В каком классе изучают пределы lim функции в школе
Обновлено: 05.07.2024
Цели: дать понятие предела функции; рассмотреть простейшие его свойства.
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1. Найдите сумму геометрической прогрессии 9, 3, 1, 1/3, .
2. Решите уравнение 2х + 4х2 + 8х3 +. = 3 (где |х|
3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(16).
1. Найдите сумму геометрической прогрессии 8, 3, 1/2, 1/8, .
2. Решите уравнение 3х + 6х2 + 12х3 + . -2 (где |х|
3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(24).
III. Изучение нового материала
Понятие и строгое определение предела функции достаточно сложные, и многие студенты их не воспринимают и не умеют ими пользоваться. Поэтому на этом занятии мы попытаемся дать некие представления о пределе функции и его свойствах, не вводя строгого определения предела. Все-таки при этом попытаемся связать предел функции с пределом последовательности (что обсуждалось ранее).
1. Предел функции на бесконечности
Будем рассматривать поведение функции у = f (х) при х → +∞. Пусть область определения такой функции D ( f ) = [а; +∞). Возьмем последовательность аргументов х n = а + n (где n ∈ N ) и соответствующую ей последовательность значений у n = f ( xn ) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Разумно считать, что число b является и пределом функции у = f (х) при стремлении x к плюс бесконечности. Для описания этой математической модели используют запись При этом прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f (х). Другими словами, при х → +∞ значения функции у = f (х) практически равны числу b .
Найдем предел функции
Рассмотрим последовательность аргументов х n = n (где n ∈ N ).
Очевидно, что при n → ∞ аргументы х n → +∞. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид: Предел такой последовательности легко вычисляется: Тогда и предел данной функции
Аналогично можно дать определение предела функции у = f ( x ) при х → -∞. Пусть область определения этой функции D ( f ) = (-∞; а]. Рассмотрим последовательность аргументов х n = а - n (где n ∈ N ), которая при n → ∞ стремится к -∞ (т. е. х n → -∞). Возьмем соответствующую ей последовательность значений у n = f (х n ) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Тогда будем считать, что число b является и пределом функции у = f (х) при стремлении х к минус бесконечности, т. е. При этом прямая у = b будет горизонтальной асимптотой графика функции у = f ( x ).
Если выполнены соотношения то их объединяют одной записью или еще более короткой записью (читают: предел функции у = f (х) при стремлении х к бесконечности равен b ).
Так как предел функции связан с пределом последовательности, то при вычислении подобных пределов используются аналогичные теоремы.
1) Для любого натурального показателя т справедливо соотношение
2) Если то:
а) предел суммы равен сумме пределов, т. е.
б) предел произведения равен произведению пределов, т. е.
в) предел частного равен частному пределов (при с ≠ 0), т. е.
г) постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е.
В силу этих теорем вычисление пределов функции похоже на вычисление пределов последовательностей.
Найдем
Преобразуем данную функцию Для этого выражение умножим и разделим на сопряженную величину: Теперь легко вычислить предел функции: Отсюда и
2. Предел функции в точке
Такое понятие характеризует поведение функции у = f (х) в окрестности точки х = а. При этом в самой точке х = а функция может и не существовать. Попробуем сформулировать понятие предела функции у = f ( x ) в точке х = а. Рассмотрим последовательности аргументов которые сходятся к точке а, т. е. х n → а при n → ∞. Также рассмотрим соответствующие последовательности у n = f (х n ) значений функции. Пусть Тогда разумно считать, что число b является пределом функции у = f ( x ) в точке х = а. При этом используют запись (читают: предел функции у = f ( x ) при стремлении х к а равен b ).
Обсудим три часто встречающиеся ситуации (см. рисунок).
За исключением точки х = а, функции одинаковы, пределы этих функций также равны. Отличие функций состоит в следующем: в случае а функция существует во всех точках и предел функции равен ее значению в точке а (т. е. b = f ( a )); в случае б функция не определена в точке а (т. е. f ( a ) не существует); в случае в функция определена во всех точках, но b ≠ f ( a ).
Таким образом, графический смысл предела заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению х = а, то соответствующие значения функции все меньше и меньше будут отличаться от предела b .
Заметим, что положение еще сложнее. Обсудим функцию, график которой приведен на рисунке.
Функция у = f ( x ) определена во всех точках. Что касается предела функции, то ситуация усложняется. Видно, что при стремлении х к а слева (т. е. при х a ) при стремлении х к а справа (т. е. при х > a ) Поэтому начинает возникать понятие одностороннего предела функции. Сейчас мы не имеем возможности углубляться в эти понятия. Однако помните, что функции и их графики могут быть очень непривычными и сложными. Чтобы их характеризовать, и приходится вводить все более и более сложные понятия.
Обсудим теперь очередное понятие - непрерывность функции y = f ( x ) в точке х = а. Ранее мы говорили, что функция непрерывна, если ее график представляет собой сплошную линию (без разрывов, выколотых точек и т. д.). Таковой является функция а на рис. а-в.
Определение 1. Функцию у = f ( x ) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции при стремлении хка равен ее значению в этой точке, т. е.
Докажем, что функция у = х2 непрерывна в любой точке х = а.
Сначала найдем предел функции Рассмотрим последовательность (где n ∈ N ), сходящуюся к а. Тогда так как и С другой стороны, f ( a ) = а2. Видно, что Поэтому по определению данная функция у = x 2 непрерывна в любой точке х = а.
Функция у = f ( x ) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В курсе математического анализа доказано утверждение: если выражение f ( x ) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f ( x ) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f ( x ).
Понятие непрерывности функции помогает вычислять пределы функции, так как
Найдем
Данная функция определена в точке х = 1. Поэтому
Вычислим
Функция определена в точке х = π /6. Получим:
Если функция у = f (х) не определена в точке х = а, то предел функции также можно вычислить.
Найдем
При x = 4 числитель и знаменатель функции равны нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому сократим дробь: Теперь вычислим предел этой функции: Заметим, что выражения совпадают при х ≠ 4. Причем для вычисления предела функции при x → 4 саму точку x = 4 исключают из рассмотрения.
Вычислим
1-й способ. Поступим аналогично предыдущему примеру и сократим дробь. Для этого числитель и знаменатель умножим на величину Получим:
2-й способ. Введем новую переменную Тогда при х → 3 величина и х = z 2 - 1. Имеем:
При вычислении некоторых пределов полезно помнить, что (первый замечательный предел).
Найдем
Используем формулу понижения степени и теоремы о пределах:
Вычислим
Представим функцию в виде
При вычислении предела функции в точке, как и при вычислении предела последовательности и предела функции на бесконечности, используют теорему о пределах. Если то:
3. Приращение аргумента. Приращение функции
Для характеристики поведения функции у = f ( x ) вблизи точки х0 необходимо знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятие приращений аргумента и функции.
Определение 2. Пусть функция у = f ( x ) определена в точках х0 и х0 + Δх. Величину Δх называют приращением аргумента (при переходе от точки х0 к точке x 0 + Δх), а разность Δ f = f (х0 + Δх) - f (х0) называют приращением функции.
Обсудим геометрический смысл введенных понятий приращений аргумента и функции.
Рассмотрим график функции у = f ( x ) и две точки A ( x 0 , f ( x 0 )) и B (( x 0 + Δх; f ( x 0 + Δх)), принадлежащие графику. Проведем через эти точки секущую l . В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС = Δх и ВС = Δ f Угловой коэффициент к секущей l равен tg а = Δ f /Δ x . (Напомним, что угловой коэффициент прямой у = k х + b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.)
Разумеется, введенные понятия используются в физике и технике. Запишем, например, среднюю скорость движения тела за промежуток времени [ t 0 ; t 0 + Δ t ]. При движении тела по прямой средняя скорость где x ( t ) - координата тела.
По аналогии со средней скоростью движения тела выражение называют средней скоростью изменения функции f ( x ) на промежутке [х0; х0 + Δх].
Найдем приращения аргумента Δх и функции Δ f в точке х0 = 3, если f ( x ) = 3х2 и:
Используя рассмотренные понятия, получим:
Найдем приращение Δ f функции f (х) в точке х0, если приращение аргумента равно Δх и:
Используя понятие приращения функции, получим:
Дан квадрат со стороной а. Найдем погрешность Δ S , допущенную при вычислении площади S = а2 этого квадрата, если погрешность при измерении стороны квадрата равна Δх.
По определению приращения аргумента х = а + Δх, тогда приращение функции
В заключение еще раз обсудим непрерывность функции у = f ( x ) в точке х = а. Ранее данное определение значило, что функция непрерывна, если Так как х → а, то приращение аргумента Δх = х - а → 0. При этом f (х) → f ( a ), т. е. приращение функции Δ f = f ( x ) - f (а) → 0 или Заметим, что из примеров 10-12 следует, что для фиксированной точки а приращение функции Δ f зависит только от приращения аргумента, т. е. Δ f является функцией Δх.
Определение 3. Функция у = f ( x ) непрерывна в точке х = а, если при Δх = х - а → 0 величина Δ f = f ( x ) - f ( a ) → 0.
Покажем, что функция f (х) = х2 непрерывна в любой точке х - а.
Рассмотрим приращение аргумента Δх = х - а, тогда х = а + Δх. Найдем и приращение функции Очевидно, что Тогда f (х) = х2 непрерывна в любой точке х = а.
IV. Контрольные вопросы
1. Понятие о пределе функции на бесконечности.
2. Предел функции в точке х = а.
3. Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.
4. Чему равен угловой коэффициент секущей к графику функции?
5. Запишите определение средней скорости движения тела.
6. Что называют средней скоростью изменения функции?
7. Непрерывность функции в точке х = а.
8. Непрерывность функции на промежутке X.
V. Задание на уроках
§ 26, № 1; 3; 5 (а, в); 7 (б, г); 8 (б); 10 (а, 6); 11; 12 (в, г); 14 (а); 15 (в, г); 17 (а, б); 18 (в); 19 (а); 21 (в, г); 23 (а); 24 (б).
VI. Задание на дом
§ 26, № 2; 4; 5 (б, г); 7 (а, в); 8 (г); 10 (в, г); 12 (а, б); 13; 14 (б); 15 (а, б); 17 (в, г); 18 (б); 19 (б); 21 (а, б); 23 (б); 24 (г).
VII. Творческое задание
Ответы:
Что будем изучать:
1. Что такое предел функции в точке.
2. Определение непрерывной функции.
3. Обобщение знаний о непрерывных функциях.
4. Свойства предела.
5. Примеры.
1) Что такое предел функции в точке?
Ребята, давайте посмотрим на три графика функции, приведенные ниже:
На первый взгляд, графики выглядят совершенно одинаково, но давайте внимательнее посмотрим на наши графики. Посмотрим внимательно на значения функции y=f(x) в точке а.
На Рис1. изображен график непрерывной функции. Значение нашей функции в точке a f(a)=b.
На Рис2. изображен график с так называемой выколотой точкой, значения нашей функции в точке а не существует, посмотрите внимательно на график, наше значение как будто взяли и выкололи.
На Рис3. изображен график значение, которого в точке а существует, но где то отдельно от всего графика, f(a) – расположена выше нашего графика.
На наших рисунках изображены графики трех разных функций. Если мы не будем рассматривать точку а, то графики функций совпадают. При x а графики совершенно одинаковые.
Все случаи описанные для наших рисунков, на математическом языке записывается как:
Читается как: предел функции y=f(x) при x стремящимся к а равен b.
Теперь давайте постараемся понять, что же написано выше. Если значения аргумента функции y=f(x) подбирать все ближе к числу а (если из а вычитать подобранные значения аргумента, то результатом будет число практически равное нулю), то соответствующие значения функции будут все ближе и ближе к b (если из b вычитать полученные значения функции, то результатом будет число практически равное нулю). При этом стоит заметить, что саму точку а не учитываем.
Посмотрим опять на первый график: Можно заметить что:
График функции на нашем рисунке непрерывен. Тогда, давайте напишем определение непрерывной функции:
Определение непрерывной функции.
Определение. Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется тождество:
Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции при x стремящимся к а, равен значению функции в точке x=a.
Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке нашего отрезка.
Обобщение знаний о непрерывных функциях.
Полезно: В курсе высшей математики или математическом анализе, существует ряд теорем и утверждений которые доказывают, что все функции, которые мы с вами рассматривали в ранних курсах алгебры являются непрерывными, мы с вами интуитивно и с помощью графиков понимали, что функция непрерывна. Давайте обобщим изученное, важным утверждением:
Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определенно выражение f(x).
Свойства функции
Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:
Примеры:
А) Найти предел функции:
Решение:
Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.
Б) Найти предел функции:
Решение:
Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:
Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке . Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:
Ответ: -1/3
В) Найти предел функции:
Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.
x 2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Сократим нашу дробь
Тогда получаем:
y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности
Ответ: 4
Г)Найти предел функции:
Решение:
Область определения функции
Наша точка x=2 не попадает в область определения, тогда предел функции не существует.
Ответ: Не существует.
Д) Найти предел функции:
Решение:
Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.
Ответ: -1
Е) Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
1)Область определения – множество действительных чисел.
поспорил вчера аж на цельный мохито.
я считаю что нет.
касается общеобразовательной школы.
Спасибо.
baraNEO
Нет, не проходят. Пределы и прочие правила Лопиталя проходят в курсе математического анализа на первом курсе.
14 янв аря 2010
хе-хе
похоже я выиграл уже 3-й мохито.
глупые женщины. му-ха-ха
baraNEO
Если вопрос об общеобразовательной программе, то однозначно нет. Хотя наверняка есть 10-11 классы "для особо ударенных головою", где это проходят. У меня физматкласс в 11 классе проходили бином Ньютона. Все ударенные были. Хорошо, что я в общеобразовательный класс пошел.
Определение Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой точки x 0 . Функция f имеет предел в точке x 0 , если для любой последовательности точек x n , n = 1, 2. x n ≠ x 0 , стремящейся к точке x 0 , последовательность значений функции f (x n ) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x 0 , (или при x → x 0 ) при этом пишется у х О х 0 А
Определение Число А называется пределом функции f в точке x 0 , если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x 0 , удовлетворяющих условию | х — x 0 | 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А 1 у х О а А 1 а-δ А 1 + ε А 1 - ε Предел функции слева
Предел функции справа Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А 2 у х О а А 2 а+δ А 2 + ε А 2 - ε Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева. у х О а А
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов.
Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе "Раскрытие неопределенности при вычислении предела функции"
План-конспект урока по алгебре для профильного 10 класса или с углубленным изучением математики.
В технологической карте содержится описание заняти со всеми необходимыми пояснениями.
В презентации содержится материал к занятию.
открытый урок по теме "пределы" для старшеклассников (в помощь учителю математики).
Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.
Читайте также: