План урока метод математической индукции

Обновлено: 02.07.2024

При изучении явлений в любой области знаний – будь, то математика или история, физика или медицина, астрономия или экономика всюду и всегда основным этапом является установление определенных закономерностей связывающих отдельные элементы изучаемого явления. Мы подмечаем определенную связь между элементами изучаемого явления справедливого для многих частных случаев, затем распространяем на все случае вообще, устанавливая тем самым общий закон, раскрывающий сущность данного явления.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Например, утверждение “Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является общим, так как относится ко всему множеству параллелограммов. В то же время утверждение “В параллелограмме ABCD диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является частным, так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

На основе частных утверждений делают некоторые предположения (гипотезы) о справедливости какого либо утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда ошибочными.

Многие свойства чисел сначала были открыты путем наблюдений, задолго до того как истинность была строго доказана.

II. Основная часть урока

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio – наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П.Ферма, проверив, что числа

, , , , простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида , простые. Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII веке Л. Эйлер нашел, что — составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой надо потом доказать.

В случае когда утверждение касается конечного числа объектов, его можно доказать, проверяя для каждого объекта.

В чем же заключается суть исследования которое позволяет доказать или опровергнуть математическое утверждение? Ответ мы найдем при разборе следующей задачи.

Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

Составим суммы одного, двух, трех, и т.д. первых членов данной последовательности:

На основе этих наблюдений мы можем высказать предположение, что

Верно ли это предположение при любом целом положительном n?

Приняв наше предположение за закон, не уподобимся ли мы тем зоологам, которые до открытия Австралии утверждали, что все лебеди на земле белые?

Лучше пойдем по иному пути в поисках общего доказательства высказанного нами утверждения.

Предположим, что формула (1) верна для n=k, где kN, то есть

Докажем ее справедливость и для числа, непосредственно следующего за k, для числа n=k+1.

Мы пришли к очень важному выводу:

Если наше предположение верно для некоторого натурального k, то оно непременно остается верным для следующего целого числа k+1.

Мы уверены, что предположение верно, для n=1,2,3,4,5. Будучи верным, для 5 оно на основе полученного вывода оно должно быть верным и для следующего целого числа 6, будучи верным, для 6 оно должно быть верным и для 7 и так далее. Предположение верно для всех натуральных чисел.

Данное решение может быть укорочено. При переходе, от какого либо произвольного натурального числа k к следующему за ним натуральному числу k+1 нужно ли проверять наше предположение для n=5,4,3,2. Достаточно быть уверенным в том, что оно справедливо для n=1. И тогда мы скажем: если предположение верно для n=1, то оно на основе доказанного верно и для n=2, если оно верно при n=2, то оно верно и для n=3 и так далее.

Решая эту задачу, мы познакомились с очень важным методом доказательства. Такой можно было бы назвать “переходом от k к k+1”, но обычно его называют методом математической или полной индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, который заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.
Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Само доказательство методом математической индукции состоит из следующих частей.

Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис).
Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.
Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

III. Закрепление материала

Применим метод математической индукции к решению следующей задачи.

Доказать, что , при n2.

Гипотеза оказалось справедливой и при n=k+1

При доказательстве гипотезы методом математической индукции очень важно выполнение всех его составляющих.

Рассмотрим следующие примеры.

Пусть при n=k утверждение верно, то есть 2k-1 четное число.
Проверим верность утверждения при n=k+1
2(k+1)-1=2k+2-1=(2k-1)+2
По предположению индукции 2k-1 четное число, следовательно число (2k-1)+2 тоже четное.
Отсутствие первого шага приводит к ошибке.

P(n)=n 2 +n+41
Этот трехчлен давал простые числа при всех значениях n от 1 до 39:
P(1)=1 2 +1+41=43;
P(2)=2 2 +2+41=47;
P(3)=3 2 +3+41=53;
…
P(39)=39 2 +39+41=1601;
P(40)=40 2 +40+41=1641=41 2 .

Обратите внимание, что отсутствие второго шага приводит к неверному результату

Метод математической индукции можно эффективно использовать для формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n, для доказательство тождеств и неравенств, задач на делимость, логических задач.

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.

Пронумеруем все рукопожатия в мире от первого (его не обязательно должны были совершить Адам и Ева) до произвольного натурального n. Очевидно, что при n=1 утверждение задачи справедливо. Предположим, что оно верно при каком-то n=k, то есть количество людей участвовавших в рукопожатиях с номерами от 1 до k и сделавших нечетное количество рукопожатий, четно.

Докажем справедливость этого утверждения для n=k+1, возможны три варианта осуществления k+1 рукопожатия: друг другу пожимают руки:

два особых человека;
два неособых человека;
один особый и один неособый человек.

В каждом из этих трех случаев количество особых людей либо уменьшается на два, либо увеличивается на два, либо неизменяется.

Утверждение доказано.

IV. Итоги урока

Метод математической индукции не дает ни каких указаний, как построить гипотезу. Вопрос о том, как возникает гипотеза, принадлежит к той области, в которой нет никаких общих правил, здесь делает свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция.

Без индукции было бы невозможно творчество ни в математике, ни в физике, ни в любой иной области науки.

“Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику” А.Н. Колмогоров

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Тема: Первые представления о методе математической индукции

Формирование у учащихся понятие о методе математической индукции, сформулировать принцип математической индукции;

Развитие умения сравнивать и обобщать, познавательные интересы учащихся;

Методы: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный, эвристический.

Формы проведения урока: устная, коллективная.

Введение новой темы;

Запись домашнего задания;

Организационный момент.

Целеполагание.

Актуализация знаний.

Введение новой темы.

У: « Все утверждения можно разделить на общие и частные.

На доске записаны утверждения. Отнесите каждое из них к общим или частным утверждениям.

«Переход от общих утверждений к частным называется дедукцией (от латинского “ deductio ”- выведение), а переход от частных утверждений к общим, называется индукцией (от латинского “ inductio ”- наведение).

Дети приводят примеры.

(Если в треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны, то в треугольнике АВС сумма двух сторон АВ и ВС больше третьей стороны АС)

Дети приводят примеры.

(Если в треугольнике АВС сумма двух сторон АВ и ВС больше третьей стороны АС, то в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны)

У: « Рассмотрим ещё один интересный пример рассуждения по индукции.

Требуется установить, что каждое чётное натуральное число в пределах от 4 до 100 можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Переберём числа и выпишем соответствующие суммы.

Назовите по порядку чётные натуральные числа, начиная с 4. (Дети называют числа, учитель выписывает)

Представьте в виде суммы двух простых чисел. (Дети предлагают варианты)

4 = 2 + 2 12 = 5 + 7 94 = 5 + 89

6 = 3 + 3 14 = 7 + 7 96 = 7 + 89

8 = 5 + 3 16 = 3 + 13 98 = 19 + 79

10 = 5 + 5 18 = 5 + 13 … 100 = 3 + 97

Эти равенства (мы выписали не все за экономией времени) показывают, что сформулированное общее утверждение верно. Итак, что мы доказали?

У: «Это, так называемая, полная индукция, когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов, перебором всех элементов.

Дети предлагают варианты, идёт обсуждение.

4 = 2 + 2 12 = 5 + 7 94 = 5 + 89

6 = 3 + 3 14 = 7 + 7 96 = 7 + 89

8 = 5 + 3 16 = 3 + 13 98 = 19 + 79

10 = 5 + 5 18 = 5 + 13. 100 = 3 +97

У: «Приведём пример.

«Гипотеза подтвердилась. Но утверждение не доказано. Как можно доказать данное утверждение? (используя формулу суммы членов геометрической прогрессии)

Суммы первых нечётных натуральных чисел:

У: «Рассмотрим другой пример.

Последовательность задана формулой .

Выпишем её первые четыре члена:

У: «Попробуем рассмотреть, например, 41-й член данной последовательности, .

Дети высказывают предложения.

У: «Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки. К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильною ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Блезу Паскалю (1623—1662) и Рене Декарту(1596—1649), а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654—1705).

Суть его заключается в следующем:

(учитель показывает на предыдущем примере)

Проверяем истинность утверждения для . Затем предполагаем, что утверждение истинно для некоторого натурального числа (опять возвращается к примеру).

В нашем случае, предполагаем, что вся последовательность состоит из простых чисел, то есть утверждение верно для некоторого . Затем доказываем, что утверждение верно и для следующего натурального числа , то есть, что вся последовательность состоит из простых чисел. Доказываем это утверждение, используя предположение.

Итак, принцип математической индукции звучит так:

Утверждение, зависящее от натурального числа n , справедливо для любого n , если выполнены два условия:

а) утверждение верно для n = 1;

Цель урока: Рассмотреть суть метода математической индукции. Научить применять его при доказательстве некоторых утверждений.

Тема: Метод математической индукции.

а) Приведите примеры утверждений.

б) Какие виды утверждений вы знаете?

(общие и частные)

в) Приведите примеры общих утверждений.

г) Приведите примеры частных утверждений.

В математике на основе частных утверждений делают некоторые предположения

О справедливости какого-либо общего утверждения. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.

Джузеппе Пеано показал, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно четырех аксиом. Так аксиома 4 у него говорит : Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказывает для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа и, следует, что она верна для всех натуральных чисел.

ПРИМЕР. Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.

Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений k:

Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1) 2 .

Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 2 2 n +1.Он показал, что первые пять числе 2 20 +1=3, 2 21 +1=5,2 22 +1=17, 2 23 +1=257, 2 24 +1=65537 – простые и сделая по индукции предположение, что для всех n числа вида 2 2 n +1- простые.

Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 2 25 +1=4294967297=641∙4700417 – составное число.

Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств называется методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1)Оно справедливо для n=1;

2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

3. Закрепление материала.

ПРИМЕР. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:

1 2 +3 2 +5 2 +…+(2n-1) 2 =

При n=1, 1 2 =

2.Пусть при n=k верно неравенство:

1 2 +3 2 +…+(2k-1) 2 =

3.Докажем верность равенству при n=k+1

1 2 +3 2 +…+ (2k-1) 2 + (2k+1) 2 = 2 =

= (2k+1)

= , ч.т.д.

ПРИМЕР. Докажите, что n 3 - n делится на 3 любых натуральных значениях n.

1.При n=1 1 2 -1=0 – делится на 3

2. Пусть при n=k (k 3 -k) – делится на 3, т.е. k 3 -k=3m

3. Докажем, что (k+1) 3 -(k+1) – делится на 3.

(k+1) 3 -(k+1)=k 3 +3k 2 +3k+1-k-1=делится на 3, т.к. делится на 3 и делится на 3, ч.т.д.

№1. Методом математической индукции докажите справедливость неравенства:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+n (n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)

№2. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Тип урока: усвоение новых знаний, комбинированный урок.

Планируемые

· изложить суть метода математической индукции;

· обеспечить в ходе урока усвоение метода математической индукции;

· познакомить с типами задач, для решения которых применяется метод математической индукции.

· формирование научного мировоззрения;

· формирование интереса к исследовательской деятельности;

· формировать умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта.

Метапредметные:

· развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

· развивать умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

· развивать умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Технологии: лекция, беседа, исследовательская работа, практикум.

Организационная структура урока:

1. Организационный этап.

2. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Первичное закрепление нового материала.

6. Практическая работа.

8. Информация о домашнем задании.

Актуализация знаний

В 9 классе мы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии, выводили формулы

n -го члена каждой из них (2 ученика у доски выводят эти формулы, записи оставить на доске).

Изучение нового материала

1. В основе каждого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждения – это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является данное утверждение, а заключительным моментом – частный результат. Таким образом, если при решении некоторого примера делаем выводы, опираясь на некоторую теорему, то это дедуктивное рассуждение.

Индуктивный метод применяется к рассуждению, при помощи которого получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений.

2. Индукция бывает полной и неполной. Полная индукция – когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов рассмотрением каждого элемента множества о отдельности. Общее же утверждение чаще относится не к конечному, а к бесконечному множеству, когда рассмотреть по отдельности каждый элемент множества невозможно. В таких случаях общее утверждение, полученное в ряде частных случаев, считается не доказанным, а угаданным, полученным неполной индукцией. Оно может быть верным, но может быть и неверным. Опираться при этом на неполную индукцию опасно, можно сделать неправильный вывод. Поэтому во многих случаях обращаются к особому методу рассуждений, который называется методом математической индукции.

3. Примером применения этого метода служит вывод формул n -го члена арифметической и геометрической прогрессий (привести пример применения метода математической индукции по записям на доске).

4. Проверим утверждение, что значения квадратного трёхчлена при всех n являются простыми числами: если n = 1, то 1 + 1 + 41 = 43

если n = 2, то 4 + 2 + 41 = 47

если n = 3, то 9 + 3 + 41 = 53

если n = 4, то 16 + 4 + 41 = 61

если n = 41, то + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1) = 41 * 43 – составное число.

Как видим, применив неполную индукцию, мы получили противоречие.

Утверждение, зависящее от натурального числа n , верно при любом n ,

если выполняются два условия:

а) утверждение справедливо при n = 1;

б) из справедливости утверждения при n = k вытекает его справедливость при n = k + 1.

Как видим, решение задачи методом математической индукции состоит из двух шагов, которые называются соответственно: а) базис индукции, б) шаг индукции.

6. Метод математической индукции применяется для следующих типов задач:

o доказательство делимости и кратности;

o доказательство равенств и тождеств;

o задачи с последовательностями;

o доказательство неравенств;

o нахождение суммы и произведения.

Первичное закрепление знаний

Задача 1. Докажите, что - 4 n + 15 делится на 15 при всех n Є N .

Задача 2. Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа истинно следующее утверждение: + + .

Задача 3. Доказать равенство + + …+ = .

Задача 4. Доказать неравенство: 2! * 4! * …*(2 n ) ! , ( 2).

Практическая работа (индивидуальные задания)

Доказать, что при каждом натуральном n число делится на b , если:

1) = + , b = 17;

2) = + , b = 133;

3) = - , b = 33;

4) = + +

5) = + -

6) = 7* + 12* , b = 19;

7) = + * , b = 19;

8) = – 18n - 9, b = 18;

9) = + 26 * + , b = 59;

10) = + 18n – 28, b = 27.

Рефлексия

1. В чём суть метода математической индукции?

2. Для какого типа утверждений применяется метод математической индукции?

Читайте также: