Почему школьную математику называют элементарной

Обновлено: 08.07.2024

Зародилась математика в древнейшие времена. В те доисторические времена человек активно осваивал окружающий мир, накапливал фактический материала и преумножал жизненный опыт. Долгое время счет у древних людей был вещественным, то есть осуществлялся с помощью палочек, камней, пальцев и прочего. Постепенно к первобытному человеку пришло понимание того, что число можно отделить от его конкретного представителя. Древние люди сумели понять, что два яблока и два камня, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека. Так постепенно сформировалось понятие о натуральных числах, а к концу VII V вв. до н. э. и другие основные постулаты математики.

Бурное развитие математической науки обусловлено потребностями хозяйственной жизни человека. Земледелие, ремесло, обмен, торговля, налоги, обеспечение продовольствием, создание армии, измерение площадей земельных владений, объемов сосудов и многое другое заставляло людей заниматься счетом и вычислением. Со временем накопленные знания были приведены в четкую систему, благодаря чему человек смог вычленить особые понятия, методы и способы решения трудных задач, которые впоследствии легли в основу современной математической науки.

Еще в глубокой древности задолго до наступления нашей эры были сформулированы три основных понятия математики: число, величина и геометрическая фигура. В процессе тщательного счета и упорядочивания убитых на охоте зверей, сделанных горшков в мастерской, собранного урожая, возникло понятие натурального числа, как количественного, так и порядкового. В результате сравнения масс и объемов разнообразных сосудов и предметов человек пришел к пониманию понятия величина. В следствие изучения форм изделий и предметов, зданий и земельных участков и т.д. люди сформировали понятие геометрической фигуры, являющейся частью геометрического (буквально означает — измерение земли) пространства, сформированные абстрактные понятия были введены в арифметические действия над натуральными числами. Спустя некоторое время была установлена связь между натуральными числами и величинами, в результате чего появились дробные числа. Они получались в случае, когда результат измерений не выражался натуральным числом. Постепенно путем наблюдений и простейших логических рассуждений, люди пришли к простым, но гениальным по своей сути формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей, объемов. Из этого следует, что в это время арифметика и геометрия считались частями одного целого.

Цифры – условные знаки для обозначения чисел.
Первые цифры появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита, аналогичная система применялась и в России до 16 в. В средние века в Европе пользовались системой римских цифр (I, II, III, IV, V, VI и т. д.), основанной на употреблении особых знаков для десятичных разрядов
I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Современные цифры (арабские) перенесены в Европу арабами в 13 в. (по-видимому, из Индии) и получили широкое распространение со 2-й пол. 15 в. В узком смысле слова цифрами называются знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Элементарная математика

С VI- XVIII веках до нашей эры длился полный уникальных открытий период в развитии математической науки. К этому времени математика становится самостоятельной наукой, с целым рядом своеобразных понятий и методов. Теперь начинается систематическое и логически последовательное посторенние основ математической науки.

Наиболее ценный вклад в становление математики внесли ученые Древней Греции. Главным достижением математической мысли того времени является становление и развитие понятия о доказательстве. В данный период развития цивилизации ученые стремились к четкому, последовательному и логическому построению своих мыслей. Древние греки строго выстраивали свои мысли и высказывания, в результате чего переход от одного смыслового звена к следующему не допускал места сомнениям, был неоспорим и заставлял всех принимать его без спора. Такой метод логических рассуждений получил название дедуктивного.

Дошедшие до нас тексты древнегреческого ученого Фалеса из Милета, позволяют считать его первым философом, который использовал в математике дедуктивный метод и доказательства. Именно Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и другие геометрические утверждения.

Метод логического доказательства математических утверждений Фалеса был всесторонне развит и усовершенствован учеными пифагорейцами в конце VI в. — середине V в. до н. э. Ученые пифагорейской школы доказали математическое утверждение, известное нам как теорема Пифагора.

Следующим этапом развития элементарной математики явилась попытка греческих ученых обосновать математику, оперируя геометрическими понятиями. С этого момента начинается развитие геометрической алгебры. Геометрический подход к алгебре сохранился и по сей день в некоторых терминах, к примеру, квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.Вклад древнегреческих математиков трудно переоценить. Благодаря их трудам математическая наука продвинулась очень далеко. Именно древние греки классифицировали открыли все виды правильных многогранников, вывели основные формулы для определения объемов тел, изучили кривые линии — эллипс, гиперболу, параболу, спирали.

XVII — XVIII века— третий период развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. В своих трудах Декарт исправляет ошибочные представления античных математиков и вновь возвращает числу алгебраическое понимание взамен геометрического. К тому же Декарт показывает новый способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык. Это осуществлялось с помощью системы координат, которая впоследствии стала носить имя своего создателя. Благодаря декартовой системе координат эффективность математических исследований становится на порядок выше. Таким образом, появилась аналитическая геометрия. Кроме того, именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины.

Выдающимся достижением рассматриваемого периода в становлении математической науки явилось введение нового обобщенного понятия функции. Введенное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем, понятие функции воплотило в себе общефилософскую идею о всеобщей взаимосвязи явлений материального мира.

Понятия переменной и функции есть не что иное, как абстракции конкретных переменных величин таких, как координата, скорость, ускорение и тому подобные, и конкретных зависимостей между ними, к примеру, закон свободного падения. Результатом углубленного изучения общих свойств зависимостей между переменными величинами стало создание математического анализа. XVIII век по праву называют веком анализа в математике. Благодаря обмену идеями, происходившему в процессе взаимодействия, была сформирована математическая физика.

В области геометрии и механики конца XVII в. было также сделано немало важных открытий. Выдающийся английский физик и математик Исаак Ньютон создал основу дифференциального и интегрального исчисления. Это открытие Ньютон совершил одновременно с Г.В. Лейбницем. Анализ и механика развивались в тесном взаимодействии, однако впервые эти две области научного знания объединил Эйлер. Теперь механика стала прикладным разделом анализа.

Значительные успехи в этой области были достигнуты в XVIII-XIX столетиях. К этому времени математики научились составлять и решать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, в которых соединялись многие вопросы математической физики.
На рубеже XVIII — XIXвв в свет выходят многочисленные специализированные математические журналы. Значительно увеличивается количество научно-популярной литературы. В это же время возникает и развивается теория вероятностей.
В современный период развития математической науки, впитавший в себя достижения предыдущих эпох, было сделано много невероятных открытий, опровергнуты ошибочные убеждения, созданы и развиты новые теории.

Одним из самых выдающихся открытий того времени является построение так называемой неевклидовой геометрии. Созданная великим русским математиком Н. И. Лобачевским новая геометрия стала своеобразным символом внутреннего развития математики. Теперь аксиомы рассматривают как гипотезы. К концу XIX века сложился ряд строгих требований к практической работе математиков, который сегодня составляет предмет математической логики.

Не менее важным этапом в развитии математической науки стало углубленное изучение геометрических пространств. Весомый вклад в развитие этой области внес Риман. Интенсивное изучение функциональных пространство позволило создать новый раздел математики — функциональный анализ, в котором геометрические понятия и идеи используются для решения сложных задач математического анализа.

В области механики и математической физики разработана теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частичными производными и пр.

Направление алгебраических исследований изменяется в сторону общих алгебраических систем, теории групп, полей, колец. На стыке алгебры и геометрии возникает новая теория непрерывных групп.

Новые методы анализа и алгебры, созданные в начале ХХ века, были использованы при создании и дальнейшем использовании ЭВМ. Таким образом, было найдено практическое применение результатов теоретико-математических исследований, а методы анализа и алгебры легли в основу нового раздела науки — вычислительную математику.

Что-то целое состоит из частиц, или элементов. Некоторые элементы являются базовой основой предмета. Одним из основных базовых элементов математики в начальной школе является арифметика, позже добавляются элементы "алгебра", "геометрия", но, в конце концов, большинство после школы использует только арифметику для элементарного подсчета оставшихся дней до получки)

Арифметической прогрессией называется ряд чисел,называемых членами арифметической прогрессии, при котором каждый последующей член образуется путём суммы предыдущего члена с некоторым постоянным числом, называемым разностью арифметической прогрессии. Итак, если мы имеем А(n) A"энное", a следующим членом назовём А(n+1) и d - будет разностью арифметической прогрессии, то согласно определения:

А(n+1)= А(n) + d. Отсюда: d = А(n+1)- А(n) Разностью арифметической прогресси является число, пролученное вычитанием из какого либа её члена, ближайшего, перед ним стоящего члена.

В качестве примера можно привести 1,2,3,4,5,6. представлена арифметическая прогрессия, разность которой d = 1, а первый член её А(1)= 1

Сначала находим разность чисел: 120-66=54.

Неизвестное число обозначаем через Х, Тогда по условию 9*Х=54. Решаем полученное уравнение, находим Х, для этого 54:9=6. Х=6. Ответ: неизвестное число равно 6.

Делаем проверку: 6*9=120-66.

Коля мог идти до школы сколь угодно - от 1-й минуты до 29 минут, если конечно, занятия в школе начинались в 9:00.

Если Коля приходил раньше, он ждал Ваню, или наоборот. В любом случае они встречались у школы и далее шли вместе на уроки.

Будем считать, что глубина протектора автомобильной шины меняется равномерно, то есть с одинаковой скоростью. Иначе однозначно ответить на ваш вопрос нельзя. Давайте решать задачу по действиям.

1) 8 - 2.3 = 5.7 (мм) - на столько миллиметров изменилась глубина протектора автомобильной шины при пробеге в 32 178 километров

2) 5.7 : 32 178 = 0,00018 (мм) - на столько миллиметров изменилась бы глубина протектора автомобильной шины при пробеге в 1 километр

3) 5.7 : 32 178 * 10 000 = 1.771 (мм) - на столько миллиметров изменилась бы глубина протектора автомобильной шины при пробеге в 10 000 километров

Чтобы решить правильно данную алгебраическую задачу нужно вспомнить (если знал) следующие темы: части числа, пропорции

По условию задачи, число хвойных деревьев в парке составляет 7 частей, число лиственных - 13.

Следовательно, общее число деревьев, выраженное в частях равно сумме частей - 7 + 13 = 20

Далее задачу можно решить двумя способами

Первый способ

(100 x 7) /20 = 700/20 = 35

Второй способ

Двадцать частей соответствуют ста процентам. Необходимо узнать сколько процентов составляет одна часть.

Элементарная математика — совокупность тех разделов математики, которые имеют сравнительно невысокий уровень абстракции и, прежде всего, не используют таких понятий, как бесконечность и предел. Остальная часть математики считается высшей, однако четкую границу между элементарной и высшей математикой провести очень трудно.

Бытует мнение, что элементарная математика состоит, по определению, в точности из тех разделов, которые преподаются в средней школе. Это не совсем верно: в школьное образование уже давно (наиболее активно — с начала XX века) внедряются элементы высшей математики.

Так, в современных российских школах, наряду с алгеброй, в старших классах изучаются также и начала математического анализа (непрерывность, производная, интеграл и даже простейшие примеры дифференциальных уравнений), в геометрии используются некоторые методы аналитической геометрии, а весь курс математики средней школы пронизывают элементы теории вероятностей и статистики. Необходимость постоянных изменений школьной программы обусловлена и развитием самой математики, и все более активным ее применением в других дисциплинах естественнонаучного и гуманитарного цикла (в физике, химии, биологии, экономике, социологии).

Элементарная математика вовсе не является элементарной в смысле простоты. Такое ее название отражает, скорее, ее первоначальность, или фундаментальность, по отношению ко всей математике в целом.

Включение элементарной математики в школьное образование значительно повышает его качество и является совершенно необходимым для последующих научных исследований или для изучения математики как самостоятельной науки. Одним из способов отбора талантливой молодежи с целью ее вовлечения в дальнейшую учебную и творческую исследовательскую работу является проведение математических олимпиад школьников, конкурсов, конференций и других интеллектуальных соревнований учащихся средних школ.

Традиционно элементарную математику делят на следующие основные составляющие: арифметика, алгебра, геометрия (планиметрия и стереометрия) и элементарные функции. Каждому из перечисленных четырех разделов можно поставить в соответствие свои аналоги из высшей математики, активно использующие абстракции более высокого уровня:

арифметике — теорию чисел и вычислительную математику (в этом смысле арифметику, в свою очередь, можно считать элементарной теорией чисел);
алгебре (точнее, элементарной алгебре) — линейную, высшую и булеву алгебры;
геометрии (точнее, элементарной геометрии) — аналитическую и дифференциальную геометрии, а также топологию;
элементарным функциям — математический анализ, теорию функций и дифференциальные уравнения.

Иногда в качестве самостоятельных разделов элементарной математики выделяют еще и тригонометрию, которая привязана и к геометрии, и к элементарным функциям, а также комбинаторику, логику и теорию множеств, которые представляют собой зачатки серьезных разделов высшей математики: теории вероятностей, математической логики и аксиоматической теории множеств.

Среди важнейших тем и проблем, находящихся в центре внимания элементарной математики, можно назвать:

запись чисел, возникающих в процессе счета или измерения, описание числовых систем, точное или приближенное вычисление значения искомой величины; , их составление по данным задачи и интерпретация полученного ответа;
описание взаимного расположения геометрических фигур и их элементов, их построение (в частности, с помощью циркуля и линейки), нахождение их численных характеристик — углов, отношений, длин, площадей, объемов;
исследование зависимостей одних величин от других, в том числе и имеющих практическое содержание (к примеру, времени движения от пройденного пути или от скорости, объема цилиндра от его высоты или радиуса).

Таким образом, элементарная математика восходит непосредственно к окружающей действительности и помогает производить практические операции с реальными объектами. Многие понятия высшей математики имеют свои прообразы в элементарной математике, где они, как правило, не носят абстрактный характер, а именно:

понятие иррационального числа связано лишь с конкретными элементарными операциями или функциями (скажем, с извлечением корня, логарифмами, тригонометрическими функциями и т.д.);
рассматриваемые функции ясно определены — они либо заданы формулами (с помощью алгебраических операций), либо имеют конкретную геометрическую интерпретацию (например, тригонометрические функции);
кривые или поверхности возникают только в связи с конкретными элементарными функциями или геометрическими построениями;
понятие бесконечности воспринимается не как нечто полностью осуществимое (актуальная бесконечность), а только как отсутствие всякого ограничения (т.е. возможность продолжать рассматриваемое действие сколь угодно далее — потенциальная бесконечность);
понятие предела последовательности изучается лишь на конкретных примерах и с определенной целью (скажем, периметры вписанных многоугольников — для определения длины окружности);
понятие предела функции, лежащее в основе таких ее свойств, как непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость, появляется лишь в практических целях (да и то на интуитивном уровне) при исследовании неразрывности конкретного графика, построении касательной к нему, вычислении площади параболического сегмента и т.д.

Историческое развитие математики с ее постоянным разрастанием и усложнением ярко демонстрирует процесс постепенного перерастания элементарной математики в высшую.

От простого к сложному, как правило, именно по такому пути проходит развитие науки. Математика в этом отношении неисключение.

С VI- XVIII веках до нашей эры длился полный уникальных открытий период в развитии математической науки. После нескольких веков накопления эмпирического материала, сформированного в разнообразные приемы и методы арифметических вычислений, наступает второй период развития математики, известный как период элементарной математики. К этому времени математика становится самостоятельной наукой, с целым рядом своеобразных понятий и методов. Теперь начинается систематическое и логически последовательное посторенние основ математической науки.

Именно греческий ученый Фалес из Милета доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и другие геометрические утверждения.

Кстати сказать, математическое утверждение, называемое сегодня теорема Пифагора, была известна еще в Древнем Вавилоне.

Следующим этапом развития элементарной математики явилась попытка греческих ученых обосновать математику, оперируя геометрическими понятиями. С этого момента начинается развитие геометрической алгебры. Теперь, к примеру, сложение величин объясняется как сложение отрезков, а умножение как результат построения прямоугольника с заданными сторонами. Надо сказать, что при этом, древнегреческие ученые говорили не о равенстве отрезков, а о равенстве длин отрезков. Геометрический подход к алгебре сохранился и по сей день в некоторых терминах, к примеру, квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.

Вклад древнегреческих математиков трудно переоценить. Благодаря их трудам математическая наука продвинулась очень далеко. Именно древние греки классифицировали квадратичные иррациональности, открыли все виды правильных многогранников, вывели основные формулы для определения объемов тел, изучили кривые линии — эллипс, гиперболу, параболу, спирали.

Надо сказать, что элементарная математика Древней Греции не знала отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Они появятся лишь в III веке нашей эры в трудах александрийского математика Диофанта. К сожалению, зачатки буквенного исчисления не получили дальнейшего развития в Древней Греции, в связи с принятием христианства. В 529 г. император Юстиниан под страхом смертной казни запретил занятия математикой, как одно из проявлений языческой веры.

Теперь центр математической науки перемещается на Восток, в Индию и арабские страны, а также в Китай.

В конце рассматриваемого периода были введены отрицательные числа и ноль, развита тригонометрия, создана новая область математики — алгебра, как буквенное исчисление. Таким образом, период элементарной математики завершается. Теперь направление математических исследований изменяется в сторону математических величин.

Читайте также: