План урока применение производной к исследованию функции

Обновлено: 02.07.2024

Автор: Замараева Наталия Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ №95
Населённый пункт: город Краснодар
Наименование материала: Конспект урока
Тема: Применение производной к исследованию функции
Раздел: полное образование

Конспект урока

1 0 - 11 к л .

общеобразовательных учреждений /Ш.Алимов и др./

Тип урока: урок открытия нового знания.

Цель: создать условия для формирования у студентов умения с помощью

производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Учиться решать задачи на применение производной к исследованию

функций на монотонность и экстремумы.

Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать

выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества

личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление,

алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать

и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с

неопределённостью и сложностью.

Методы: деятельностный, проблемно-поисковый, самостоятельной работы.

Формы организации деятельности: индивидуальная работа, работа в парах,

1. Организационный момент (мотивирование к учебной деятельности)

2. Актуализация опорных знаний

3. Создание проблемной ситуации

4. Открытие нового знания

5. Первичное закрепление.

6. Самостоятельная работа

7. Подведение итогов. Рефлексия.Задание на дом.

1.Мотивирование к учебной деятельности (организационный момент).

Цель: подготовить учащихся к работе на уроке.

УУД: осмысление

положительного отношения к уроку;

Регулятивные УУД: самореализация и организация своего рабочего места.

2. Актуализация опорных знаний.

Цель: подготовить учащихся к восприятию нового материала

Регулятивные УУД: учатся работать по предложенному учителем плану;

Личностные УУД : осознание своих эмоций, интереса к изучению математики;

Познавательные УУД: актуализация изученных способов действий, развитие

Проверка осуществляется фронтально с использованием интерактивной доски.

Вспомним некоторые свойства функции:

Что называется областью определения функции?

Что называется множеством значения функции?

Какая функция называется возрастающей?

Какая функция называется убывающей?

Что такое точки экстремума (экстремумы функции)?

По графику функции определите

основные свойства функции:

Назовите способы задания функции

Какой самый наглядный?

Как построить график?

3. Создание проблемной ситуации.

Цель: подведение учащихся к формулированию темы и постановке задач урока.

Регулятивные УУД:

умение принимать цель урока и следовать ей в учебной

Коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и

сверстниками, контроль, коррекция, оценка действий партнера;

Учитель: Всегда ли возможен данный способ построения графика функции?

заранее известно, как примерно выглядит ее график. В случае если функция

сложная можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими

точками трудно предугадать. Как нам выполнить это задание? Выяснить, как

ведет себя функция, помогает ее производная. Сформулируйте цель нашего

сегодняшнего урока. Узнать какие есть правила для определения поведения

функции на числовом промежутке.

Учащиеся формулируют тему и цель урока:

Составить (создать, разработать) правило (алгоритм), с помощью которого

можно исследовать функции на монотонность и экстремумы с помощью

4. Открытие нового знания.

Познавательные УУД: самостоятельное выделение и формулирование

познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации,

Коммуникативные УУД: оформление своих мыслей согласно заданным

рамкам обсуждения, аргументация своих суждений.

Регулятивные УУД: осмысление выделенных учителем ориентиров действия в

новом учебном плане.

Учитель: Между характером монотонности функции и знаком её производной

есть определенная связь. Попробуем установить эту связь.

После того, как ученики высказали свои гипотезы, формулируется достаточный

признак возрастания и убывания функции, необходимое и достаточное условия

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Содержимое разработки

Тема урока: Применение производной к исследованию функции

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

Актуализация опорных знаний учащихся

Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала

Первичное применение приобретённых знаний

Подведение итогов урока

Ход урока

ӏ Организационный момент:

- отметить отсутствующих на уроке;

- записать дату урока, классная работа в тетради.

Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ Актуализация опорных знаний учащихся.

(Фронтальный опрос учащихся).

Что называется функцией?

Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У -зависимой переменой, или функцией.

Что называется областью определения и областью значения функции?

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

Какая функция называется чётной (нечётной)?

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Х из области определения f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

Какие точки называются критическими?

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x)?

ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)0 и f᾽(x)

ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

Что называется точкой минимума (максимума) функции?

Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х₀) из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x₀)f(x) (f(x₀)f(x)).

Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

Как определить точки экстремума?

ӏv Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

На слайде представлен график функции

Функция ни чётная и ни нечётная

Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ

Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]

Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

Найти область определения функции

Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность

Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)

Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)

Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

Найти дополнительные точки (если нужно)

Построить график функции

Учитель на доске показывает образец выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x 3 -3x 2 +2

f(-x)=(-x) 3 -3(-x) 2 +2=-x 3 -3x 2 +2 f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

а) с осью ОХ: у=0 x 3 -3x 2 +2=0;

х 3 -х 2 -2х 2 +2=0;

(х 3 -х 2 )-2(х 2 -1)=0;

х-1=0 или х 2 -2х-2=0;

х₂= =1+, х₃= =1-;

А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0 3 -2*0 2 +2=2 D(0;2)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=0 3х 2 -6х=0;

f᾽(3)=3*3 2 -6*3=27-18=9, 90

Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x _max=0 y_max=0 3 -3*0 2 +2=2 E(0;2)

v Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x 3 -2х 2

f(-x)=(-x) 3 -2(-x) 2 =-x 3 -2x 2 =-(х 3 +2х 2 ) f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

а) с осью ОХ: у=0 x 3 -2x 2 =0;

х₁=0, Х₂=2 А(0;0), В(2;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0 3 -2*0 2 =0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=0 3х 2 -4х=0;

Задача: отработка навыка работы с производной при подготовке к ЕГЭ.

Организационный момент. Постановка цели урока. Мотивация учебно-познавательной цели.
Теоретический материал по теме “Производная и её применение”.
Устная работа на вычисление производных.
Решение заданий на применение производной.
Динамическая пауза.
Самостоятельное решение типовых заданий ЕГЭ.
Подведение итогов урока.
Рефлексия.

Оборудование: Мультимедиа установка.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Постановка цели урока. Мотивация учебно-познавательной цели.

Учитель: Сегодня урок начну с одной поучительной притчи.

“Однажды молодой человек пришёл к мудрецу.

“Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь”. Но радости в моей жизни нет”, - сказал он. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, - ответил юноша. “Произнеси это пять раз”, - сказал мудрец. “Я выбираю ложку”, - сказал юноша. “Вот видишь, - сказал мудрец, повторяй хоть 1000000 раз в день, она не станет твоей. Надо. ”

Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и сегодня надо взять свои знания и применить их на практике. А вспомнить нужно всё по теме “Производная и её применения”.

2. Теоретический материал по теме “Производная и её применение”.

1) Что нужно знать для нахождения производной функции. Уравнение касательной.

Нужно знать таблицу и правила вычисления производных

Y = f (а) + f ' (а) (х-а) - уравнения касательной, где а- абсцисса точки касания, f(а) –значение функции в точке касания, f?(а)-значение производной в точке касания.

2) Физический смысл производной.

Если материальная точка движется по закону Х (t), то:

1). Производная от координаты по времени есть скорость, т.е. V (t)= Х '(t).

2). Производная от скорости – ускорение a (t) = V ' (t), то есть ускорение равно второй производной от функции a (t) = V' (t) = S'' (t).

3) Геометрический смысл производной.

Если к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то k = tg(a) = F' (x). Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной или значению производной функции в точке касания. Если угол a острый, то k = tg(a) = F' (x). Если a тупой, то a = 180-, тогда то k = tg(a) = F' (x) = - tg ()

4) Связь свойств функции с её производной.

Признак постоянства функции: Если f'(х) = 0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) постоянна.

Признак возрастания функции: Если f'(х) > 0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.

Признак убывания функции:

Если f'(х) 0; угол a тупой, то f'(х) 0,

4.3. Задания по теме “Геометрический смысл производной”.

а) Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой Хо, если

б) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке его с абсциссой Хо. f(x)=x 2 +9x, Xo=2

3 балла f(x)=-x 2 +4x, Xo=-2

а) 3	а) 1
б) y = 13x-4	б) y = 8x+4

4.4. Задание на нахождение наибольшее и наименьшее значений функции

5. Динамическая пауза.

Плотно закрывать и широко открывать глаза 4-6 раз подряд с интервалом 15 секунд.

- Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону.

- Быстро моргать в течение 1 минуты.

- Смотреть вдаль перед собой 2-3 сек. Перевести взгляд на кончик носа на 3-5 сек. Повторить 6-8 раз.

- Стоя взглянуть в правый верхний угол комнаты, затем в нижний левый 10-12 раз. Затем 10 раз движение глазами из верхнего левого в нижний правый угол комнаты.

6. Самостоятельное решение типовых заданий ЕГЭ (приложение 1).

Зам. директора по УПР

Открытый урок на тему:

Природа - это математика.

Ее спиральные туманности вдали

Рисуют траекторий графики,

А мы читаем их с Земли.

Мир математики - точный и строгий,

Романтикой функций наполнен.

В нём простые процессы природы

Оживают в симфонии формул.

с. Починки, 2020 г.

Цель – создать условия для формирования у студентов умения с помощью производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы и научиться строить графики в программе GeoGebra .

Учиться решать задачи на применение производной к исследованию функций и построения графиков.

Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью, создать условия для творческого потенциала каждого учащегося в соответствии с его интересами и способностями.

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

Оборудование и материалы: компьютеры, оценочные листы, мультимедийный проектор, презентация.

Основные этапы урока:

Приветствие. (Создание положительного эмоционального настроя на урок)

Организационный момент. (создание мотивационной базы урока)

Фронтальный опрос обучающихся.

Закрепление полученных знаний на практике.

Подведение итогов урока.

Приветствие

Здравствуйте ребята! Садитесь!

Организационный момент

Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной.

Поэтому давайте вспомним:

Признаки возрастания и убывания функции.

Какие точки называются стационарными точками?

Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма).

Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).

Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака).

Схема исследования графика функции.

Какие точки области определения функции являются критическими точками.

Например, найти производные данных функций, промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (практическая работа).

Актуализация знаний и умений.

Построение графиков функций с помощью производной точнее и быстрее, нежели по точкам. Такие графики функций используются в разных сферах нашей жизни. (Показать примеры на слайдах).

Сравнение графика функции и графика производной функции.

Творческое задание:

Помните рассказ о бароне Мюнхгаузене? Пушка стреляет под углом к горизонту. На ядре сидит барон Мюнхгаузен. Определите характер движения ядра, если V _o _у = 15 м/с, g =10м/с 2 , у₀=0.

Решение. Имеет место равноускоренное движение по закону

у( t ) =у₀+ v ₀- , у( t ) = 15 t -5 t 2

Найдем скорость v _t .

Движение совершается по параболе.

В наивысшей точке подъема V у =0, у’ ( t )=0, 15- 10 t =0, t = 1,5.

Для параболы в её вершине функция у( t ) достигает своего максимального значения.

Вопрос. Какая связь между производной и функцией?

Ответ. Когда у ‘( t ) = 0, функция принимает максимальное значение.

Закрепление полученных знаний на практике.

Исследовать функцию и построить график: .

D ( f ): х R , т.к. f -многочлен.

E ( f ): у R .

Найдем производную функции:

Найдем стационарные точки: , т.е. 6х-3х 2 =0, х=0 или х=2.

О тмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке.

- + -

0 2

II . (1) 6*1-3*1 2 =30

III . (3) 6*3-3*3 2 =-9

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.

х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.

Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

Составляем таблицу для внесения всех данных:

10. Строим график функции с помощью программы GeoGebra .

Перечерчиваем график в тетрадь.

Самостоятельная работа:

Построить графики функций, перечертить их на листочки и описать свойства:

у = х² + 2х - 3

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

3) у= 2+5х³-3

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

В программе GeoGebra построить графики функций, описать их свойства и перечертить на листочки.

у = х² - 4х + 3

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

3) у= 3 -5х³

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

Домашнее задание.

повторить правила дифференцирования;

выполнить № 928; № 929 (2);

разгадать кроссворд. (см. приложение)

ИТОГИ УРОКА:

Мы постарались привести в порядок все знания о производной функции…

Мы оценили свои умения, выработанные при её изучении,

Мы ещё раз убедились в важности изученной темы…

И доказали, что терпенье и труд….

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил …

Мне предстоит повторить …

Исследование функции с помощью производной и построение графиков функций.

Преподаватель математики

Абросимова Е.А.

Цель – с оздать условия для формирования у студентов умения с помощью производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы и научиться строить графики в программе GeoGebra .

Учиться решать задачи на применение производной к исследованию функций и построения графиков. Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность. Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью, создать условия для творческого потенциала каждого учащегося в соответствии с его интересами и способностями.

Знания имей отличные ,

Устный опрос

Признак возрастания функции.
Признак убывания функции.
Какие точки называются стационарными точками?
Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма).
Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).
Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)
Какие точки области определения функции являются критическими точками?

Построение графиков функций с помощью производной точнее и быстрее, нежели по точкам. Такие графики функций используются в разных сферах нашей жизни.

Графики роста детей

Графики на бирже

Прогноз погоды и графики

Графики функций в банках

Графики и медицина

“ Он очень мало знает, но у него положительная производная”.

Кривые роста знаний.

Сравним график функции и график её производной

Творческое задание

Помните рассказ о бароне Мюнхгаузене? Пушка стреляет под углом к горизонту. На ядре сидит барон Мюнхгаузен, решивший на ядре пролететь через стены крепости. Определите характер движения ядра, если V = 15 м/с, g = 10 м/с², у=0.

Постройте графики движения и скорости.

Имеет место равноускоренное движение по закону

у( t ) = 15 t -5 t 2

Найдем скорость v t .

Движение совершается по параболе.

В наивысшей точке подъема V у =0, у ’ ( t )=0, 15- 10 t =0, t = 1,5.

Для параболы в её вершине функция у( t ) достигает своего максимального значения.

Вопрос . Какая связь между производной и функцией?

0 , то функция возрастает, если f ’(x) , то функция убывает). Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума). Исследовать функцию на четность. (Если f(-x) = f(x) , то функция четная, если y f(-x) = -f(x) , то функция нечетная). Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат). Дополнительные точки. (Таблица) Построение графика. Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru" width="640"

Читайте также: