План урока показательная функция ее свойства и график

Обновлено: 05.07.2024

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Учитель: Игнатова Жанна Алексеевна

Класс: 10 класс

Учебник: Мордкович А. Г Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы.

Тип урока : Урок введения нового материала.

Цели урока: Сформировать понятие показательной функции. Рассмотреть свойства показательной функции. Научить строить графики показательной функции.

Задачи:

Дать понятие показательной функции и рассмотреть ее график и свойства при различных значениях

Сформировать умение построения графика показательной функции и умение читать свойства функции по графику.

Развитие познавательного интереса учащихся к предмету.

Способствовать развитию математической речи, умению наблюдать, сравнивать, делать выводы.

Способствовать развитию таких мыслительных операций, как анализ, обобщение.

Способствовать воспитанию коллективных взаимоотношений, развитию усидчивости, самостоятельности.

Вид учебного занятия: предъявление первичных знаний и формирование первоначальных навыков.

Средства обучения: компьютер, мультимедиа проектор, презентация, учебник, задачник.

Формы работы учащихся: индивидуальная, фронтальная.

Планируемые результаты: учащиеся должны знать определение показательной функции и ее свойства, уметь строить график показательной функции.

План-конспект урока

Организационный этап

Этап актуализации знаний

Для обоснования свойств показательной функции необходимо знание материала о свойствах степени. Поэтому повторение этих свойств можно провести в ходе устного выполнения следующих упражнений:

Полезно повторить с учащимися выявление свойств функции по ее графику. С этой целью, на рис. 13, можно найти:

1) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

2) координаты точки пересечения графика с осью ординат;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения;

4) промежутки возрастания (убывания) функции.

Этап мотивации к учебной деятельности.

На слайде записаны некоторые функции. Назвать все функции. Какие функции вам не знакомы? Чем они отличаются от остальных?

Этап введения нового материала

Этап формирования у учащихся представления о показательной функции. На этом этапе происходит введение понятия показательной функции, обоснование ее свойств, построение графиков и исследование поведения графиков, их особые точки.

Учитель: Сегодня мы с вами постараемся расширить понятие о степени. Вам уже известно, что наряду с рациональными числами существуют и иррациональные. Можно ли возвести число в иррациональную степень? Давайте зафиксируем некоторое неизменное число а>0, и поставим в соответствие каждому числу из множества рациональных чисел число . Тем самым мы можем говорить о функции .

Чтобы познакомиться с данной функцией и ее свойствами, учитель предлагает учащимся работу по вариантам. Первый вариант рассматривает случай при а=2. Второй вариант – случай, когда . Учащиеся должны построить графики соответствующих функций и рассмотреть их свойства.

Не является ни четной, ни нечетной;

Не ограничена сверху, ограничена снизу;

Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

Не является ни четной, ни нечетной;

Не ограничена сверху, ограничена снизу;

Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

На данное задание отводится 10-12 минут.

Итог: определение показательной функции и основные свойства.

Определение: Функцию вида , где и , называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции .

Формирование умений и навыков. Отработка изученного материала.

Первичное закрепление материала:

Задание 1 : найти показательную функцию среди предложенных графиков.

Задание 2: найти показательную функцию среди предложенных формул.

Задание 3: укажите, какие из данных функций возрастают, а какие убывают, и изобразите эскизы графиков этих функций.

Учебник : № 39.16(a, б ), 39.20(a, б ),39.21(a, б ),39.24

Проанализировать, что понравилось и не понравилось на уроке, какие задания составили затруднения, выявить причину неудавшихся упражнений.

Определение. Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

Построить графики функций: и .



График показательной функции
y = a x , a > 1	y = a x , 0 x , a > 1	y = a x , 0 0, a x > 1	при x > 0, 0 x x x > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось O_x является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях xи y;

Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.

Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).

Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).

На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).

Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).

Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).

Сделайте заключение относительно основания a, если:

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e, называется экспонентой и обозначается y = e x .

Колмогоров п. 35; № 445-447; 451; 453.

Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Образовательные: увеличить знания по теме “Показательная функция, ее свойства и график”. Формировать умение использовать знания полученные ранее.

Развивающие: формировать устойчивость внимания. Совершенствовать вычислительные навыки и словестно-логическое мышление у учащихся. Развивать память.

Воспитательные: воспитывать интерес к данному предмету.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока.

Организационный момент. (1мин.)

Проверка выполнения домашнего задания. (9мин.)

Решите уравнение:

6 b) -6 c) -14 d) 14

Решите уравнение:

20 b) -20 c) -10 d) 10

Найти функцию, обратную к функции

b) c) d)

Сравните числа и

а)= b) c)

Решите уравнение:

11 b) -11 c) -4 d) 4

Найти функцию, обратную к функции

b) c) d)

Сравните числа и

а)= b) c)

3. Объяснение нового материала. (15 мин.)

Напомним основные свойства степени

, если

Показательной функцией называется функция вида , где – заданное число, .

Примеры:

Свойства показательной функции.

Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел ()

Множество значений показательной функций множество всех положительных чисел.

Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если .

Это следует из свойств степени (8) и (9).

Пример 1. Построить графики функции и

- примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке , если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).

Функция называется монотонно убывающей на промежутке , если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Основная литература:

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Функция вида y=а х , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е_(y)=R + , или Е_(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

При a>1 функция монотонно возрастает.

6. График функции.

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N₀·a kt , N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P₀·a -kh , P– давление на высоте h, P₀ – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D₀·a kt , D– изменение количества древесины во времени, D₀ – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T₀+(100– T₀)e -kt .

5) Закон поглощения света средой: I=I₀·e -ks , s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2 х .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.

Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:

Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|

2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|0.

Читайте также: