В каких случаях целесообразно применять метод узлового напряжения кратко

Обновлено: 03.07.2024

Метод контурных токов – это один из методов расчета электрической цепи, при котором за неизвестные величины принимаются токи в контурах, образовавшиеся в результате условного ее деления.

Рисунок 1. Метод контурных токов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Контурные токи находятся в результате решения системы уравнения, которое составляется по закону Кирхгофа для каждого контура. После определения контурных токов рассчитываются токи ветвей электрической схемы. Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных токов выглядит следующим образом:

Сначала задаются направления токов ветвей, затем их обозначение отображают в схеме.
Выбираются независимые контуры, после чего они нумеруются.
Затем выбираются направления контурных токов, как правило в одну сторону, и составляет уравнение по методу контурных токов.
Полученная система алгебраических уравнений решается относительно неизвестных контурных токов.
Рассчитывают токи в ветвях электрической схемы, представляющие собой сумму контурных токов, которые проходят по данным ветвям.

Определим токи в ветвях электрической схемы, представленной на рисунке ниже.

Рисунок 2. Электрическая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На данной схеме уже отмечены направления токов ветвей, согласно алгоритму. На данной схеме также определены независимые контуры (a, b, c, d). Теперь необходимо определить контурные токи Ik1, Ik2 и Ik3. Так как в одной из ветвей содержится источник тока (J), то контурный ток Ik3=J. Для остальных токов составляется система уравнений, имеющая следующий вид:

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 3. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Это же уравнение может иметь и другой вид:

Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если мы подставим в данные уравнения численное значение сопротивления независимого контура, то получится следующая система уравнений:

Рисунок 5. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решая выше представленную систему уравнений находятся значения контурных токов Ik1 и Ik2 по методу контурных токов (I1=Ik1, I2=Ik2). Токи I3 и I4 определяем по первому закону Кирхгофа. Согласно данному закону уравнение для узла а будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 6. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для узла b уравнение будет иметь следующий вид:

Рисунок 8. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проверить правильность решения можно по балансу мощностей, но предварительно необходимо найти напряжения на зажимах источника питания электрической цепи:

Рисунок 10. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Тогда, согласно балансу мощностей, получаем:

Рисунок 11. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если данное уравнение выполняется, то расчет электрической цепи методом контурных токов выполнен верно.

Метод узлового напряжения

Метод узлового напряжения - один из методов расчета электрической цепи при помощи алгебраических линейных уравнений, где неизвестными величинами являются потенциалы в ее узлах.

Метод узлового напряжения используется для расчета электрических цепей, количество элементов в которых более десяти. Этот метод применяется для адаптации законов Ома и Кирхгофа к расчету электрических цепей любой сложности.

Перед началом расчета выбирается базовый узел, в котором потенциал равен 0. После этого каждый узел нумеруется и составляется система уравнений. Слева от знака равенства записывается:

Потенциал рассматриваемого узла, который умножается на проводимость его ребер, примыкающих к нему. Проводимости ребер, в которых содержится источник электрического тока, принимается равным 0 и не учитывается при расчетах.
Отрицательные значения потенциалов, которые примыкают к исследуемому узлу и помноженные на проводимости ребер, соединяющих их с ним. В случае, если узел соединен с рассматриваемым узлом ребром, котором содержится источник тока, то такой узел не учитывается при расчетах.

В правой части уравнения записываются: сумма произведений всех электродвижущих сил, которые примыкают к исследуемому узлу, умноженные на проводимость соответствующего звена; сумма всех источников электрического тока, примыкающих к рассматриваемому узлу. Если источник тока направлен в сторону исследуемого узла, то он записывает с положительным знаком, если направлен противоположно, то с отрицательным знаком.

Проводимость звена, в котором последовательно подключен идеальный источник электрического тока, равна 0.

Рассмотрим электрическую схему (рисунок ниже), в которой четыре узла.

Рисунок 12. Электрическая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Примем, что потенциал в узле 0 равен нулю (ф=0), тогда система уравнений для узлов 1,2 и 3 будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 13. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проводимости ребер равны:

Метод узловых потенциалов применяется для расчета эквивалентной схемы электрической цепи, поэтому имеет такие же ограничения, как у применимости эквивалентной схемы. Если исходная схема реальна, то сначала необходимо составить эквивалентную ей схему, по которой и осуществляются дальнейшие расчеты. Получается, что схема, для расчета которой используется метод узловых напряжений, не содержит реальных составляющих таких, как транзисторы, гальванические элементы, диоды, лампы и т. п.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21.02.2022

Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.

При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.

Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие.
В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.

Рис.1. Схема постоянного тока

Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.

Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ₁, φ₂, φ₃. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.

В общем виде система имеет вид:

Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения

имеют следующий смысл:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае

Аналогично находятся и остальные проводимости:

J₁₁ – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае

В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:

Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:

В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.

В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что

Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.

Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.

Рис.2. Моделирование в Multisim

Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.

1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. ПОНЯТИЕ О ДВУХПОЛЮСНИКАХ.СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНОВ ОМА И КИРХГОФА ПРИ РАСЧЕТЕ И АНАЛИЗЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ОДНИМ ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ И ПАССИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ. ПРОСТЕЙШАЯ ЦЕПЬ С ОДНИМ ПРИЕМНИКОМ
4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ,СОДЕРЖАЩИЕ СОЕДИНЕНИЯ РЕЗИСТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕУГОЛЬНИКОМ
7. ПОНЯТИЕ ОБ ИСТОЧНИКЕ ТОКА
8. МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
9. МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
10. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
11. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
12. ПОЛУЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЭДС. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
13. ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ КАТУШКУ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ R И ИНДУКТИВНОСТЬЮ L
14. ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ РЕЗИСТИВНЫЙ И ЕМКОСТНОЙ ЭЛЕМЕНТЫ
15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, C
16. АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ ЦЕПИ
17. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
18. РЕЗОНАНС ТОКОВ
19. СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ ФАЗ ИСТОЧНИКОВ И ПРИЕМНИКОВ. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ЭДС, НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ
20. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ИСТОЧНИКОВ. НОМИНАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
21. СОЕДИНЕНИЯ ПРИЕМНИКОВ ЗВЕЗДОЙ
22. СОЕДИНЕНИЯ ПРИЕМНИКОВ ТРЕУГОЛЬНИКОМ
23. УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ МАГНИТНЫХ УСТРОЙСТВ
24. ПОНЯТИЕ О ДВУХТАКТНЫХ И ТРЕХТАКТНЫХ МАГНИТНЫХ УСТРОЙСТВАХ
25. МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Электроника и электротехника. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

9. МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Метод узлового напряжения дает возможность просто произвести анализ и расчет электрической цепи, содержащей несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей, например цепи, схема которой изображена на рисунке 12.

Рис. 12. Схема электрической цепи

Пренебрегая сопротивлением проводов, соединяющих ветви цепи, схему (рис. 12а) можно заменить более удобной для рассмотрения (рис. 12б).

В зависимости от значений и направлений ЭДС и напряжений, а также значений сопротивлений ветвей между узловыми точками а и b установится определенное узловое напряжение Uab. Предположим, что оно направлено так, как показано на рисунке 12, и известно. Зная напряжение Uab, легко найти все токи.

Выберем положительные направления токов, например так, как показано на рисунке. Тогда по второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по первой ветви,

Поступая аналогичным способом, нетрудно получить формулы для токов I2, I3 и I4:

По закону Ома для пятой ветви:

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение Uab. Преобразуем формулу по первому акону Кирхгофа:

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид:

При анализе и расчете электрических цепей методом узлового напряжения целесообразно выбирать положительные направления токов после определения узлового напряжения. В этом случае положительные направления токов нетрудно выбрать таким образом, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Потребители электрической энергии (освещения, силовая нагрузка) в различное время суток имеют неодинаковую мощность. Ночью эта мощность минимальная, утром постепенно увеличивается, достигая вечером наибольшего значения. На электростанции целесообразно иметь несколько генераторов. При малой мощности работает один генератор, с ростом мощности увеличивается число работающих генераторов.

Для увеличения мощности при неизменном напряжении генераторы включают параллельно. При этом получается сложная электрическая цепь с двумя узлами, к которым присоединяется приёмники электрической энергии.

Узловым напряжением называют напряжение между узлами такой цепи. Узловое напряжение равно разности потенциалов этих двух точек.

Для расчёта подобных сложных электрических цепей обычно используют методом узлового напряжения.

1. Найдём проводимости ветвей, которые всегда положительны.

2. Найдём узловое напряжение по формуле:

а) Выбираем одинаковое для всех ветвей направление тока от одного узла к другому.

б) ЭДС, сонаправленные току ветви, считаем положительными, а направленные противоположно – отрицательными.

3. Определяем токи в ветвях.

на рисунке представлена схема сложной цепи с двумя узлами. Примем за положительное направление токов во всех ветвях направление от узла Б к узлу А, то есть предположим, что все источники работают в режиме генераторов. Напряжение между узлами А и Б (узловое напряжение) обозначим U.

Оно равно разности потенциалов точек А и Б: U=φa-φb

Напряжение на зажимах генератора равно разности ЭДС и внутреннего падения напряжения U=E-Ir поэтому на первом участке ток:

Аналогично для участков цепи:

где общая проводимость электроприёмников.

По первому закону Кирхгофа, составим уравнение для узла А:

Подставив в это уравнение найденные выражения токов, получим:

раскрыв скобки, найдём узловое напряжение:

или в общем виде:

т.е. узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимости всех ветвей.

Найти: все токи, мощности генераторов, мощности потерь на внутренних сопротивлениях, мощность потребителя R₃.

Рис.22

Решение задачи:

1. Применение метода двух узлов. В отличие от трёх предыдущих методов, применимых к любой цепи, этот метод пригоден для расчёта цепей, имеющих только два узла (при любом числе ветвей).

Цепи с двумя узлами часто встречаются на практике, и метод двух узлов значительно упрощает их расчёт.

Для расчёта применяется формула, определяющая напряжение между узловыми точками:

где ∑Eg – алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость ветви;

∑g – сумма проводимостей ветвей.

Так, для рассматриваемой цепи (рис. 22)

Здесь в числителе отсутствует слагаемое E₃g₃, так как ЭДС в третьей ветви нет. Если бы, например, ЭДС Е₂ действовала в обратном направлении, то перед слагаемым Е₂g₂ надо было бы поставить знак минус.

2. Вычисление узлового напряжения. Определяем проводимости ветвей:

См;

3. Выбор положительных направлений токов. Рассматриваемая цепь (рис. 22) имеет три ветви с токами I₁, I₂ и I₃, направления которых до расчёта цепи неизвестны (сложная цепь); поэтому надо выбрать произвольно их положительные направления (сплошные стрелки рис. 22)

4. Вычисление токов. Принятые на рис. направления токов совпадают с направлениями действия ЭДС. В таком случае узловое напряжение, или напряжение на концах ветви с ЭДС, равно разности ЭДС источника и падения напряжения на сопротивлении ветви, т.е.

По закону Ома ток

5. Вычисление мощностей. Мощности, развиваемые источниками:

Мощности потерь на внутренних сопротивлениях:

Вт=0,05 кВт;

Вт=0,0652

кВт.

Составим баланс мощностей:

кВт;

кВт.

чего и следовало ожидать, если расчёт выполнен правильно.

*Дополнительные вопросы к задаче

1. В каких случаях полезно цепь с тремя узлами преобразовать в цепь с двумя узлами?

Цепь по рис. 22 содержит три узла, её расчёт был выполнен методом наложения. Однако, преобразовав соединение сопротивлений R₁, R₂, R₃ треугольником в соединение звездой, получим схему с двумя узлами, к которой применим метод двух узлов.

2. С какой точностью следует вычислять узловое напряжение?

В большинстве практических задач, как и в рассматриваемой, величина узлового напряжения мало отличается от величин ЭДС. Поэтому в нашем случае при ошибке всего лишь на 1% в определении U_АБ, т.е. считая U'_АБ=227,25 В вместо 225 В, получаем вместо значения тока I₁=10 А величину I'₁=(E₁-U'_АБ)G₁=(230-227,25)2,0=5,5 A, или с ошибкой на 45%.

Этот пример показывает, что узловое напряжение следует вычислять с точностью, на два порядка большей, чем требуется для величин токов. Поэтому метод двух узлов не следует применять для цепей, у которых узловое напряжение мало отличается от величин ЭДС.

3. Какие параметры источников влияют на распределение токов в ветвях?

Для параллельной работы генераторов наиболее интересен вопрос о распределении нагрузки (тока) между ними.

Так, при Е₁=Е₂ получим отношении токов

т.е. при равных ЭДС параллельно включенных генераторов их токи обратно пропорциональны внутренним сопротивлениям.

4. Как изменяется токи генераторов, если ЭДС. Е₂ уменьшить на 1%? Принимая Е₂=227,7 В, получаем:

В;

А;

А,

т.е. ток второго источника уменьшился с 12,5 до 9,875 А, или на 21 %.

Итак, небольшое изменение ЭДС одного из параллельно работающих генераторов приводит к значительному изменению его тока.

5. Каким образом можно полностью разгрузить один из генераторов?

Полная разгрузка генератора означает отсутствие тока в его цепи. Допустим, что в нашей задаче второй генератор разгружен, т.е. I₂=(E₂-U_АБ)g₂=0. Это возможно при условии, что E₂=U_АБ. Подставляя последнее равенство в формулу для узлового напряжения, получаем:

В,

т.е. при узловом напряжении 219 В второй генератор полностью разгружен или, как говорят, скомпенсирован. Такой режим получится, если уменьшить ЭДС Е₂. При уменьшении ЭДС Е₂ снижается и узловое напряжение При ЭДС Е₂=219 В и U_АБ=219 В ток I₂=0.

6. В каких случаях один из параллельно включенных источников работает в режиме потребителя?

Так, например, при Е₁=245 В и Е₂=230 В узловое напряжение

В;

А,

т.е. в этом случае ток I₂ направлен навстречу ЭДС Е₂ и аккумулятор работает в режиме потребителя (зарядка).

При отключении генератора аккумулятор как единственный в цепи источник питания перейдёт в режим генератора и будет питать потребитель.

Читайте также:

В каких случаях целесообразно применять метод узлового напряжения кратко

Готовые работы на аналогичную тему

Метод узлового напряжения

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Оглавление