План урока перевод чисел из одной системы счисления в другую

Обновлено: 19.05.2024

Цели: Закрепить у учащихся понятия системы счисления, классификации систем счисления; сформировать у учащихся представление о том, как могут быть связаны между собой различные системы счисления; научить учащихся переводить числа из системы счисления с одним основанием в систему с другим основанием.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

Учащиеся должны уметь:

приводить примеры различных систем счисления;
отличать позиционные и непозиционные системы счисления;
записывать числа в развернутой форме;
переводить числа из одной системы счисления в другую с использованием соответствующих алгоритмов.

У учеников формируется и развивается:

информационная компетентность;
компетентность разрешения проблем.

Презентация к уроку (приложение 2)

Ход урока

I. Постановка целей урока

На эти и другие, на первый взгляд, странные вопросы мы сможем ответить после окончания нашего урока.

II. Повторение закрепление пройденного.

На предыдущем уроке мы говорили, что система счисления - достаточно сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.

Самое главное, что нужно знать о системе счисления - ее тип: позиционная она или непозиционная. По-другому еще говорят: мультипликативная (позиционная) или аддитивная. Напомню, что в первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф "2", и в каждом случае он принимал разные значения "2000" и "20".

2 1000 + 4 100+2 10+5 = 2425

Для позиционной системы нужно знать не только изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Давайте вспомним основные понятия, полученные нами на предыдущем уроке.

Вопросы к ученикам:

Чем отличается цифра от числа?
Что такое основание системы счисления?
Кто и когда считал пятерками и дюжинами?
Какие недостатки у непозиционной системы счисления вы можете назвать?
Как записать развернутую форму числа в позиционной системе счисления?
Как перевести числа из разных систем счисления в десятичную?

III. Изучение нового материала.

Какая из всевозможных систем счисления применяется в компьютерах?

Нам с вами, конечно, наиболее привычна и понятна десятичная система счисления. И может показаться, что ни в каком случае лучше ее нет. Но не надо абсолютизировать роль десятичной системы: для некоторых применений вполне может оказаться гораздо удобнее другая система представления чисел. Это утверждение прекрасно подходит и к способу хранения чисел в ЭВМ. Какую же числовую систему удобно положить в основу компьютера? С точки зрения человека, конечно, лучше всего традиционная десятичная система. Но вот технически реализовать ее на ЭВМ крайне сложно: для хранения десятичной цифры требуется устройство с десятью устойчивыми состояниями! Разработать такую электрическую схему можно, но она будет достаточно сложной и дорогой (не забывайте, что таких элементов потребуется огромное количество!)

Итак, приходится отказаться от "милой сердцу" десятичной системы и использовать другую. Какую? Все остальные человеку одинаково непривычны, поэтому смело можно выбирать наиболее удобный с технической точки зрения вариант. Для инженеров наиболее просто реализовать двоичный элемент: включено/выключено, горит/не горит, проводит/не проводит и т.д. Кроме того, в двоичной системе наиболее просто реализуются все операции: например, двоичная таблица умножения состоит всего из четырех строк:

0 х 0 = 0
0 х 1 = 0
1 х 0 = 0
1 х 1 = 1.

Итак, в ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен – не намагничен);
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа.

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада).

IV. Закрепление пройденного.

Для закрепления материала предлагается следующие 3 задания.

Первое задание

Вид компетентности: Информационная компетентность

Аспект: планирование и поиск информации

Уровень первый: Из представленной учителем информации выбирает ту, которая необходима для решения поставленной задачи.

Вид компетентности: компетентность разрешения проблем ;

Аспект: действия по решению проблемы;

Второе задание

Вид компетентности: компетентность разрешения проблем;

Аспект: действия по решению проблемы;

Уровень третий: конструирует (создает) алгоритм действий.

Третье задание

Вид компетентности: компетентность разрешения проблем;

Аспект: действия по решению проблемы;

Уровень первый: использует предложенный алгоритм действий.

Уровень третий: применяет им же созданный алгоритм действий.

Первое и третье задание выполняются индивидуально по вариантам. Номер варианта указывает учитель. Каждое задание может быть напечатано на бумаге, и ответы можно вносить прямо в карточку, а может быть представлено на компьютере, и можно решение вносить непосредственно в таблицу текстового документа. Тексты сохраняется в индивидуальных папках учеников.

Второе задание выполняется в группах по 2 человека. Комплектование групп осуществляется по указанию учителя с возможным учетом пожеланий учеников. Результаты выполнения вносятся непосредственно в таблицу в электронном виде и тоже сохраняются в своей папке.

Дополнительные задания Д1 и Д2 предназначены для наиболее сильных учеников, которые раньше других справились со всеми тремя заданиями. Результаты - также в электронном виде.

Задание 1. Прочитайте внимательно Текст №1, приведенный ниже, и на его основе:

1.1. Сформулируйте алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в системы с другим основанием в виде:

1.2. Переведите десятичные числа в системы счисления с нужным основанием, заполнив таблицу для своего варианта.

Образовательные: Научить уч-ся переводить числа в позиционных системах счисления.

Воспитательные: развивать у учащихся стремление к активной познавательной деятельности; развивать умение работать самостоятельно и формировать навыки исследовательской деятельности.

Развивающие: воспитывать информационную культуру учащихся.

Тип урока : объяснение нового материала с выполнением самостоятельной работы.

Методы: словесный (рассказ), наглядный, диалогический, самостоятельная работа.

Двоичная, десятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Оборудование: компьютерный класс, интерактивная доска, проектор, презентация

І. Организационный момент:

Приветствие класса, контроль отсутствующих, пояснение плана урока.

II. Актуализация знаний

Что такое системы счисления?
Какие виды систем счисления вы знаете?

Позиционные и непозиционные системы счисления.

3. Какие системы счисления относятся к позиционным СС?

В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры называется РАЗРЯДОМ. Размер числа возрастает с права налево. Наиболее распространенной в настоящее время являются : десятичная, двоичная , восьмеричная и шестнадцатеричная .

4.Какие системы счисления относятся к непозиционным СС? В системе значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например в числе ХХ цифра Х встречается дважды, а в каждом случае обозначает одну и туже величину 10, а в сумме ХХ это 20.

5. Приведите примеры непозиционной системы счисления

Римская система в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

6. Ч то такое основание системы счисления?

В позиционной системе счисления основание системы равно количеству цифр , используемых ею, и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов чисел.

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

Для преобразования числа, представленные в двочной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную нужно записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из восьмеричной системы в десятичную .

Возьмем восьмеричное число 165,1 8 . Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления :

165,1 8 = 1*8 2 +6*8 1 +5*8 0 +1*8 -1 = 64+48+5+0,5=117,5 10

165,1 8 = 117,5 10

Перевод числа из двоичной системы в десятичную.

Возьмем двочное число 11,01 2 . Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

1011,01 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 +0*2 -1 +1*2 -2 =8+2+1+0,25 = 11,25 10

1011,01 2 =11,25 10

Перевод числа из шестнадцатеричной системы в десятичную .

Переведем шестнадцатеричное число 3 1D 16 в десятичную.

Запишем его в развернутой форме и произведем вычисление:

31D 16 =3*16 2 +1*16 1 +13*16 0 =768+16+13=797 10

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную .

Алгоритм перевода целого числа .

Десятичное число делится на основание системы, полученное частное снова делится с остатком. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя.
Полученные остатки записываются в обратной последовательности.

Переводем число 16 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

16 10 = x 2 = 10000 2 16 10 = x 8 = 20 8 16 10 = x 16 = 10 16

16 2

16 8 2

0 8 4 2

0 4 2 2

0 2 1

16 8

16 2

16 16

16 1

Алгоритм перевода десятичной дроби.

Десятичная дробь последовательно умножается на основание системы, а получаемая дробная часть снова умножается на основание системы. Так продолжается до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
Полученные целые части произведения записываются в прямой последовательности.

Вертикальная черта отделяет целые части от дробных частей.

0,125 10 = 0,001 2 , 0,125 10 = 0,1 8 , 0,125 10 = 0,2 16

0,125 10 = 0,001 2 = 0,1 8 = 0,2 16

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцеричную .

Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричное, необходимо его разбить по три цифры справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Перевод двоичного числа 101111 2 в восьмеричное:

1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

101111 2 57 8

Для быстрого перевода можно воспользоваться таблицей преобразования двочных групп по три цифры в восьмеричные цифры.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Цель: показать, как могут быть представлены числа в позиционных системах счисления, рассмотреть перевод целых и дробных чисел двоичной системы счисления в десятичную и обратно.

Задачи урока:

образовательные : практическое применение изученного материала, закрепление знаний о способах перевода чисел из одной системы счисления в другую.

развивающие: развитие навыков индивидуальной практической работы, умения применять знания для решения задач.

воспитательные: достижение сознательного усвоения материала учащимися.

Тип урока: комбинированный урок

Форма проведения урока : индивидуальная, фронтальная.

1. Проверка домашнего задания.

У доски ученик.

2.14. Какие числа записаны римскими цифрами:

а) МСМХС I Х; б) СМ L ХХХ V Ш; в) МСХ LVII ?

а) М(1000) СМ(1000-100) ХС(100-10) I Х(10-1) 1999;

№ 2.35 (практикум, Угринович Н.Д., стр. 46)

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

Ответ: Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.

Предложить учащимся устно перевести эту задачу в 10-ю систему счисления.

У меня 4 брата. Младшему 8 лет, а старшему 15 лет. Старший учится в 9 классе. Может ли такое быть?

Вопросы отвечающим учащимся:

Как перевести в десятичную систему дробное число? Приведите пример.

( ответ: в развернутой форме будут присутствовать степени с отрицательными показателями, например, 10,1 ₂ =1∙2 1 +1∙2 -1 =2+0,5 =2,5 ₁₀

2. Перечислите достоинства и недостатки двоичной системы счисления.

Новый материал.

1 . Свернутая и развернутая запись числа.

Любое десятичное число записано в привычной для нас форме – свернутой . Например, 555. Мы уже настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме:

Поэтому справедливы равенства (подстрочные индексы применим для указания, в какой системе счисления записано число): 555,5 ₁₀ =5  10 2 +5  10 1 +5  10 0 +5  10 -1 ; 11,01 ₂ =1  2 1 +1  2 0 +0  2 -1 +1  2 -2 . Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

В общем виде свернутая форма числа A ₁₀ , где n –количество целых разрядов, m -количество дробных разрядов:

А ₁₀ =а _n _-1 a _n _-2 … a ₀ , a _-1 …. a _- _m _.

Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

В общем виде развернутая форма числа:

А ₁₀ =а _n _-1 · 10 n -1 + a _n _-2 · 10 n -2 … a ₀ · 10 0 , a _-1 · 10 -1 …. a _– _m · 10 - m _.

1. Свернутая запись двоичного числа А ₂ =101, 01 ₂ . Запишите число в развернутой форме.

Ответ: 1) А ₂ =1 · 2 2 +0 · 2 1 +1 · 2 0 +0 · 2 -1 + 1 · 2 -2

В системе счисления с основанием P ( P -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа P , иначе говоря, P единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

В системах счисления с основанием P ( P -ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания P с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, P -1.

А _P =а _n _-1 ·P n -1 + a _n _-2 ·P n -2 … a ₀ ·P 0 , a _-1 ·P -1 …. a _– _m ·P - m _.

Задание 2: запишите число А ₈ — 673,2 ₈ , шестнадцатеричное число А ₁₆ = 8А, F _1б в развернутой форме.

Решение: А ₈ = 6 · 8 2 + 7 · 8 1 + 3 · 8 0 + 2 · 8 -1 .

А ₁₆ = 8 · 16 1 + А · 16 0 + F · 16 -1 .

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А=10, F =15), то запись числа примет вид:

А ₁₆ = 8 · 16 1 + 10 · 16 0 + 15 · 16 -1 .

Задание 3 (Угринович, стр. 92, № 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10):

№ 2.6. Записать числа 19,99 ₁₀ ,10,10 ₂ , 64,5 ₈ , 39, F ₁₆ в развернутой фор ме.

2.9. Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записаны числа 23 и 67?

Решаем самостоятельно , с последующей проверкой у доски.

2. Перевод чисел из Р-ичной системы счисления в десятичную.

В связи с использованием в компьютере 2, 8, 16, 10 систем счисления, большое значение имеет перевод чисел из системы в систему.

Над каждой цифрой числа поставить ее место (разряд) (с конца, начиная с нуля).

Каждую цифру числа умножить на основание с.сч. в степени того места. На котором оно стоит.

Перевести числа в десятичную систему счисления, а затем сравнить.

1. 1101 ₂ =1*2 3 +1*2 2 + 0*2 + 1*2 0 = 8+4+0+1=13 ₁₀

3. 2 B ₁₆ = 2*16 + B *16 0 = 32+ 11=43 ₁₀

4. 3 A ,4 ₁₆ =3*16+А*16 0 +4*16 -1 = 48+10+ ¼ =58, 25 ₁₀

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую осуществляется последовательным делением на основание системы счисления! Напомнить и привести пару примеров.

Пример 1. Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

двоичная восьмеричная шестнадцатеричная

Часть 2. Перевод чисел в системах счисления с основанием 2 n .

Табличный метод перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Создана таблица чисел в одной системе счисления и их эквивалентов в других системах.

Для перевода чисел в системах счисления с основанием 2 n используют следующее правило:

00 1 | 100 | 010 | 101 | 011 ₂ = 14253 ₈

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

Пример 2. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

двоичная восьмеричная шестнадцатеричная

Замечание: для перевода смешанных дробей: отдельно переводят целую часть, отдельно дробную и записывают общий ответ .

5. Самостоятельная работа на листочках (15 -20 минут).

Самостоятельная работа (средний уровень)

Выпишите алфавит 5-ричной системы счисления.

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа:
10, 21, 201, 1201?

В какой системе счисления справедливо равенство: 2х2=10.

Выпишите алфавит 9-ричной системы счисления.

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа:
403, 561, 666, 125?

В какой системе счисления справедливо равенство: 2х3=11.

Какое число предшествует числу 10 ₉ в 9-ричной системе счисления.

Самостоятельная работа (высокий уровень). Системы счисления: Перевод чисел.

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

Дополнительное задание:

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

Дополнительно

Практическая часть.

4.Переведите числа из 16-ой с/с в 10-ую с/с

Подведение итогов. Выставление оценок наиболее активным учащимся.

Почему человечество стремится использовать в быту, в технике позиционную систему счисления?

Как вы думаете, если бы у человека на руках было 4 пальца, в какой системе счисления мы бы считали?

Чем отличается свернутая запись числа от развернутой?

Что такое вес цифры в числе? Назовите вес цифры 1 в числах 1001 ₁₀ , 11 ₂ , 213 ₈

Цель урока: сформировать у учащихся навыки и умения переводить числа из одной системы в другую.
Задачи урока:
- учащиеся вспомнят целочисленное деление;
- учащиеся узнают правила перевода чисел из одной системы счисления в другую;
- учащиеся научатся переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую;
- учащиеся научатся переводить числа из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2n и обратно.
- учащиеся будут развивать социально-коммуникативную компетентность.
Форма работы: индивидуальная, групповая.
Программно-дидактическое обеспечение урока: ПК, программа Калькулятор.

План урока

Постановка целей урока
2. Фронтальный опрос
3. Изложение нового материала
4. Закрепление изученного
5. Рефлексия
6. Подведение итогов

Ход урока

2. Фронтальный опрос учащихся.
ВОПРОСЫ:
1.Что называют системой счисления?
Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.

2.Какие виды систем счисления вы знаете?
Позиционные и непозиционные системы счисления.

3.Приведите примеры непозиционной системы счисления
Римская система в которой в качестве цифр используются некоторые буквы: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

4.А почему она считается непозиционной системой счисления?
В системе значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ цифра Х встречается трижды, а в каждом случае обозначает одну и туже величину 10, а в сумме ХХХ это 30.

5.Какая система называется позиционной?
В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры называется РАЗРЯДОМ. Размер числа возрастает с права на лево.
Наиболее распространенной в настоящее время являются : десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

3. Изложение нового материала

Для записи любой цифры восьмеричного необходимы три двоичные цифры (триады). Поэтому преобразуемое двоичное число разделяют справа налево на группы по три двоичных цифры, при этом самая левая группа может содержать меньше трёх двоичных цифр. Например, двоичная цифра 011 есть цифра три в восьмеричной системе счисления. Затем каждую группу двоичных цифр выражают в виде восьмеричной цифры, представленной в таблице:

Например, двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 1573.
Аналогично преобразуется двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления. Преобразуемое двоичное число делят на группы по четыре двоичных цифры в каждой (тетрады), поскольку для записи любой цифры шестнадцатиричного числа необходимы четыре двоичных цифры.

Поэтому двоичное число 11 0111 1011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатеричной цифрой получить шестнадцатеричное число 37В.
Например:
1 111 101 0012=011 111 101 0012=37548

11 1110 10012=0011 1110 10012 =3Е916

Задание. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления и шестнадцатеричную.
а) 11110110011 б) 1101101001001 в) 1001101011001
г) 11011111011 д) 1010111011101 е) 1110111101011

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную.

Преобразование восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичное осуществляется простым переводом каждой цифры исходного числа в группу из трёх (триад – для восьмеричного) или из четырёх (тетрад – для шестнадцатеричного числа) двоичных цифр.
Например, 1238=001 010 0112
А1716 =1010 0001 01112
Если после перевода целая часть двоичного числа начинается с нулей, то их отбрасывают. То же самое делают с нулями в конце дробной части.

Задания.
1.Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления с помощью таблицы:
а) 3248 б) 15768 в) 37,258 г) 206,1258
2.Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления с помощью таблицы:
а) А5916 б) 8716 в) 2СЕ16 г) 1F5A16

4. Закрепление изученного.
Решим самостоятельно задачи. Раздаются карточки с заданиями по вариантам.
№1
Переведите двоичные числа:
а) 101011011; 1111110011; 100000001110 в восьмеричную систему счисления
Ответ: 533, 1763, 4016.

Читайте также: