Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне

Обновлено: 01.07.2024

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколькими способами из 25 учащихся можно отобрать пятерых для участия в олимпиаде соответственно по математике, литературе и химии?

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО НУЖНО.

Это число СОЧЕТАНИЙ из 25 по 5.

Две формулы расчета С25(5) = 25!

/ 5! = 53130 вариантов

или 25 * 24 * 23 * 22 * 21 / (1 * 2 * 3 * 4 * 5) = 6375600 / 120 = 53130 - это на математику.

Осталось20 человек на литературу(ДРУГИХ)

20 * 19 * 18 * 17 * 16 / 120 = 15504 - налитературу.

15 * 14 * 13 * 12 * 11 / 120 = 3003 варианта - на химию.

В классе 40 человек?

В классе 40 человек.

В школьной олимпиаде по математике принимало участие 30% учащихся класса, по истории – 45%, а остальные по литературе.

Сколько человек участовало в олимпиаде по лит - ре?

Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать троих для участия в городской олимпиаде?

Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать троих для участия в городской олимпиаде.

Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Помогите , побыстрее пожалуйста?

Помогите , побыстрее пожалуйста.

На олимпиаде с математики 17% учащихся правильно решили только 3 задачи, 35% учащихся - 4 задачи , а остальные , 12 учеников , - все 5 задач.

Сколько учеников взяли участие в олимпиаде с математики?

Помогите пж?

Сколькими способами можно выбрать из 8 отличников двух учеников для участия в олимпиаде по математике?

Сколькими способами можно отобрать троих участников на олимпиаду по математике из 6 учеников шестого класса, имеющих по математике пятерку в четверти?

Сколькими способами можно отобрать троих участников на олимпиаду по математике из 6 учеников шестого класса, имеющих по математике пятерку в четверти?

Сколькими способами можно отобрать четверых участников на олимпиаду по математике из 8 учеников шестого класса, имеющих по математике пятёрку в четверти?

Сколькими способами можно отобрать четверых участников на олимпиаду по математике из 8 учеников шестого класса, имеющих по математике пятёрку в четверти.

Сколькими способами можно выбрать из 10 отличников двух учеников для участия в олимпиаде по математике ?

В классе 8 учащихся успешно занимаются математикой?

В классе 8 учащихся успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них троих для участия в математической олимпиаде.

Сколькими способами можно отобрать четверых участников на олимпиаду по математике из 8 учеников шестого класса, имеющих по математике пятерку в четверти?

Сколькими способами можно отобрать четверых участников на олимпиаду по математике из 8 учеников шестого класса, имеющих по математике пятерку в четверти?

Сколькими способами можно отобрать троих участников на олимпиаду по математике из 6 учеников шестого класса, имеющих по математике пятерку в четверти?

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Методическая разработка

учебной дисциплины

ЕН.01 Математика

специальность

34.02.01 Сестринское дело

( базовая подготовка )

Тип занятия Урок совершенствования знаний, умений и навыков

Форма проведения Практическое занятие

Цели занятия

Учебная : добиться прочного усвоения системы знаний, формирование умений объяснять факты на основе причинно-следственных связей, закономерностей. Освоение общих компетенций.

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Развивающая : формирование навыков самообразования, самореализации личности, развитие речи, мышления, памяти.

Воспитательная : привитие умений и навыков учебной работы и коллективного труда. Воспитывать умение работать самостоятельно Формирование у студентов целостного миропонимания и современного научного мировоззрения.

Межпредметные связи

История, философия, биология.

После изучения темы студент должен

решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул

воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений;

применять теоретические знания для решения задач.

основные формулы комбинаторики.

Структура занятия

Организационная часть (проверка присутствующих, готовность обучающихся к занятию, наличие халата, готовность доски, аппаратуры).

Начальная мотивация учебной деятельности (название темы, цель занятия, связь с современностью, перспективы развития вопроса);

Актуализация опорных знаний (воспроизведение ранее усвоенных знаний и применение их в новых ситуациях).

Контроль знаний

Контрольные вопросы:

Что такое комбинаторика?

Что такое факториал?

Внеаудиторная самостоятельная работа

Составление и решение комбинаторной задачи;

Основная (практическая) часть

Решение практических задач (Приложение 1)

Самостоятельная работа

Решение заданий (Приложение 2)

Подведение итогов. Выставление оценок

Домашнее задание

Оснащение: дидактический раздаточный материал по изучаемой теме.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Вычислить значения следующих выражений:

Сократите дробь:

( n -1)! 2!( n -2)! (2 k -1)!

Проверьте равенства:

Решите в натуральных числах уравнение:

а) n !=7( n -1)! b ) ( k -10)!=77( k -11)!

Решить задачи:

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз.

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Сколько словарей надо издать, чтобы непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русский, немецкий, английский, французский, итальянский на любой другой из этих языков?

В нашем распоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал состоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.

В цветочном киоске продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить различных букетов по 3 цветка в каждом?

Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две различные путевки в санаторий?

Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

В группе изучаются 7 предметов. В среду 4 пары, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

Из десяти различных книг выбирают четыре для посылки. Сколькими способами это можно сделать?

Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

Сколькими способами можно из 25 студентов выбрать 5 для участия в спортивном марафоне?

Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12?

В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Из 12 сестер отделения нужно оставить на дежурство 5. Сколькими способами это можно сделать?

Обучающимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами можно выбрать из этого списка 6 книг?

Назовем симпатичными числа, в записи которых используют только нечетные числа. Сколько существует четырехзначных симпатичных чисел?

Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?

Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Алфавит племени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательность из 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?

Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.

В группе 27 студентов, из которых нужно выбрать троих: первый должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько существует пятизначных номеров телефонов, не содержащих цифр 0,1,2?

Для участия в городской конференции (10 человек) могут быть приглашены врачи: аллергологи, педиатры, гепатологи, онкологи, вертебрологи, отоларингологи. Сколькими способами можно избрать состав участников конференции?

В медтехнику поступили шприцы трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из 5 шприцев?

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 5;4;3;2, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Сколько чисел меньше миллиона можно записать при помощи цифр 4 и 5?

Сколько пятизначных телефонных номеров можно образовать из цифр 1; 2 и 5, если допускается повторение этих цифр?

Самостоятельная работа

I вариант

Заполнить пропуски :

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются… (комбинаторными).

Произведение всех чисел от 1 до n называется … (n факториалом)

Формула числа сочетаний из n элементов по k элементов с повторениями имеет вид: … ()

Решить задачи :

Сколько всевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4, 5?

Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

Сколько предложений из трех слов можно составить из следующих слов: я, сегодня, получу, пятерку?

Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

В магазине имеются волейбольные, баскетбольные и футбольные мячи. Необходимо купить 10 мячей. Сколькими способами это можно сделать?

II вариант

Заполнить пропуски :

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить … способами. ( m ∙п)

Число размещений с повторениями находится по формуле …

Сочетаниями из n элементов по т элементов называются …, каждое из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов. (соединения)

Решить задачи:

Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

Сколько всевозможных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4?

Пять человек пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?

В продажу поступили постеры трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из 5 постеров?

На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

1. Сколькими способами из числа 25 учащихся класса можно выбрать старосту и физорга?

2. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0,9,8,7,6,5?

3. Сколькими способами из 8 членов президиума можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря?

4. Сколькими способами из 15 игроков можно выбрать стартовую шестерку?

5. Найти а) ; б) ; в) .

6. Решить уравнение: а) = 25; б) (х – 1) = 42

1. Сколькими способами из числа 24 учащихся класса можно выбрать двух дежурных?

2. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 9,8,7,6,5,4?

3. Сколькими способами из 12 учебных предметов можно составить расписание из шести различных уроков?

4. Сколькими способами можно составить букет из семи цветков, выбирая цветы из тринадцати имеющихся?

5. Найти а) ; б) ; в) .

6. Решить уравнение: а) = 30; б) (х – 2) = 28

1. Сколькими способами из числа 30 учащихся класса можно выбрать старосту и физорга?

2. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4?

3. Сколько существует способов для обозначения с помощью букв A , B , C , D , E , F , M, N вершин треугольника?

4. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать пятерых для участия в концерте?

5. Найти а) ; б) ; в) .

6. Решить уравнение: а) = 42; б) (х – 3) = 50

1. Сколькими способами из числа 28 учащихся класса можно выбрать двух дежурных?

2. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5?

3. Сколькими способами из 15 учебных предметов можно составить расписание из шести различных уроков?

4. Сколькими способами можно составить букет из пяти цветков, выбирая цветы из пятнадцати имеющихся?

Читайте также: