Планиметрия что изучает кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

Да, мы знаем, что в школе планиметрией занимаются мало.

У нас даже статья есть о том, как там всё печально: Геометрия в школе: засада для абитуриента

Однако выучить геометрию и сдать ЕГЭ все равно надо. Как же это сделать: Вам поможет наша Программа по геометрии. Список необходимых фактов и теорем.

Учим определения, формулы и теоремы. Вспоминаем, что такое синус и что такое косинус острого угла в прямоугольном треугольнике. Учим определения и свойства биссектрисы, медианы и высоты треугольника. И 5 (да, 5) формул площади треугольника.

В общем, всё, что необходимо для решения заданий №3 и №6 первой части Профильного ЕГЭ по математике. До второй части и задачи 16 мы тоже дойдем!

Подробно – здесь:

Задание 16 из второй части ЕГЭ состоит из пунктов (а) и (б). Пункт (а) - это доказательство. Как правило, доказать нужно не самый тривиальный факт, и нужно уметь это делать.

Докажите их все и проверьте, что у вас получилось. После этого вы сможете доказать любое утверждение, которое вам может встретиться на ЕГЭ в задаче 16.

Но это не всё. Знаете ли вы, что многие задачи 16 Профильного ЕГЭ строятся по одной из так называемых классических схем? И эти Классические схемы для решения задач по планиметрии (с доказательствами) надо знать.

Как оформить решение задачи №16 (планиметрия)? Смотри образец решения и оформления!

И несколько полезных советов:

1) Задачи ЕГЭ по планиметрии решаются без сложных формул. Все необходимые факты, определения и теоремы – на этой странице.

2) Часто пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ содержит подсказку для решения пункта (б).

3) Обратите внимание на теорему о секущей и касательной, а также на свойство биссектрисы. Их трудно найти в учебнике. А в задачах ЕГЭ они применяются постоянно.

4) Старшеклассники очень любят теорему Фалеса. Но на самом деле применяется она очень редко. Намного чаще применяются три признака подобия треугольников.

- По углу и двум прилежащим к нему сторонам,

- По трем пропорциональным сторонам.

5) Самое важное – правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – теория. Затем – доказательство полезных фактов и классических схем. И только после этого – задачи №16 Профильного ЕГЭ.

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится?

Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Так что, внимание!

Планиметрия — коротко о главном

Аксиомы принадлежности:

Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы порядка:

Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Аксиомы мер для отрезков и углов:

Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Аксиома 6.Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \( \displaystyle 180<>^\circ \). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

Аксиома 7. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом

Аксиома параллельных:

Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Основные факты об углах:

Теорема. Сумма смежных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

\( \displaystyle 180<>^\circ=x_^^\circ >+x_^^\circ >\)

Теорема. Вертикальные углы равны.

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Планиметрия — подробнее

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны.

Описания ты найдешь далее в этой статье, а сейчас продолжим картинками.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерение углов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

В развернутом угле \( \displaystyle 180\) градусов.

Для краткости пишут: \( \displaystyle ^>\). При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол.

Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

Два основных факта об углах

I. Смежные углы в сумме составляют \( \displaystyle ^>\).

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Почему? А смотри:

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 3\) – смежные
\( \displaystyle \Rightarrow \angle 1+\angle 3=^>\).\( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3\) – тоже смежные
\( \displaystyle \Rightarrow \angle 2+\angle 3=^>\)

Ну, конечно, отсюда следует, что \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\). (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

Прямой угол

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

Острый и тупой углы

Углы, меньшие \( \displaystyle ^>\), называются острыми углами.

Углы от \( \displaystyle ^>\) до \( \displaystyle ^>\) называются тупыми углами.

Еще раз: угол в \( \displaystyle ^>\)— прямойугол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно понятные соотношения довольно длинным математическим языком.

Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла.

Тогда – добро пожаловать читай далее эту статью – там довольно подробное обсуждение аксиом.

А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

Точка и прямая

I. Аксиомы принадлежности

Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:

Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Вот так: было две точки:

И тут же нашлась прямая:

А другой – нет! Прямая только одна!

Луч, отрезок, угол

Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

Вот он, луч:

Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.

Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало– вершиной угла.

Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.

II. Аксиомы порядка

Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Теперь – следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

III. Аксиомы мер для отрезков и углов

Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

\( \displaystyle d=_>+_>\)

Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \( \displaystyle 180<>^\circ \). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

\( \displaystyle x=x_^^\circ >+x_^^\circ >\)

Аксиома 3.3. Каково бы ни было число \( \displaystyle d>0\) , существует отрезок длины \( \displaystyle d\).

IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному

Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!

Но сперва определение:

Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

V. Аксиома параллельных

Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.

А теперь два основных факта об углах!

Смежные и вертикальные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной.

Теорема. Сумма смежных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

\( \displaystyle 180<>^\circ=x_^^\circ >+x_^^\circ >\)

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Это легкая теорема. Убедись:

\( \displaystyle \angle 1+\angle 3=180<>^\circ \) (они смежные).

\( \displaystyle \angle 2+\angle 3=180<>^\circ \) (тоже смежные)\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) – и ВСЁ!

Прямой, острый и тупой углы

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым.

Его величина равна \( \displaystyle 90<>^\circ \) (ну конечно, ведь \( \displaystyle 90<>^\circ +90<>^\circ =180<>^\circ \))

Углы, меньшие \( \displaystyle 90<>^\circ \), называются острыми углами.

Углы от \( \displaystyle 90<>^\circ \) до \( \displaystyle 180<>^\circ \) называются тупыми углами.

Вот и всё… Дальше нужно говорить о параллельности и о треугольниках. Так что, вперед, в следующие темы.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Напиши комментарий ниже и расскажи нам, помогла ли тебе эта статья. Все ли было понятно?

Круто ведь, что аксиомы не надо доказывать? 🙂

И кстати, ты можешь задать любые вопросы! Или написать свои предложения.

Мы обязательно тебе ответим!

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Анна
08 мая 2018
Большое спасибо.

Александр (админ)
08 мая 2018
Пожалуйста, Анна! Удачи на экзаменах.

Виктория
14 мая 2019
Скажите, пожалуйста, есть ли задачник по вашему учебнику геометрии? Может порекомендуете какой-нибудь, чтобы можно было практику проходить (чтоб с ответами)? Теория просто волшебная! Но надо ж закрепить! С уважением

01 декабря 2019
Ну вот это просто класс! Мой нелюбящий сын геометрию, сегодня после первого вашего урока просто в неё влюбился!

Александр (админ)
01 декабря 2019
Спасибо, огромное, Наталья! Очень приятно слышать. Сыну — успехов в геометрии и удачи на всех экзаменах!

Аксиомы принадлежности. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиомы измерения. Аксиомы откладывания. Аксиома параллельных

02. Углы

Смежные углы. Вертикальные углы. Углы при пересечении

03. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

04. Свойства сторон и углов треугольника

Свойства сторон и углов треугольника. Внешний угол. Свойства. Неравенство треугольника. Равнобедренный треугольник

05. Равенство треугольников.

Равенство треугольников. Свойства. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников

06. Медиана треугольника.

Медиана треугольника. Свойства.

07. Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника. Свойства

08. Высота треугольника

Высота треугольника. Свойства

09. Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника. Свойства

10. Соотношение между элементами прямоугольного треугольника

Соотношение между элементами прямоугольного треугольника

11. Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике

Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике

12. Преобразование фигур. Движение

Преобразование фигур. Движение. Симметрия относительно точки. Поворот. Симметрия относительно прямой. Параллельный перенос

13. Преобразование подобия

Преобразование подобия. Свойства. Гомотетия.

14. Подобие треугольников.

Подобие треугольников. Свойства. Признаки подобия треугольников

15. Параллелограмм и его виды.

Параллелограмм и его виды. Свойства. Признаки

Прямоугольник. Ромб. Квадрат.

16. Трапеция

Трапеция. Частные случаи трапеции. Средняя линия трапеции. Дополнительные построения для трапеции

17. Окружность, хорды и дуги

Окружность, хорды и дуги. Свойства

18. Окружность. Касательные и секущие.

Окружность. Касательные и секущие.

19. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.

Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.

20. Общие касательные двух окружностей.

Общие касательные двух окружностей.

21. Углы в окружности.

Углы в окружности.

22. Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей

Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей

23. Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.

Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.

24. Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник.

Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник.

25. Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники

Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники

26. Площади треугольников.

27. Площади четырехугольников.

Площади четырехугольников. Площадь описанного многоугольника

2 Комментарии

Огромное спасибо за такую обширную базу по планиметрии. Конечно, сюда можно добавить ещё пару формул, но это самая полная шпаргалка по планиметрии, которую я знаю.

Отличный справочник по планиметрии! Благодарю!

Добавить комментарий Отменить ответ

Конспекты по геометрии:

7 класс

8 класс

9 класс

Найти конспект:

О проекте

Возрастная категория: 12+

(с) 2021 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!

Планиметрия - раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства на плоскости.

Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами - А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами - a, b, c, d. (Рис.1)

A, B, C, D, E - точки.

Прямые a и b параллельны,
прямые а и с пересекаются в точке С,
прямые b и с пересекаются в точке Е.

Точка А не принадлежит ни одной прямой.
Точка В принадлежит прямой а,
точка D - прямой b,
точка C - прямой а и с,
точка Е - прямой b и c.

Углы обозначаются так:

∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α

где h,k - полупрямые или лучи с начальной точкой О.

Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.

1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.

3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.

7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.

8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.

Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3

А прямая с пересекает прямую b в точке В.

Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В. Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1.

Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:

или прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда т. А ∈а,b,с и т. В ∈b,c но две прямые b и с могут иметь только одну точку пересечения; следовательно точки А и В совпадают. И следовательно три прямые а,b,с пересекаются в одной точке - в точке А. Вывод: Следовательно, наше утверждение неверно, и три прямые не могут пересекаться в двух точках. Три прямые пересекаются либо в одной, либо в трех точках.

3.Смежные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)

Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° - острым. Больше 90° - тупым. (Рис.5)

4.Вертикальные углы

Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство. Пусть α₁ β₁ и α₂ β₂ - данные вертикальные углы. Угол α₁ является смежным с углом β₁. Угол β₁ является смежным с углом α₂. Тогда:

Точно так же можно доказать, что β₁ = β₂.

Рис.6 Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)

Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

Доказательство.

Пусть а данная прямая и точка А данная точка, принадлежащая прямой а. Обозначим на прямой а полупрямую а1. И отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1b1. Тогда прямые а и b, на которых лежат полупрямые а1 и b1 перпендикулярны.

Допустим, что существует еще одна прямая, перпендикулярная прямой а, и проходящая через точку А - прямая с. Отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1с1. Получается, что от полупрямой, от ее начальной точки (точка А) в заданную полуплоскость можно отложить еще один угол, равный 90°. А это невозможно, так как согласно аксиоме 7, от любой полупрямой, от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Поэтому не может существовать два угла в 90° с одной и той же полупрямой в заданной полуплоскости. Теорема доказана.

Рис.7 Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)

Доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Угол А = А 1 , стороны AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1 (рис 8а) .

Возьмем третий треугольник А 1 В 2 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 2 С 2 расположим таким образом, что стороны А 1 В 1 и А 1 В 2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В 2 лежит на полупрямой А 1 В 1 , а вершина С 2 лежит в той же полуплоскости, где и С 1 . (рис 8б). Согласно аксиоме 6: на любой полупрямой, от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. Следовательно сторона А 1 В 2 = А 1 В 1 , т.е. точки В 1 и В 2 совпадают.

Согласно аксиоме 7: от любой полупрямой, от ее начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Следовательно углы С 1 А 1 В 1 и С 2 А 1 В 2 равны, т.е. точки С1 и С2 совпадают. Таким образом, треугольники A 1 B 1 C 1 и A 1 B 2 C 2 совпадают. Отсюда равны и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 .

Рис.8 Первый признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников

Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)

Доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Углы А = А 1 , В = В 1 сторона AB = A 1 B 1 (рис 9) .

Возьмем третий треугольник А 1 В 2 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 2 С 2 расположим таким образом, что стороны А 1 В 1 и А 1 В 2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В 2 лежит на полупрямой А 1 В 1 , а вершина С 2 лежит в той же полуплоскости, где и С 1 . (рис 9). Т.к по условию AB = A 1 B 1 и AB = A 1 B 2 по построению, следовательно A 1 B 1 = A 1 B 2 , т.е. точки В 1 и В 2 совпадают.

Рис.9 Второй признак равенства треугольников.

Так как угол В 1 A 1 С 2 равен углу В 1 A 1 С 1 и угол А 1 В 1 С 2 равен углу А 1 В 1 С 1 , то сторона A 1 С 2 совпадает со стороной A 1 С 1 . А сторона В 1 С 2 совпадает со стороной В 1 С 1 . Т.е. вершины С 1 и С 2 совпадают. Следовательно треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником А 1 В 2 С 2 , а следовательно равен треугольнику АВС.

Третий признак равенства треугольников

Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)

Доказательство.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Стороны AB = A 1 B 1 , BС = В 1 С 1 , AС = A 1 С 1 (рис. 10) .

Возьмем третий треугольник А 1 В 1 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 1 С 2 расположим таким образом, что вершина С 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 . (рис 10). Пусть D середина отрезка C 1 C 2 . Таким образом, треугольники C 1 А 1 C 2 и C 1 В 1 C 2 - равнобедренные. А 1 D и B 1 D - медианы, а следовательно и высоты данных треугольников. Но через точку D можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой C 1 C 2 . Следовательно мы пришли к противоречию. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 - равны.

Рис.10 Третий признак равенства треугольников.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

Пример 1

Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?

Доказательство:

Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно.
Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.

Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.

Пример 2

Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.

Доказательство:

Проведем два отрезка от точек А и В - АХ и ВХ. Рассмотрим два треугольника АОХ и ВОХ. Сторона АО треугольника АОХ равна стороне ОВ треугольника ВОХ по условию задачи. Сторона ОХ является общей стороной для двух треугольников. Отрезок АВ представляет собой развернутый угол с вершиной в точке О, градусная мера которого составляет 180°. Так как прямая а перпендикулярна отрезку АВ, то угол АОХ равен углу ВОХ, т.е. 90°. Таким образом, получается, что треугольники АОХ и ВОХ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что сторона АХ треугольника АОХ равна стороне ВХ треугольника ВОХ при любой взятой точки Х, лежащей на прямой а. Т.е. расстояние от точки Х до точек А и В равное.

Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.

Пример 3

Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.

Решение:

Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:

Р = АВ + ВС + АС = 2

Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то

Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.

Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.

Пример 4

Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.

Решение:

Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:

Р_ABC = 2 x + 2 y = 40

Р_ABD = x + y + z = 30

z = 30 - (x + y) = 30 - 20 = 10

Ответ: ВD = 10 метров.

Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.

Пример 5

Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU₁ и ABU₂ равны. Докажите, что треугольники CDU₁ и CDU₂ тоже равны.

Доказательство:

По условию задачи треугольники ABU₁ и ABU₂ равны (Рис.15). Следовательно, BU₁ = BU₂. Угол ABU₁ равен углу ABU₂. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU₁ равен углу СBU₂, так как эти углы являются смежными с углами ABU₁ и ABU₂.

Таким образом, треугольники СBU₁ и СBU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU₁ = BU₂, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU₁ равен углу BСU₂ и СU₁ = СU₂. И следовательно, угол DСU₁ равен углу DСU₂, как смежные с углами BСU₁ и BCU₂.

А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU₁ и СDU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU₁ = СU₂, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).

Ознакомившись с материалом, читатель поймет, что планиметрия - это вовсе не сложно. В статье приведена самая важная теоретическая информация и необходимые для решения конкретных задач формулы. По полочкам разложены важные утверждения и свойства фигур.

Определение и важные факты

Планиметрия - это раздел геометрии, рассматривающий объекты на плоской двумерной поверхности. Можно выделить некоторые подходящие примеры: квадрат, круг, ромб.

Среди всего прочего стоит выделить точку и прямую. Они являются двумя основными понятиями планиметрии.

Уже на них строятся все остальное, например:

Отрезок - часть прямой линии, ограниченная двумя точками.
Луч - объект, аналогичный отрезку, однако, имеющий границу лишь с одной стороны.
Угол, который состоит из двух лучей, выходящих из одной точки.

Аксиомы и теоремы

Подробнее разберемся с аксиомами. В планиметрии это наиважнейшие правила, по которым работает вся наука. Да и не только в ней. По определению, речь идет об утверждениях, не требующих доказательств.

Аксиомы, которые буду рассмотрены ниже, входят в так называемую Евклидовую геометрию.

Есть две точки. Через них всегда можно провести единственную прямую.
Если существует прямая, то есть точки, которые на ней лежат, и точки, не лежащие на ней.

Это 2 утверждения принято называть аксиомами принадлежности, а следующие – порядка:

Если на прямой расположены три точки, то одна из них обязательно находится между двумя другими.
Плоскость делится любой прямой на две части. Когда концы отрезка лежат на одной половине, то значит и весь объект принадлежит ей. В ином случае исходная прямая и отрезок имеют точку пересечения.

Каждый отрезок имеет длину, отличную от нуля. Если точка разбивает его на несколько частей, то их сумма будет равна полной длине объекта.
У каждого угла есть определенная градусная мера, которая не равна нулю. Если разбить его лучом, то исходный угол будет равен сумме образованных.

На плоскости расположена прямая. Через любую точку, не принадлежащую ей, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

Теоремы в планиметрии - это уже не совсем фундаментальные утверждения. Обычно их принимают как факт, но каждая из них имеет доказательство, построенное на основных понятиях, упомянутых выше. Кроме того, их очень много. Разобрать все будет довольно трудно, но в представленном материале будут присутствовать некоторые из них.

Со следующими двумя стоит ознакомиться пораньше:

Сумма смежных углов равна 180 градусам.
Вертикальные углы имеют одинаковую величину.

Эти две теоремы могут пригодиться в решении геометрических задач, связанных с n-угольниками. Они довольно просты и интуитивно понятны. Стоит их запомнить.

Треугольники

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех последовательно соединенных отрезков. Классифицируют их по нескольким признакам.

По сторонам (соотношения выплывают из названий):

Равносторонний.
Равнобедренный - две стороны и противоположные им углы соответственно равны.
Разносторонний.

остроугольный;
прямоугольный;
тупоугольный.

Два угла независимо от ситуации всегда будут острыми, а третий определяется первой частью слова. То есть у прямоугольного треугольника один из углов равен 90 градусам.

Чем больше угол, тем больше противоположная ему сторона.
Сумма всех углов - 180 градусов.
Площадь можно вычислить по формуле: S = ½ ⋅ h ⋅ a, где a - сторона, h - проведенная к ней высота.
Всегда можно вписать окружность в треугольник или же описать ее вокруг него.

Об одной из основных формул планиметрии говорит теорема Пифагора. Работает она исключительно для прямоугольного треугольника и звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB 2 = AC 2 + BC 2 .

Под гипотенузой подразумевают сторону, противоположную углу 90°, а под катетами - прилежащие.

Четырехугольники

Информации на эту тему чрезвычайно много. Ниже приведена лишь самая важная.

Читайте также: