения функции, получим интервалы знакопостоянства производной .

Определяем знак производной в каждом интервале. Там, где , функция возрастает ( ), а там, где , функция убывает ( ).

Результаты исследования сводим в таблицу:

Экстремумы функции (максимум или минимум, если они есть):

8. Вторая производная: .

Находим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых или не существует, имеем

, , производная не существует при .

Отметив их на области определения функции, получим интервалы знакопостоянства .

Найдем промежутки выпуклости и вогнутости функции. Определяем знак производной в каждом интервале. Кривая является вогнутой при тех значениях аргумента , при которых (в окрестности точки вогнутости график располагается над касательной к нему в этой точке; в таблице интервал вогнутости будем обозначать символом ). Кривая в точке является выпуклой, если в этой точке (в этой точке график располагается под касательной и выпуклостью вверх ). Результаты сводим в таблицу:

+	–	–	+
точка перегиба

В окрестности точки вторая производная имеет разные знаки. Находим значение , тем самым определяем точку – точку перегиба.

9. Строим график (см. рис 11). При необходимости, находят несколько дополнительных точек.

Пример 13. Построить график функции .

Решение. 1. Область определения данной функции

3. и — вертикальные асимптоты; — горизонтальная асимптота.

4. график не пересекает ось ;

7. для всех . Следовательно, функция возрастает на интервалах и .

8. ; имеет знак тот же, что и аргумент :

– выпуклость вниз, т. е. вогнутость ;

– выпуклость вверх . Точек перегиба нет.

9.Строим график (см. рис.12).

2.1. Производная функции.

Правила дифференцирования функций.Пусть - постоянная, а , - функции, имеющие производные, тогда

Таблица производных элементарных функций

1а. . 1б. .

Пример 1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найти производные следующих функций:

Решение. 1) Перепишем данную функцию в виде: , тогда

2) Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем: .

3) Применив правило дифференцирования произведения (формула 4), находим:

4) Дифференцируя функцию как сложную находим производную:

5) По правилу дифференцирования частного (формула 5) получаем:

6) По аналогии с примером 3 находим:

7) Так как данная функция - показательная, то, согласно формуле 2

Пример 3. Найти вторую производную функции .

Решение. Найдем сначала первую производную функции

, тогда вторая производная .

2.3. Геометрические приложения производной.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

причем знак “плюс” соответствует острому углу θ, а знак “минус” – тупому.

Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример3. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

2.4. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

Пример 4. Найти и , если функция задана параметрически:

Решение. Последовательно находим: , ; ;

2.5. Дифференцирование неявной функции.

Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство .

Пример 5. Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Продифференцируем обе части уравнения по (не забываем, что зависит от ):

2.6. Правило Лопиталя.

Это правило справедливо и в случае .

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

При раскрытии неопределенностей , , рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.

Решение. Введем обозначение , тогда .

2.7. Исследование функции и построение ее графика.

Пример 12. Построить график функции .

Решение. 1. Область определения данной функции: .

2. Пределы функции в точках разрыва и на концах области определения (данная функция имеет одну точку разрыва):

Так как ; , то наклонная асимптота имеет уравнение .

Если , то – горизонтальная асимптота.

т. е. и , следовательно, симметрии относительно осей координат у графика нет.

7. Первая производная: .

Находим критические точки, т.е. точки, в которых (стационарные точки) или не существует, имеем

производная не существует при .

Отметив их на области определения функции, получим интервалы знакопостоянства производной .

Результаты исследования сводим в таблицу:

Экстремумы функции (максимум или минимум, если они есть):

8. Вторая производная: .

Находим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых или не существует, имеем

, , производная не существует при .

Отметив их на области определения функции, получим интервалы знакопостоянства .

+	–	–	+
точка перегиба

9. Строим график (см. рис 11). При необходимости, находят несколько дополнительных точек.

Презентация на тему: " Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций." — Транскрипт:

1 Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. § Производная функции Определение производной функции. Необходимое условие существования производной Пусть y = f(x) определена в точке x 0 и некоторой её окрестности. Придадим x 0 приращение x такое, что x 0 + x D(f). Функция при этом получит приращение f(x 0 ) = f(x 0 + x) – f(x 0 ).

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента x, при x 0 (если этот предел существует и конечен), т.е. Обозначают: Производной функции y = f(x) в точке x 0 справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен). Обозначают: – производная y = f(x) в точке x 0 справа, – производная y = f(x) в точке x 0 слева.

3 ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существо- вания производной). Функция y = f(x) имеет производную в точке x 0 в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производ- ной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке x 0, то функция f(x) в этой точке непрерывна. Замечание. Непрерывность функции в точке x 0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции. Например, функция y = | x | непрерывна на всей области опре- деления, но не имеет производной в точке x 0 = 0.

4 Определение. Пусть функция f( x ) определена на (a,b) и непрерывна в т. x 0 из этого промежутка (a,b). Тогда приращению x отвечает приращение y = f( x 0 + x ) – f( x 0 ). Если приращение y может быть представлено в виде суммы линейной относительно x б.м.ф и б.м.ф высшего порядка малости относительно x: y = А. x + О ( x )(А=const) то функцию f( x ) называют дифференцируемой в точке x 0. А. x – дифференциал функции f( x ) в точке x 0 Обозначают: Теорема. Функция дифференцируема в точке т. и т.т., когда она имеет производную в этой точке. Следствие.

5 Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента.

6 Соответствие x 0 f (x 0 ) является функцией, определенной на множестве D 1 D(f). Операцию нахождения для функции y = f(x) её производной функции называют дифференцированием функции f(x). УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что (sinx) = cosx, (cosx) = –sinx, x (e x ) = e x, (a x ) = a x lna, x

7 Физический и геометрический смысл производной 1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и её аргумент x являются физическими величинами, то производная f (x) – скорость изменения величины y относительно величины x. ПРИМЕРЫ. а)Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t. Тогда производная S (t 0 ) – скорость в момент времени t 0. б)Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t. Тогда q (t 0 ) – скорость изменения количества электричества в момент времени t 0, т.е. сила тока в момент времени t 0. в)Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x]. Тогда m (x) – скорость изменения массы в точке x 0, т.е. линейная плотность в точке x 0.

8 2) Геометрический смысл производной. Пусть – некоторая кривая, M 0 – точка на кривой. Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках, называется секущей. Касательной к кривой в точке M 0 называется предельное положение секущей M 0 M 1, если точка M 1 стремится к M 0, двигаясь по кривой. Очевидно, что если касательная к кривой в точке M 0 существует, то она единственная.

9 Рассмотрим кривую y = f(x). Пусть в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) она имеет невертикальную касатель- ную M 0 N. Таким образом, получили: f (x 0 ) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )). (геометрический смысл производной функции в точке). Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) можно записать в виде

10 Замечания. 1)Прямая, проходящая через точку M 0 перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M 0, называется нормалью к кривой в точке M 0. Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k 1 k 2 = –1, то уравнение нормали к y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) будет иметь вид, если f (x 0 ) 0. Если же f (x 0 ) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) - горизонтальная прямая, уравнение которой y = f(x 0 ), а нормаль – вертикальная прямая, уравнение которой x = x 0.

11 2) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) вертикальную касательную M 0 N, – угол наклона секущей M 0 M 1 к Ox. Таким образом, если кривая y = f(x) имеет в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) вертикальную касательную, то функция y = f(x) не имеет в точке x 0 производной. Так как в соседних с M 0 точках кривая y = f(x) имеет касательные и их угол наклона к оси Ox стремится к 90 при x 0, то x 0 является для функции f(x) точкой разрыва II рода, причем

12 Правила дифференцирования 1)Производная постоянной функции равна нулю, т.е. C = 0, где С – константа. 2)Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е. 3)Производная произведения находится по правилу: Замечание. Формула дифференцирования произведения может быть легко обобщена на случай большего числа множителей. Например,

14 УПРАЖНЕНИЯ. 1)Зная, что (sinx) = cosx, (cosx) = –sinx, (e x ) = e x, получить формулы 2)Используя теорему о производной обратной функции, доказать, что

15 По определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (таблица производных). Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференцирования.

16 Производные высших порядков

17 § Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций Условия монотонности функции

19 Необходимое условие существования экстремума функции

20 Теорема Ферма Геометрическая интерпретация y x M X0X0 X0+ΔxX0+Δx Замечание y x y=x 3 X 0 - x

21 Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) а) непрерывна на отрезке [ a, b ] б) дифференцируема на интервале ( a, b ) в) f( a ) = f( b ) Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что f '(С) = 0 f(a)=f(b)m y x M a b y x m a b или Возможные случаи

22 Теорема Лагранжа (о конечных приращениях) Пусть функция y = f( x ) а) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ] б) дифференцируема на интервале ( a, b ). Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что Геометрически y x A a b B b - a f(b)-f(a) tg =f ' (C) C C1C1 C2C2

23 Теорема Коши Пусть функции f( x ) и g( x ) а) непрерывны на отрезке [ a, b ] б) дифференцируемы на интервале ( a, b ) и g'( x ) 0. Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что

24 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

26 Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки x = a и g'(x) 0 в окрестности x=a. Если и существует, то существует конечный предел, причем § Теорема Лопиталя (правило Лопиталя) Замечание 1. Если f' (x) и g' (x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, в окрестности точки x=a, то правило Лопиталя применяется к отношению производных:

27 г) тогда существует конечный предел, причем Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в случае x, т.е. если Теорема. ( Правило Лопиталя для случая/ ) Пусть функции f(x) и g(x) а) дифференцируемы в окрестности точки x = a б) в) g'(x) 0 в окрестности x=a.

30 § Формула Тейлора и Маклорена Определение. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n где a 0, a 1, …, a n – коэффициенты многочлена, n – натуральные числа. Многочлен полностью определяется своими коэффициентами. Определение. Многочленом (полиномом) по степеням ( x – x 0 ) называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) + a 2 ( x – x 0 ) 2 + … + a n ( x – x 0 ) n. Определение. Формула называется формулой Тейлора для многочлена P n (x).

31 Теорема. Пусть функция f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке x (a, b) производные до n - го порядка включительно. Тогда при x x 0 функция f(x) сходится к своему многочлену Тейлора и можно записать f (x)= f (x 0 )+ f ( x 0 )(x – x 0 ) + f ( x 0 )(x – x 0 ) 2 + … + f (n) ( x 0 )(x – x 0 ) n +R n (x). Формула называется формулой Тейлора для функции f ( x ). Теорема. Разность между функцией f ( x ) и её многочленом Тейлора P ( x ) является б.м. функцией высшего порядка малости по сравнению с ( x – x 0 ) n f (x) – P (x) = R n (x) = O ( (x – x 0 ) n ) R n (x) - остаточный член в форме Пеано R n (x) = O ( (x – x 0 ) n ) в форме Лагранжа, где x 0

32 x y x0x0 x y=f(x) f(x) P(x) R n (x) f(x)=P(x)+R n (x)

33 sinx y x P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P 4 (x) 0 π -π-π Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при x 0 = 0

34 Стандартные разложения Маклорена Уметь получать разложения

35 § ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Определение. Функция y=f(x) называется а) возрастающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 f(x 2 ); c) невозрастающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 f(x 3 ) x y y=f(x)

36 Определение. Говорят, что f '(x) меняет знак в точке x 0, если существует окрестность точки x 0 : (x 0 -δ, x 0 +δ), в которой при x

38 Теорема. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой) Пусть y = f (x) непрерывна на [ a,b ], и имеет в ( a, b ) производную до второго порядка включительно, тогда а) если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f (x) отрицательна: f '' (x) 0, то кривая на ( a, b ) вогнута. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на ( a,b ), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на ( a,b ). Кривая называется выпуклой. y x a b x Определение. Кривая обращена выпуклостью вниз на ( a,b ), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой. y x a b x

39 Теорема. ( Достаточное условие существования точки перегиба ) Пусть в точке x 0 выполнены необходимые условия существования точки перегиба, и пусть при переходе через эту точку f '' (x) меняет знак, тогда точка x 0 является точкой перегиба графика функции. Определение. Точка ( x 0 ;y 0 ), лежащая на кривой f(x), называется точкой перегиба функции y=f(x), если существует окрестность точки x 0 такая, что при x x 0 - по другую сторону касательной. y x x Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой. ( Необходимое условие существования точки перегиба ) Если вторая производная в некоторой точке x 0 равна нулю или не существует, то эта точка есть точка перегиба графика функции.

40 Асимптоты кривых Определение. Прямая называется асимптотой кривой y = f ( x ), если расстояние от точки M кривой f ( x ) до данной прямой 0 при неограниченном удалении т. М от начала координат. M y x O f(x) Опр. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из пределов равен или -. Опр. Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой графика функции f ( x ) при x ±, если Теорема. ( Критерий существования наклонной асимптоты ) Для того, чтобы прямая y = k x + b была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

41 Общий план исследования функции и построения графиков D(y) – область непрерывности Найти, охарактеризовать точки разрыва, выделить вертикальные асимптоты Четность, нечетность Периодичность Промежутки возрастания, убывания; точки min, max Промежутки выпуклости, вогнутости; точки перегиба Наклонные асимптоты графика функции Дополнительные точки: 1) пересечение с осями координат 2) f(x min ), f(x max ) 3) f(x перегиб ) Построение графика функции

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

ВОПРОС 1 Определение производной функции, её геометрический и механический смысл.

№1. Задача о прямолинейном движении материальной точки Пусть материальная точка движется по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние S, пройденное точкой от начала отсчета O за время t . Значит, S(t) – функция времени, описывающая закон движения.

№1. Задача о прямолинейном движении материальной точки Пусть в момент времени t0 точкой было пройдено расстояние S(t0 ). А в момент времени t = t0 + t – расстояние S(t). Тогда за время t точка прошла расстояние:

№1. Задача о прямолинейном движении материальной точки Мгновенная скорость движения: Средняя скорость движения за время t: Чем меньше t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения в момент времени t.

Дана кривая L, а на ней отмечена точка М0. Прямую М0М, где М – произвольная точка кривой, называют секущей. Пусть точка М, двигаясь вдоль кривой L, неограни-ченно приближается к М0 . №2. Задача о касательной к кривой Касательной к данной кривой в точке М0 называется предельное положение секущей М0М.

№2. Задача о касательной к кривой Угловой коэффициент секущей: Угловой коэффициент касательной:

– если Q(t) – количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t: – если N(t) – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t: – если m(t) – масса неоднородного стержня между точками, то линейная плотность стержня в точке x: №3. Аналогичные задачи То есть везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Для нахождения производной функции y=f(x) нужно: Аргументу x0 задать приращение x: Найти приращение функции: Составить отношение приращения функции к приращению аргумента Найти предел этого отношения при x  0:

Примеры 1. Найти производную функции y = c.  Зададим x0 приращение х: х=x – x0  Найдём приращение функции f(x0)=c и f(x)=c  Вычислим производную: 2. Найти производную функции y = х.  Зададим x0 приращение х: х=x – x0  Найдём приращение функции f(x0)=x0 и f(x)=x0+х  Вычислим производную:

Физический смысл производной: Геометрический смысл производной: Если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’ есть скорость протекания этого процесса. Производная y’ в точке x0 равна угловому коэффи-циенту касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0.

Уравнение касательной: Уравнение нормали: Если точка касания М0 имеет координаты (x0,y0) , то уравнение касательной, проходящей через данную точку, имеет вид: Прямая перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью к кривой. Уравнение нормали (если ): х у

1) найдём значение функции в точке x0: y(x0) = 23 = 8; 2) найдём производную функции: y’ = 3x2; 3) найдём значение производной в точке x0: y’ (x0) = 322=12. уравнение касательной: y=8+12(x – 2). 5) уравнение нормали: y=8 – (x – 2). Пример Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x3 в точке с абсциссой x0=2.

ВОПРОС 2 Производные основных элементарных функций.

Таблица производных: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Таблица производных: 8. Производные тригонометрических функций: 9. Производные обратных тригонометрических функций:

ВОПРОС 3 Правила нахождения производных.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функций сумме (разности) производных этих функций: Пример:

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго: Следствия: 1. 2. Пример:

Теорема 3. Производная частного двух функций , если , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: Пример:

Теорема 4. Если функция u=(x) имеет производную u’x в точке x, а функция y=f(x) имеет производную y’u в соответствующей точке u=(x), то сложная функция y=f((x)) имеет производную в точке x которая находится по формуле: т.е. производная внешней функции (по промежуточному аргументу u) умножается на производную внутренней функции (по независимому аргументу x). Пример:

Теорема 5. Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a,b) и имеет неравную нулю производ-ную f’(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x=(y) также имеет производную ’(y) в соответствующей точке, определяемую равенством: Пусть , обратная функция . Пример:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 206 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Глава 5. Производная

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

22.01.2019 1022
PPTX 502.4 кбайт
11 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Егорова Надежда Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читайте также: