Скачать план урока решение систем тригонометрических уравнений

Обновлено: 04.07.2024

2. Актуализация опорных знаний:
Повторить основные формулы простейших тригонометрических уравнений
С помощью единичного круга и графиков повторить частные формулы тригонометрических уравнений
Повторить мнемоническое правило замечательной таблицы аркусов (на пальцах и замечательной таблицы)

3. Панорамная презентация по новой теме:
Мы рассмотрели и научились решать простейшие тригонометрические уравнения. Теперь познакомимся и научимся решать тригонометрические уравнения общего вида.
Чтобы решать тригонометрические уравнения, необходимо путем тождественных преобразований привести их к простейшему виду.
Рассмотрим различные типы уравнений и способы их решения.
I. Способ
Квадратные уравнения (относительно одной переменной)
А) 2sin 2x + sin x - 1 = 0
Данное уравнение решаем, как квадратное относительно sin x, для этого введем новую переменную у = sin x, тогда уравнение можно записать в виде 2у2 + у – 1 = 0
Найдем корни полученного уравнения: у1 = - 1, у2 = 1 / 2
Следовательно, данное уравнение равносильно простейшим тригонометрическим уравнениям:
1) sinх = - 1, и 2) sin x = 1/ 2
Х =- π/2 + 2πп х = (- 1)кπ/6 + πк, при п, к∈Z

Б) 6sin2x + 5 cos x – 2 = 0
Надо добиваться, чтобы наименование функции и аргумента были одинаковы.
Уравнение решаем как квадратное, но вначале заменим sin2x = 1 - cos2 x
Получим квадратное уравнение относительно cos x, введем замену у = cos x:
6у2 - 5 у – 4 = 0
Найдем корни полученного уравнения: у1 = 11/3, у2 = -1 / 2
Данное уравнение равносильно простейшим тригонометрическим уравнениям:
1) cos x = 11/3, и 2) cos x = -1/ 2
Нет корней, т.к. | cos x|≤1 х = ± 2π/3 + 2πк, при п, к∈Z

В) tg x + 2 сtgx = 3
Умножим обе стороны уравнения на tgx:
tg2 x + 2 = 3 tgx
tg2 x - 3 tgx + 2 = 0
Применим замену переменной:
tgx = и получим: и2 - 4 и +3 =0
и1= 1 и2=3
Возвращаемся к исходны переменным:
tgx x = 3 , x = arctg3+πn, nϵZ

tgx x =1 , х= arctg1+πn, nϵZ

II способ
Однородные уравнения:

А) sinx + cos x = 0 (простейшее однородное уравнения 1 –й степени)
Обе части уравнения делим на cos x ≠0 или sinx ≠0, т.к. одновременно они не равны нулю.
tgx x + 1= 0 ,
х= - arctg1+πn,
х = - π/4 + πn, nϵZ

б) 3sin2x - 4 sin х cos x + cos2x = 0 – однородное уравнение второй степени
Разделим обе стороны данного уравнения на cos2x≠0
3tg2x - 4 tg x + 1= 0
Применим замену переменной: tg x = и получим:
3и2 - 4 и + 1= 0
и1= 1 и2=1 / 3
Возвращаемся к исходным переменным: tg x = и
tg x =1 tg x = 1 / 3
х= π/4+πn, nϵZ х= arctg1 /3+πn, nϵZ

4. Первичное закрепление:
№ 93

5. Подведение итогов урока:
Д/З: §10, № 93, № 94
Рефлексия:

Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:
сегодня я узнал…
было интересно…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я почувствовал, что…
я приобрел…
я научился…
у меня получилось …
я смог…
я попробую…
меня удивило…
урок дал мне для жизни…
мне захотелось…

Подбор разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 10 классов.

Тема: Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений.

- умение правильно оценивать свой уровень

- умение работать со справочным материалом.

Тип урока: контроль знаний и умений.

Методическое обеспечение и оборудование:

Справочные материалы, раздаточные материалы, самостоятельные работы разного уровня, доска-экран, компьютер (для проверки самостоятельной работы), учебные принадлежности.

Проверка домашнего задания:

Повторить формулы корней простейших тригонометрических уравнений
Повторить способы решения простейших тригонометрических уравнений

Самостоятельная работа (разноуровневая)

Учащимся выданы карточки с тремя уровнями заданий:

Каждый должен самостоятельно оценить свой уровень и выбрать задание для самостоятельной работы

Через компьютер на экране выводятся правильные решения по уровням.

Учащиеся сами проверяют свои решения, задают вопросы, исправляют ошибки

Инструктаж по дом.заданию. Каждый из учащихся выбирает себе карточку с домашним заданием своего уровня.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Четверть: II

Раздел: 10.2 A Тригонометрические уравнения

НИШ ХБН г. Атырау

ФИО учителя: Адилгалиева Ж.С

Количество присутствующих:

Отсутствующих:

Методы решения тригонометрических уравнении и их систем

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

Учащиеся будут:

10.2.3.16. уметь решать системы тригонометрических уравнений

сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения систем тригонометрических уравнений;

сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации .

Критерии оценивания:

Учащиеся достиг цели, если

умеет решать тригонометрические уравнения методом разложения на множители.

Языковые цели:

объяснять решение тригонометрических уравнений;

Лексика и терминология:

арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа;

обратно тригонометрические функции;

частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений;

однородное тригонометрическое уравнение.

Серия полезных фраз для диалога/письма:

однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на …;

простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида … ;

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметные связи

У учащихся закладываются базовые знания решения тригонометрических уравнений.

Навыки использования ИКТ

Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи.

Предварительные знания

Знают, как решать простейшие тригонометрические уравнения

Урок применения знаний в комплексе.

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Начало урока

Проверочная работа с целью восприятия нового материала

Работа в группах

Повторение пройденного материала.

Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3). Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель обращается к учащимся:

Ответы учащихся:

Введение новой переменной.

Разложение на множители.

Деление обеих частей уравнения на cos ( mx ) для однородных уравнений первой степени.

Деление обеих частей уравнения на cos 2 ( mx ) для однородных уравнений второй степени.

Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению .

Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б)

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах, на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске, а потом проверяет решение со слайда.

Занятие позволит закрепить знания учащихся, способствует развитию умений анализировать и делать выводы.

Описание разработки

Цели урока:

Ознакомить со способами решения тригонометрических уравнений, овладеть умениями и навыками по решению тригонометрических уравнений и их систем.

развивать умения анализировать и делать выводы.

развивать умения решать простейшие тригонометрические уравнения, определять их частные корни.

воспитывать чувство ответственности,

умение работать в коллективе

Оборудование: кластер, тесты, синквейн, музыка, магнитная доска

Ход урока.

1. Организация класса.

2. Психологическая минутка.

3. Притча (звучит музыка).

Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал:

"Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет". Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: "Какая у меня бабочка - живая или мертвая?" Но мудрец ответил: " Все в твоих руках:"

А я хочу сказать, что результат вашей работы на сегодняшнем уроке в ваших руках. Эти слова будут девизом нашего урока.

4. Актуализация знаний.

Тригонометрическое уравнение – это.

Особенности тригонометрического уравнения

Чему равняется arccos (-a)?

Простейшие тригонометрические уравнения

Составление кластера по простейшим тригонометрическим уравнениям (сделать кластер) (кол-но)

Работа в разноуровневых группах:

1. Решите уравнение:

а) 2 sinx - 2 1/2 = 0

А) cos (x/3)= 2 1/2 /2

б) Sin (2x - П/6 ) = -1

5. Изучение нового материала.

1. Тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям относительно одной тригонометрической функции

Пример № 1 2sin 2 x + 3sinx – 2= 0

Пример № 2 3cos2x = 7 cosx

Пример № 3 tgx + 3 ctgx = 4

2. Тригонометрические уравнения, решаемые путем преобразований тригонометрическими формулами.

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Основная литература:

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. - 368 с.

Дополнительная литература:

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

- метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.