Свободные и гармонические колебания план урока

Обновлено: 05.07.2024

Цель урока : оценка состояния колебательной системы в любой момент времени с использованием математического анализа.

Задачи урока:

Предметные (учебные):

- научиться грамотно применять для оценки состояния физической системы методы математического анализа.

Метапредметные:

- формировать межпредметные связи;

- совершенствовать навыки самостоятельной работы, целеполагания;

- продолжить формирование научного мировоззрения;

- развивать навыки контроля и самоконтроля;

- совершенствовать умение вести предметный диалог.

- формировать интеллектуальную, исследовательскую, информационную культуру;

- развивать личностно-смысловое отношение к предметам;

- учиться взаимодействовать с другими, грамотно отстаивать свою точку зрения;

-воспитывать упорство в достижении цели

УМК :
1. Мякишев Г.Е., Буховцев Б.Б., Чаругин А.В. –Физика 11 класс-М.: Просвещение, 2014
2. Алгебра и начала математического анализа 11 класс С.М. Никольский и др. – М.: Просвещение , 2015

Технологическая карта урока (2 урока по 45 мин):

1. Организационный этап -2 мин;

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

3. Формирование учебной ситуации-5 мин

4. Проектирование и реализация учебной ситуации, самостоятельная работа с самопроверкой по эталону - 70 мин

5. Этап смысловой и эмоциональной рефлексии-10 мин

Технологическая карта урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1 этап. Организационный этап

Цель ученика: настроиться на урок.

- Здравствуйте, ребята. Перед вами два учителя – физик и математик. Мы с вами работаем в таком составе не в первый раз.

- Математические построения абстрактны, они зачастую не имеют отношения к свойствам окружающего мира. Одно и то же уравнение, например, квадратное, может применяться к решению самых разных физических задач.

Одинаковые математические законы описывают самые разнообразные физические явления и процессы.

- Это делает математику универсальным инструментом, с помощью которого строится физическая наука.

Здороваются с учителями, готовятся к уроку.

2 этап Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель учителя : создание условий для возникновения у учащихся внутренней потребности включения в учебную деятельность, актуализировать знания и фиксировать недостатки.

Цель ученика: установить эмоциональный контакт с учителем, внутренне мотивировать себя на работу, выполнить задание учителя, тренирующие отдельные способности к учебной деятельности, мыслительные операции и учебные навыки

- Эпиграфом к сегодняшнему уроку мы взяли слова Бенджамина Франклина, одного из американских президентов, прекрасного политика и естествоиспытателя:

- Качающаяся вершина дерева, изменяющийся при дыхании объем легких, изменение давления и температуры воздуха в течение месяца, изменения заряда и напряжения на конденсаторе в контуре, силы тока в лампе, горящей в классе- все эти процессы являются колебательными. Даже поверхность тела человека колеблется с частотами от 0,01Гц до 10 3 Гц, а при стрессе колебания практически становятся гармоническими. Современные астрофизические исследования поверхности Солнца также позволяют сделать вывод о вибрации (колебаниях) его поверхности, происходящей по причине активности его недр.

- Нужно ли нам знать, что происходит с активностью Солнца?

- Важно ли для нас состояние собственного организма?

- Любое сложное дело начинается с малого, для решения сложной практической задачи создается упрощенная модель. При анализе колебательных процессов мы тоже использовали такую модель – свободные незатухающие колебания.

Мы рассмотрели свободные незатухающие колебания различной природы на примере периодических гармонических колебаний.

- Какие общие свойства имеют колебательные системы?

- Назовите основные характеристики колебательного процесса.

- Каким общим математическим закономерностям подчиняются гармонические колебания?

- Обратите внимание, мы ни разу не конкретизировали, о каких колебаниях идет речь.

Включаются в активную работу на уроке.

- отвечают на поставленные вопросы

- обсуждают возникшие при ответах спорные моменты.

Этап 3. Формирование учебной ситуации (целеполагание)

Цель учителя : создать условия для формирования учебной ситуации

Цель ученика : поставить цель, позволяющую сформировать учебную ситуацию

- Обратите внимание, мы ни разу не конкретизировали, о каких колебаниях идет речь.

- Какой вывод можно из этого сделать?

- Несмотря на то, что колебания имеют разную физическую природу, они подчиняются одним и тем же математическим законам, описываются одинаковыми уравнениями. Поэтому для оценки состояния колебательной системы необходимо выработать общие приемы и методы, для чего надо обратиться к теории колебаний и соответствующим вопросам из математического анализа. Это и будет целью нашего урока.

- разрешают в свободном обсуждении возникающие затруднения

- делают вывод и совместно формулируют цель урока.

Этап 4. Проектирование и реализация учебной ситуации, самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель учителя : создать условия для проектирования и реализации учебной ситуации

Цель ученика: составить план реализации учебной ситуации, определить средства и ресурсы, необходимые для этого

Учитель физики :

- При решении любой проблемы мы можем идти двумя путями: индуктивным и дедуктивным. Индуктивный путь предполагает возможность обобщения при анализе решения частных задач, дедуктивным методом мы сможем идти от общих принципов к частным.

- Какой метод предпочтительнее в нашем случае?

- Обсудите вопрос в парах и выскажите свой мнение.

- Итак, по результатам обсуждения можно сделать вывод, что в данном случае нам необходимо использовать индуктивный метод; мы должны получить общие для любого колебания приемы, позволяющие описать состояние колебательной системы в произвольный момент времени.

- Поэтому начнем обсуждение с частной задачи.

Заряд на обкладках конденсатора меняется по закону:

πt+

В какие моменты времени в течение периода сила тока в контуре составляет от максимального значения? Чему в эти моменты времени равно напряжение? Какую долю от максимального оно в эти моменты времени составляет? Емкость конденсатора в контуре равна 2 мкФ.

- Предложите схему решения задачи, попытайтесь найти разные подходы к решению. (Работа ведется в парах)

- Итак, давайте соберем воедино результаты вашего обсуждения. ( На доске собираются идеи, предложенные различными парами, обсуждаются и в результате формируется два подхода к решению задачи: аналитический и графический).

-Какие действия необходимы для реализации аналитического решения?

Учитель математики:

- Изучая физические закономерности, связывающие изменения заряда и силы тока в контуре, вы пришли к выводу, что

( t )= i ( t ) , поэтому, необходимо вспомнить, как найти производную тригонометрической функции.
-Давайте вспомним формулы производных тригонометрических функций, производной сложной функций.
-Найдите производные следующих функций ( Слайд №6 )

Учитель физики:

- Итак, математические закономерности поиска производной сложной тригонометрической функции применим к решению нашей задачи.

-Запишите уравнение изменения силы тока самостоятельно.

- Представьте полученные результаты для общего обсуждения.

- Итак, уравнение изменения силы тока выглядит следующим образом:

i(t)= - 0,03πsin(πt+3π).

- Используя то, что сила тока в искомый момент времени составляет от максимального значения, равного 0,03π, составим уравнение

= - 0,03πsin(πt+3π).

Учитель математики:

-Уравнение данного типа является тригонометрическим.

-Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете, каковы способы их решения?
-Решите предложенные уравнения самостоятельно
( Слайд № 8)

-Можно ли аналогично решить уравнение из задачи?

Учитель физики:

- Решим наше тригонометрическое уравнение, найдем искомые моменты времени. (К доске вызывается ученик).

- Для поиска напряжения на конденсаторе в данный момент времени необходимо получить уравнение зависимости u ( t ). Зная связь заряда конденсатора и напряжения, получите уравнение и найдите искомое значение напряжения. (Задания выполняются самостоятельно на листе Приложения).

Составим алгоритм решения, опираясь на возможности математического анализа.

изменения силы тока от времени, используя математическую связь между изменением заряда и силы тока.

2.Зная, что сила тока в искомый момент времени составляет 1/6 от максимального значения, составим и решим тригонометрическое уравнение и найдем соответствующие моменты времени.

3.Запишем уравнение изменения напряжения и вычислим его в ранее найденные моменты времени.

- Подобная схема решения может использоваться для анализа любого колебательного процесса.

-В качестве домашнего задания вам предлагается задача 2 :

Точка совершает гармонические колебания с периодом в 2 секунды, амплитудой 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25 мм.

- Перейдем ко второму способу решения исходной задачи – графическому.

Учитель математики:

- Что нужно знать, чтобы построить график данной функции?

-График какой функции является исходным ?

-Какие преобразования графика нужно совершить, чтобы построить график функции

I (t)= - 0,03πsin(πt+3π)?

-Как построить графики функций, изображенные на слайде № 10?

Учитель физики:

- Воспользуемся графиком функции, отражающим изменения заряда и силы тока со временем( Слай №12. Какую информацию по условию задачи подскажут графики? Ответьте на вопрос задачи самостоятельно, используя лист Приложения.

- Совпадают ли полученные ответы?

- Какой из методов предпочтительнее и почему?

- Нет ли еще одного варианта решения? Подумайте над этим вопросом дома.

- Индуктивный метод часто используют, когда необходимо проанализировать и сравнить данные эксперимента или наблюдения. На одном из предыдущих уроков мы проводили лабораторную работу по исследованию зависимости периода колебаний математического маятника от его длины. В качестве дополнительного задания вы строили график зависимости координаты колеблющегося маятника от времени x ( t )=0,1 cost . Давайте воспользуемся этим графиком для ответа на следующие вопросы:

- За какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания, пройдет путь:

от среднего положения до крайнего

первую половину пути

вторую половину пути

- Можно ли оценить эти промежутки времени экспериментально?

- В какой промежуток времени скорость тела меньше максимальной скорости в 2 раза?

- обсуждают в парах, какой из методов предпочтительнее

- высказывают и аргументируют свои предложения

- в результате дискуссии приходят к общему выводу.

- опираясь на собственный опыт и знания, полученные на предыдущих уроках, обсуждают различные подходы к решению задачи

- высказывают свои мнения

- участвуют в формировании общего мнения.

-вместе с учителем математики

актуализируют математические знания в области производных, акцентируя внимание на производных тригонометрических функций, сложных функций.

Первое задание выполняется совместно с отвечающим у доски, следующие два самостоятельно по вариантам .

- самостоятельно записывают уравнение

- сравнивают полученные уравнения

- составляют тригонометрическое уравнение.

-перечисляют известные виды и способы решения тригонометрических уравнений.

-решают предложенные уравнения самостоятельно, обсуждают способ решения, проверяют ответ

Решают уравнение совместно с отвечающим у доски.

Самостоятельно ищут ответ на второй вопрос задачи.

Составляют алгоритм решения, привлекая возможности математического анализа.

В ходе совместного обсуждения, приходят к необходимости повторить способы преобразования графиков тригонометрических функций.

Работают в парах, отвечают на вопросы, представляют результаты работы для общего обсуждения.

Этап 5. Смысловая и эмоциональная рефлексия деятельности, домашнее задание.

Цель учителя: подвести учеников к анализу деятельности и оценке достижения поставленной цели урока, ее рефлексии

Цель ученика: подводят итог урока, сравнивая цель, поставленную в начале урока с полученным результатом, анализируют свою деятельность.

Возвращаясь к цели урока, проанализируйте, удалось ли её достичь?

Вспомните, какими математическими методами нам пришлось воспользоваться.

Смогли бы мы описать состояние колебательной системы в любой момент времени без использования математического аппарата?

Подведите самостоятельно итог вашей работы на уроке.

1. Используя математические методы поиска производной сложной тригонометрической функции и условия физической задачи можно получить уравнения, описывающие поведение колебательной системы в любой момент времени.

2. Решение подобных задач с меньшей степенью точности, но с большей наглядностью можно осуществить графически, для чего необходимо уметь строить и преобразовывать графики тригонометрических функций.

Анализируют свою деятельность по достижению цели урока, обсуждают поставленные вопросы, формулируют итоги урока.

Ученики подводят итог своей деятельности.

- В начале урока говорилось о многообразии мира колебаний, о том, как важно знать состояние колебательной системы в любой момент времени.

В качестве итога урока можно сказать, что математические методы позволяют оценить состояние колебательной системы в любой момент времени.

Оцените свои достижения и затруднения по изучаемой теме, какие методы оценки состояния колебательной системы вызывают наибольшие затруднения? Что удается лучше?

В ходе проведения рефлексии определяют

уровень собственных достижений и затруднений по изучаемой теме, выстраивают индивидуальную линию развития.

Комментирует домашнее задание:

1) Решить задачу 2: Точка совершает гармонические колебания с периодом в 2 секунды, амплитудой 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25 мм.

2) Задача 3: Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 6 мГн и конденсатора ёмкостью 15 мкФ. Конденсатор заряжен до напряжения 200 В. Чему равна сила тока в контуре, когда напряжение уменьшилось в 2 раза? Чему равен в этот момент заряд конденсатора?

Предложите различные способы решениия.

Слушают пояснения учителя

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Цели урока:

формирование представлений о колебаниях, как о физических процессах;
выяснение условий возникновения колебаний;
формирование понятия о гармоническом колебании, характеристиках колебательного процесса;
формирование понятия резонанса, его применение и методы борьбы с ним;
формирование чувства взаимопомощи, умения работать в группах, парах;
развитие самостоятельности мышления

На каждом столе лист усвоения знаний для каждого учащегося, текст о явлении резонанса.

Ход урока

I. Мотивация.

Рождённый пустыней,
Колеблется звук,
Колеблется синий
На нитке паук.
Колеблется воздух,
Прозрачен и чист,
В сияющих звёздах
Колеблется лист.

Итак, сегодня мы будем говорить о колебаниях. Подумайте и назовите, где встречаются колебания в природе, в жизни, в технике.

Учащиеся называют разные примеры колебаний (слайд 2).

Учитель: Что же общего между всеми этимидвижениями?

Учащиеся: Эти движения повторяются (слайд 3).

Учитель: Такие движения называются колебаниями. Сегодня мы о них будем говорить. Запишите тему урока (слайд 4).

II. Актуализация знаний и изучение нового материала.

Учитель: Мы должны:

Выяснить, что такое колебание?
Условия возникновения колебаний.
Виды колебаний.
Гармонические колебания.
Характеристики гармонического колебания.
Резонанс.
Решение задач (слайд 5).

Учитель: Посмотрите на колебания математического и пружинного маятников (демонстрируются колебания). Абсолютно ли точно повторяются колебания?

Учащиеся: Нет.

Учитель: Почему? Выясняется, что мешает сила трения. Так что же такое колебание? (слайд 6)

Учащиеся: Колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются с течением времени (слайд 6, щелчок мышью). Определение записывается в тетрадь.

Учитель: Почему так долго продолжаются колебания? (слайд 7) На пружинном и математическом маятниках объясняется при помощи учащихся превращение энергии при колебаниях.

Учитель: Выясним условия возникновения колебаний. Что нужно, чтобы начались колебания?

Учащиеся: Нужно толкнуть тело, приложить к нему силу. Чтобы колебания длились долго, нужно уменьшить силу трения (слайд 8), условия записываются в тетрадь.

Учитель: Колебаний встречается очень много. Попробуем их классифицировать. Демонстрируются вынужденные колебания, на пружинном и математическом маятниках – свободные колебания (слайд 9). Учащиеся записывают в тетрадь виды колебаний.

Учитель: Если внешняя сила постоянная, то колебания называются автоматическими (щелчок мышью). Учащиеся в тетрадь записывают определения свободных (слайд 10), вынужденных (слайд 10, щелчок мышью), автоматических колебаний (слайд 10 щелчком мыши).

Учитель: Ещё колебания бывают затухающие и незатухающие (слайд 11 щелчком мыши). Затухающие колебания – это колебания, которые, под действием сил трения или сопротивления, со временем уменьшаются (слайд 12), показываются эти колебания на графике на слайде.

Незатухающие колебания – это колебания, которые со временем не изменяются; силы трения, сопротивления отсутствуют. Для поддержания незатухающих колебаний необходим источник энергии (слайд 13), показываются эти колебания на графике на слайде.

Даны примеры колебаний (слайд 14).

1 вариант выписывает примеры затухающих колебаний.

2 вариант выписывает примеры незатухающих колебаний.

колебания листьев на деревьях во время ветра;
биение сердца;
колебания качелей;
колебание груза на пружине;
перестановка ног при ходьбе;
колебание струны после того, как её выведут из положения равновесия;
колебания поршня в цилиндре;
колебание шарика на нити;
колебание травы в поле на ветру;
колебание голосовых связок;
колебания щёток стеклоочистителя (дворники в машине);
колебания метлы дворника;
колебания иглы швейной машины;
колебания корабля на волнах;
размахивание руками при ходьбе;
колебания мембраны телефона.

Учащиеся среди приведенных колебаний выписывают по вариантам примеры свободных и вынужденных колебаний, затем меняются информацией, работают в парах (слайд 15). Также выполняют задания по разделению на затухающие и незатухающие колебания в этих же примерах, затем меняются информацией, работают в парах.

Учитель: Вы видите, что все свободные колебания являются затухающими, а вынужденные колебания – незатухающими. Найдите среди приведённых примеров автоматические колебания. Учащиеся выставляют себе оценку в листок усвоения знаний в пункт 1 листка усвоения знаний (Приложение 1)

Учитель: Среди всех видов колебаний выделяют особый вид колебаний – гармонические.

График какой математической функции получается на модели?

Учащиеся: Это график функции синуса и косинуса (слайд 16 щелчком мыши).

Учащиеся записывают в тетрадь уравнения гармонических колебаний.

Учитель: Теперь нам нужно рассмотреть каждую величину в уравнении гармонического колебания. (На математическом и пружинном маятниках показывается смещение Х) (слайд 17). Х-смещение – отклонение тела от положения равновесия. Какая единица измерения смещения?

Учащиеся: Метр (слайд 17, щелчок мышью).

Учитель: На графике колебаний определите смещение в моменты времени 1 с, 2 с, 3 с, 4 с, 5 с, 6 с и т.д. (слайд 17, щелчок мышью). Следующая величина – Х мах. Что это?

Учащиеся: Максимальное смещение.

Учитель: Максимальное смещение называется амплитудой (слайд 18, щелчок мышью).

Учащиеся на графиках определяют амплитуду затухающих и незатухающих колебаний (слайд 18, щелчок мышью).

Учитель: Прежде чем рассматривать следующую величину, вспомним понятия величин, изученных на 1 курсе. Давайте посчитаем число колебаний на математическом маятнике. Можно ли определить время одного колебания?

Учащиеся: Да.

Учитель: Время одного полного колебания называется периодом – Т (слайд 19, щелчок мышью). Измеряется в секундах (слайд 19, щелчок мышью). Можно рассчитать период по формуле, если он очень мал (слайд 19, щелчок мышью). На графике разными цветами отмечены точки.

Учащиеся на графике определяют период, находя его между разными по цвету точками.

Учитель на математическом маятнике демонстрирует разную частоту при разной длине маятника. Частота ν – число полных колебаний за единицу времени (слайд 20).

Единица измерения – Гц (слайд 20 щелчок мышью). Между периодом и частотой существуют формулы связи. ν=1/Т Т=1/ν (слайд 20 щелчок мышью).

Учитель: Функция синуса и косинуса повторяется через 2π. Циклической (круговой) частотой ω (омега) колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени (слайд 21). Измеряется в рад/с (слайд 21, щелчок мышью) ω=2πν (слайд 21, щелчок мышью).

Учитель: Фаза колебания – (ωt+ φ₀) – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Измеряется в радианах (рад) (слайд 22).

Фаза колебания в начальный момент времени (t=0) называется начальной фазой – φ₀. Измеряется в радианах (рад) (слайд 21, щелчок мышью).

Учитель: А теперь повторяем материал.

а)Учащимся показываются карточки с величинами, они называют эти величины. (Приложение 2)

б) Учащимся показываются карточки с единицам измерения физических величин. Нужно назвать эти величины.

в) Каждой четвёрке учащихся даётся карточка с какой-либо величиной, нужно все о ней рассказать по плану на слайде 23. Затем группы меняются карточками с величинами и выполняют то же задание.

Учащиеся выставляют себе оценки в листок успеваемости (пункт 2 Приложение 1)

Учитель: Мы сегодня работали с пружинным и математическим маятниками, формулы периодов этих маятников рассчитываются по формулам. На математическом маятнике демонстрирует периоды колебаний при разной длине маятника.

Учащиеся выясняют, что период колебаний зависит от длины маятника (слайд 24)

Учитель на пружинном маятнике демонстрирует зависимость периода колебаний от массы груза и жёсткости пружины.

Учащиеся выясняют, что период колебаний зависит от массы прямо пропорционально и от жёсткости пружины обратно пропорционально (слайд 25)

Учитель: Как выталкивают машину, если она застряла?

Учащиеся: Нужно дружно по команде раскачивать машину.

III. Закрепление материала.

проходит в виде задач (слайд 27). Задача разбирается у доски.

Учащимся предлагается самостоятельно решить задачи по вариантам на листках успеваемости (слайд 28) В результате работы на уроке преподаватель выставляет общую оценку.

IV. Итоги урока.

Учитель: Что нового узнали сегодня на уроке?

V. Домашнее задание.

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания, происходящие под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически меняющейся силы.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

Период – это время одного полного колебания.

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему с частотой свободных колебаний.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 53 – 73.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. - М.: Дрофа, 2009. – С. 59 – 61.

Степанова. Г.Н. Сборник задач по физике. 10-11 класс. М., Просвещение 1999 г.
Е.А. Марон, А.Е. Марон. Контрольные работы по физике. М., Просвещение, 2004

Основное содержание урока

Мир удивителен и многообразен. Мы каждый день наблюдаем разные движения тел. Все мы видели, как раскачивается ветка на ветру, лодка на волнах, качели, деревья при ветре. Чем эти движения отличаются от движения тележки движущейся прямолинейно? Мы видим, что в отличие от движения тележки движущейся прямолинейно, движения всех этих тел повторяются через определенный промежуток времени.

Колебания играют огромную роль в нашей жизни. Примерами колебаний в нашем организме являются биение сердца, движение голосовых связок. Колебания происходят и в жизни нашей планеты (приливы, отливы, землетрясения) и в астрономических явлениях (пульсации звезд). Одним из грозных явлений природы является землетрясение – колебание земной поверхности. Строители рассчитывают возводимые ими сооружения на устойчивость при землетрясении.

Без знания законов колебаний нельзя было бы создать, телевидение, радио и многие современные устройства и машины. Неучтенные колебания могут привести к разрушению сложных технических сооружений и вызвать серьезные заболевания человека. Все это делает необходимым их всестороннее изучение.

Основным признаком колебательного движения является его периодичность. Колеблющееся тело за одно колебание дважды проходит положение равновесия. Колебания характеризуются такими величинами как период, частота, амплитуда и фаза колебаний.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

При малых амплитудах путь пройденный телом за одно полное колебание равен примерно четырем амплитудам.

Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

Чтобы найти период колебаний нужно разделить время колебаний на число колебаний.

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

Единица частоты названа в честь немецкого ученого Г. Герца.

Мы с вами будем рассматривать пружинный и математический маятники.

Пружинный маятник. Колебательная система в этом случае представляет собой тело, прикрепленное к пружине. Колебания в таком маятнике возникают под действием силы упругости пружины и силы тяжести.

Период колебаний пружинного маятника:

T- период колебаний пружинного маятника

m – масса подвешенного груза

Математический маятник.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити.

Математический маятник - это идеализированная модель. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного тела и масса нити ничтожна по сравнению с массой тела. Колебания такого маятника происходят под действием силы натяжения нити и силы тяжести. Формула для расчета периода колебаний математического маятника была выведена Гюйгенсом.

T – период колебаний математического маятника

𝑙 – длина нити маятника

𝑔 – ускорение свободного падения

Гюйгенс доказал, что период малых колебаний маятника не зависят от времени. Используя это свойство, названное изохронностью маятника Гюйгенс в тысяча шестьсот пятьдесят седьмом году, сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятника было открыто 19-летним Галилеем более чем за 20 лет до открытия Гюйгенса. Наблюдая за тем, как раскачиваются в соборе светильники, подвешенные на нитях одинаковой длины, он заметил, что их период колебаний не зависит от времени. Наручных часов тогда не было, и юный Галилей пришёл к решению, которое для многих поколений будет служить образцом блеска и остроумия человеческой мысли: он сравнил колебания маятника с частотой биения собственного сердца.

Гармоническими являются колебания, происходящие под действием силы пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению. Уравнение гармонических колебаний:

x – координата колеблющейся величины

ω - циклическая частота

При наличии сил трения в системе колебания затухают. Амплитуда колебаний в этом случае со временем уменьшается. Иногда возникает необходимость в гашении колебаний, к примеру колебания кузова, на рессорах при езде на автомобиле. Для гашения колебаний применяют специальные амортизаторы. С кузовом связывают поршень, который при колебаниях движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Большое сопротивление жидкости приводит к гашению колебаний.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Если частота изменения внешней силы не равна частоте свободных колебаний системы, то внешняя сила будет действовать не в такт со свободными колебаниями самой системы. В этом случае амплитуда колебаний будет определяться максимальным значением действующей на систему внешней силы.

Если частота изменения внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний, то будет наблюдаться резкое возрастание амплитуды колебаний, так как внешняя сила в этом случае будет действовать в такт со свободными колебаниями этой системы.

ω - частота изменения внешней силы.

ω₀ – частота свободных колебаний системы.

Впервые явление резонанса было описано Галилеем. Явление резонанса играет большую роль в природе, технике и науке. Большинство сооружений и машин обладая определенной упругостью, способно совершать свободные колебания. Поэтому внешние периодические воздействия могут вызвать их резонанс, что может стать причиной катастроф. Известно много случаев, когда источником опасных колебаний были люди, идущие в ногу. Так, в 1831 году в городе Манчестер при прохождении по мосту колонны солдат строевым шагом мост разрушился. Аналогичный случай был в г. Петербурге в 1905 году. При прохождении моста через реку Фонтанка эскадроном гвардейской кавалерии мост обрушился. Для предотвращения резонансных явлений используют разные способы гашения вынужденных колебаний. Один способ состоит в изменении частоты свободных колебаний в системе. Другой способ состоит в увеличении силы трения в системе: чем больше сила трения, тем меньше амплитуда резонансных колебаний

Разбор тренировочных заданий

1. Найдите массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

Напишем формулу периода пружинного маятника

Из этой формулы выразим массу

Период колебаний груза найдём через время колебаний и число колебаний по формуле:

Подставляем числовые значения величин

Следовательно масса равна:

2. На нити подвешен шарик массой 0,1 кг. Шарик отклонили на высоту 2,5 см (по отношению к положению равновесия) и отпустили. Определите максимальную скорость шарика.

Скорость колеблющегося шарика максимальна в момент прохождения положения равновесия.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии:

Подставляем числовые значения величин:

Ответ:

Цели урока: осуществить фронтальный опрос по проверке знаний учащимися ранее изученного материала, провести аналогию при записи основного уравнения электромагнитных колебаний, записать законы изменения заряда, силы тока и напряжения.

Описание разработки

Цели урока:

осуществить фронтальный опрос по проверке знаний учащимися ранее изученного материала;

провести аналогию при записи основного уравнения электромагнитных колебаний;

записать законы изменения заряда, силы тока и напряжения; формировать навыки решения задач с использованием основных понятий темы; развивать память, научное мышление учащихся, речь;

воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Фронтальный опрос по пройденному материалу.

Что называют электромагнитными колебаниями?

Где могут возникать электромагнитные колебания?

Что представляет собой простейший колебательный контур?

Изобразить схему простейшего колебательного контура

Как можно зарядить конденсатор? Изобразить простейшую схему зарядки конденсатора

Рассказать, какие процессы происходят в колебательном контуре через каждую четверть периода

Какие электромагнитные величины изменяются с течением времени?

Какие превращения энергии происходят в колебательном контуре?

Как определить энергию электрического поля конденсатора? Записать формулу

Как определить энергию магнитного поля поля конденсатора? Записать формулу

Изменяется ли энергия электромагнитного поля?

Что называют периодом электромагнитного колебания, и в каких единицах он измеряется?

От чего зависит период электромагнитных колебаний?

Записать формулу периода

Что называют собственной частотой электромагнитных колебаний, и в каких единицах она измеряется?

Записать формулу собственной частоты колебаний

Что такое циклическая частота колебаний, и в каких единицах она измеряется?

Как циклическая частота связана с периодом и собственной частотой колебаний?

Как обозначается индуктивность катушки, единицы измерения?

Как обозначается ёмкость конденсатора, единицы измерения?

Что нужно для того, чтобы электромагнитные колебания не затухали?

3. Постановка темы урока.

При электромагнитных колебаниях происходят периодические изменения электрического заряда, силы тока и напряжения. Для того, чтобы рассчитать мгновенные значения этих величин в данный момент времени, нужно иметь уравнения, описывающие свободные электромагнитные колебания этих величин.

4. Изложение нового материала.

Подобно тому как координата при механических колебаниях (в случае, когда в начальный момент времени отклонение тела маятника от положения равновесия максимально) изменяется со временем по гармоническому закону:

заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

где q - мгновенное значение электрического заряда

q_m - амплитуда колебаний заряда

ω - циклическая частота колебаний

t - определённый момент времени

Весь материал - в документе.

Содержимое разработки

_{Тема. Гармонические колебания. Уравнение электромагнитных гармонических колебаний}

_{Цели урока: осуществить фронтальный опрос по проверке знаний учащимися ранее изученного материала; провести аналогию при записи основного уравнения электромагнитных колебаний; записать законы изменения заряда, силы тока и напряжения; формировать навыки решения задач с использованием основных понятий темы; развивать память, научное мышление учащихся, речь; воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.}

_{Тип урока: комбинированный}

_{Организационный момент}

_{Фронтальный опрос по пройденному материалу}

_{Что называют электромагнитными колебаниями?}

_{Где могут возникать электромагнитные колебания?}

_{Что представляет собой простейший колебательный контур?}

_{Изобразить схему простейшего колебательного контура}

_{Как можно зарядить конденсатор? Изобразить простейшую схему зарядки конденсатора}

_{Рассказать, какие процессы происходят в колебательном контуре через каждую четверть периода}

_{Какие электромагнитные величины изменяются с течением времени?}

_{Какие превращения энергии происходят в колебательном контуре?}

_{Как определить энергию электрического поля конденсатора? Записать формулу}

_{Как определить энергию магнитного поля поля конденсатора? Записать формулу}

_{Изменяется ли энергия электромагнитного поля?}

_{Что называют периодом электромагнитного колебания, и в каких единицах он измеряется?}

_{От чего зависит период электромагнитных колебаний?}

_{Записать формулу периода}

_{Что называют собственной частотой электромагнитных колебаний, и в каких единицах она измеряется?}

_{Записать формулу собственной частоты колебаний}

_{Что такое циклическая частота колебаний, и в каких единицах она измеряется?}

_{Как циклическая частота связана с периодом и собственной частотой колебаний?}

_{Как обозначается индуктивность катушки, единицы измерения?}

_{Как обозначается ёмкость конденсатора, единицы измерения?}

_{Что нужно для того, чтобы электромагнитные колебания не затухали?}

_{Постановка темы урока}

_{Изложение нового материала}

х = х_m cos

заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

q = q_m cos,

где q - мгновенное значение электрического заряда

q_m — амплитуда колебаний заряда

- циклическая частота колебаний

t - определённый момент времени

Сила тока также совершает гармонические колебания:

i = = - = I_m ,

где I_m = q_m — амплитуда колебаний силы тока.

Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда.

Точно так же колебания скорости тела в случае пружинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими. Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление R, тем большим будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут. Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.

Уравнение колебаний напряжения

u = = = - U_m , где U_m = .

Период и частота не зависят от амплитуды колебаний и полностью определяются параметрами колебательной системы (L и C):

Т = ;

5. Закрепление новой темы. Решение задач

Пластины плоского конденсатора, включенного в колебательный контур, сближают. Как будет меняться при этом частота колебаний контура?

2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=444 пФ и катушка

индуктивностью L=4мГн. На какую частоту настроен контур?

Как изменится период и частота колебаний в контуре, если индуктивность увеличить в 4 раза, а емкость – в 16 раз?

Сила тока в цепи переменного тока меняется со временем по закону i =20 Cos 100πt. Определить характеристики колебательной системы и построить график данного колебательного процесса.

1.Выясним сначала, какой это вид колебаний.

2.Запишем уравнение в общем виде: i = I_m cos ωt

3.Проводим сравнение общего уравнения с данным.

Увидели, что I_m = 20А, а ω = 100π.

4. Для построения графика нужны следующие величины: I_m и T.
I_m мы уже нашли, а теперь найдём T, используя формулу T = : T = .

5.Теперь выберем и построим оси координат; одна – время, вторая – переменный ток.

Обязательно нужно выбрать правильно масштаб.

6. Давайте вспомним, как выглядит график функции y = сos x. Зная из курса алгебры промежутки возрастания и убывания функции y = сos x, мы построим схематически график.

7.Проведем плавную линию.

Итак, мы построили график колебаний по уравнению i =20 сos 100πt. Рисунок 1.

Ребята, давайте подчеркнём основные этапы, т.е. проговорим алгоритм решения такого типа задач.

Сравниваем конкретное уравнение с уравнением в общем виде.

Определяем характеристики колебательной системы и обозначаем их: I_m , T, ω.

Выбираем масштаб, строим и обозначаем оси.

Показываем значение периода, полупериода, значение максимального тока в характерных точках. Схематично проводим график по аналогии с y = сosx.

Применяем формулы конкретного вида сопротивления и закона Ома.

6. Итог урока

Заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону: q = q_m cos

сила тока по закону: i = = - I_m, где I_m =

напряжение по закону: u = = = - U_m , где U_m = .

7. Домашнее задание: § 42 (читать), выучить конспект, решить задачи 979, 980 (Р.)

Читайте также: