На какое число надо сократить дробь чтобы получилось несократимая дробь 6 класс ответ кратко
Обновлено: 02.07.2024
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Что такое "сокращение дробей"
Сократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .
Приведение дробей к несократимому виду
В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
a b = a ÷ Н О Д ( a , b ) b ÷ Н О Д ( a , b )
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
- Найти НОД числителя и знаменателя.
- Разделить числитель и знаменатель на их НОД.
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Дана дробь 182 195 . Сократим ее.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д ( 182 , 195 ) = 13
Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
Сократим дробь 2000 4400 .
Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби 20 44 делятся на 2 . Сокращаем и приходим к виду:
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
Сокращением дроби называют деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1.
2. Какую дробь называют несократимой?
Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократимая дробь?
Чтобы получилась несократимая дробь, надо разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель (НОД).
Решаем устно
1. Объясните, почему верно равенство:
1)
Равенство верно потому, что если умножить числитель и знаменатель первой дроби на число 3, то получиться вторая дробь:
2)
Равенство верно потому, что если разделить числитель и знаменатель первой дроби на число 6, то получиться вторая дробь:
2. Сколько двенадцатых частей:
1) в — три двенадцатых части, так как ;
2) в — четыре двенадцатых части, так как ;
3) в — девять двенадцатых частей, так как ;
4) в — десять двенадцатых частей, так как ;
5) в — восемнадцать двенадцатых частей, так как .
3. Сколько сотых частей:
1) в — десять сотых части, так как ;
2) в — пятнадцать сотых части, так как ;
3) в — двадцать восемь сотых частей, так как ;
4) в — двадцать шесть сотых частей, так как ;
5) в — шестьдесят две сотых частей, так как .
4. Какую часть года составляет:
Мы знаем, что всего в году 12 месяцев. Значит:
1) 1 месяц — это часть года.
2) 2 месяца — это часть года.
3) 6 месяцев — это часть года.
5. Сколько граммов составляет:
Мы знаем, что 1 кг = 1 000 грамм.
1) кг = 1 000 : 2 = 500 г;
2) кг = 1 000 : 4 = 250 г;
3) кг = 1 000 : 8 = 125 г;
4) кг = 1 000 : 5 • 2 = 200 •2 = 400 г
6. Сократимой или несократимой дробью является значение выражения ?
1) Сумма цифр числителя дроби 4 563 равна 4 + 5 + 6 + 3 = 18. Это число делится нацело на 9. Значит числитель нацело делится на 9.
2) Знаменатель дроби 10³ — 1 = 1 000 — 1 = 999. Сумма цифр этого числа 9 + 9 + 9 = 27. Значит и знаменатель нацело делится на 9.
3) Если и числитель, и знаменатель можно нацело поделить на одно и то же число, то дробь является сократимой.
Ответ: да, выражение сократимо.
Упражнения
210. Сократите дробь:
211. Сократите дробь:
212. Какие из дробей несократимы?
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 7.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 3.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 4.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
Ответ: несократимыми являются дроби: .
213. Найдите среди дробей несократимые.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 5.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 3.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 2.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
Ответ: несократимыми являются дроби: .
214. Запишите десятичную дробь к виде обыкновенной дроби и результат, если возможно, сократите:
215. Найдите среди данных дробей равные между собой. Запишите соответствующие равенства.
1)
2)
216. Найдите среди дробей равные между собой и запишите соответствующие равенства.
217. Какую часть часа составляют:
1 час = 60 минут. Значит:
1) 4 мин = часа, так как
2) 10 мин = часа, так как
3) 36 мин = часа, так как
4) 54 мин = часа, так как
5) 72 мин = часа, так как
218. Какую часть суток составляют:
1 сутки = 24 часа. Значит:
1) 3 ч = суток, так как
2) 8 ч = суток, так как
3) 12 ч = суток, так как
4) 16 ч = суток, так как
5) 21 ч = суток, так как
219. Какую часть развёрнутого угла составляет угол, градусная мера которого равна:
Развёрнутый угол составляет 180°. Значит:
1) 4° = части развёрнутого угла, так как
2) 12° = части развёрнутого угла, так как
3) 27° = части развёрнутого угла, так как
4) 126° = части развёрнутого угла, так как
5) 153° = части развёрнутого угла, так как
220. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна:
Прямой угол составляет 90°. Значит:
1) 2° = части прямого угла, так как
2) 15° = части прямого угла, так как
3) 36° = части прямого угла, так как
4) 75° = части прямого угла, так как
5) 54° = части прямого угла, так как
221. Выполните действие и сократите результат:
222. Выполните действие и сократите результат:
223. Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.
Для того, чтобы дробь со знаменателем 18 была несократимой, надо подобрать такой числитель, который будет взаимно простым числом с 18. При этом числитель должен быть меньше числа 18, чтобы дробь была правильной.
224. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.
Для того, чтобы дробь с числителем 20 была несократимой, надо подобрать такой знаменатель, который будет взаимно простым числом с 20. При этом знаменатель должен быть меньше или равен числу 20, чтобы дробь была неправильной.
225. Сократите:
226. Сократите:
227. Сократите (буквами обозначены натуральные числа):
228. Дробь сократили на 2 и получили дробь . Найдите значения x и y.
Условие задачи можно записать так:
У равных дробей числители и знаменатели равны между собой. Можно составить уравнения:
х : 2 = 2
х = 2 • 2
х = 4
6 : 2 = y
y = 6 : 2
y = 3
Ответ: х = 4, y = 3.
229. После сокращении дроби на 3 получили дробь . Найдите значения а и b.
Условие задачи можно записать так:
У равных дробей числители и знаменатели равны между собой. Можно составить уравнения:
21 : 3 = b
b = 21 : 3
b = 7
a : 3 = 4
a = 4 • 3
a = 12
Ответ: a = 12, b = 7.
Упражнения для повторения
230. Запишите, используя каждую цифру от 0 до 9 только один раз:
1) наименьшее число, кратное 2:
1 023 456 798 — Это число чётное, а значит оно кратно 2.
2) наибольшее число, кратное 18.
9 876 543 210 — Это число чётное, а значит оно кратно 2. Кроме того, сумма чисел данного числа делится на 9, то есть число кратно 9. Значит число кратно и числу 18, так как 2 • 9 = 18.
231. К какому числу надо прибавить 5,7, чтобы произведение полученной суммы и числа 3,6 было равно 120,6?
Пусть х — неизвестное число. Составим и решим уравнение:
Ответ: Неизвестное число равно 27,8.
232. Из какого числа надо вычесть 3,8, чтобы произведение полученной разности и числа 5,5 было равно 34,1?
Пусть х — неизвестное число. Составим и решим уравнение:
Ответ: Неизвестное число равно 10.
Готовимся к изучению новой темы
233. Расположите в порядке возрастания дроби:
234. Сравните:
1) , так как знаменатели дробей одинаковы, а числитель первой дроби больше, чем числитель второй дроби.
2) , так как числители дробей одинаковы, а знаменатель первой дроби больше, чем знаменатель второй дроби.
3) , так как — это правильная дробь, а правильная дробь всегда меньше единицы.
4) , так как — это неправильная дробь, а неправильная дробь может быть только больше либо равна единицы, но наша дробь не равна единице, то есть она больше 1.
5) , так как — это правильная дробь, а правильная дробь всегда меньше единицы.
6) , так первая дроби правильная, а вторая — неправильная, а правильная дробь всегда меньше неправильной.
7) , так как , а единица с правильной дробью всегда меньше, чем 2 целых.
8) , так как , а две целых с правильной дробью всегда больше, чем 2 целых.
Задача от мудрой совы
235. Из старинной книги выпала часть страниц, идущих подряд. Первая выпавшая страница имеет номер 251, а номер последней записан теми же цифрами в другом порядке. Какой номер последней выпавшей страницы?
Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.
Сократимая дробь, определение и примеры.
Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.
Например:
Докажите, что дробь \(\frac\) является сократимой.
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7
Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.
Из сократимой дроби \(\frac\) получили несократимую дробь \(\frac\).
Несократимая дробь, определение и примеры.
Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.
Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.
Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac\) является несократимой дробью.
Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac\) является несократимой.
Правило несократимой дроби.
- Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
- Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
- Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.
Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac\).
Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.
Ответ: получили несократимую дробь \(\frac\).
Неправильные сократимые и несократимые дроби.
Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:
Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac\).
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем
Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac\).
Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.
Определите сократима ли дробь \(\frac\).
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.
Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac\) б) \(\frac\) в) \(\frac\) г) \(\frac\).
Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac\) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.
б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac=\frac=\frac\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.
в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.
г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac=\frac=\frac\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.
Ответ: \(\frac\) несократимая, правильная дробь.
Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.
Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.
б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.
г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.
Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.
В этой статье коротко предоставим информацию о том, как сокращать дроби. Сначала приведем немного теоретической части, а затем подкрепим ее решением практических задач.
Что означает сократить дробь
Любая обыкновенная дробь может быть сократимой или несократимой. Последние два термина говорят сами за себя. Разность между ними состоит в том, что, несократимую дробь изменить нельзя, а сократимую можно привести к такому виду, когда числитель и знаменатель будут наименьшими, а дробь равна исходной.
Как сокращаются дроби
Чтобы сократить дробь, необходимо разделить числитель и знаменатель на некоторое положительное число, которое больше единицы. Такое число будет называться общим делителем. Например: возьмем дробь \frac < 2 > < 8 >и разделим ее числитель и знаменатель на 2. Нетрудно понять, что в итоге получим \frac < 1 > < 4 >— дробь, равную исходной:
Как привести дробь к несократимому виду
Обычно алгебраическое решение любой задачи по сокращению дробей сводится к получению равной дроби, но в несокращаемом виде. Чтобы получить несократимую дробь, ее делят на определенное число, которое называется наибольший общий делитель (сокращенно НОД):
Практически рассмотрим, используя дробь \frac < 6 > < 12 >. Ее можно сократить на НОД, который равняется 6. Тогда 6 : 6 = 1 и 12 : 6 = 2. Следовательно:
Последняя дробь является несократимой.
Следует обратить внимание, что в большинстве случаев если требуется выполнить сокращение дробей, то это значит выполнить до получения несократимой дроби.
Как сократить большую дробь
- следует найти наибольшее число, на которое делятся одновременно числитель и знаменатель;
- разделить числитель и знаменатель на это число.
В качестве нового примера возьмем дробь 144192. Сначала найдем наибольший общий делитель для чисел 144 и 192. Для этого можно применить метод разложения на простые множители:
144 : 2 = 72 192 : 2 = 96
72 : 2 = 36 96 : 2 = 48
36 : 2 = 18 48 : 2 = 24
18 : 2 = 9 24 : 2 = 12
9 : 3 = 3 12 : 2 = 6
3 : 3 = 1 6 : 2 = 3
Тогда наибольшим общим множителем для данных чисел будет число 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.
Разделив исходную дробь на 48 получим несократимую дробь:
Разберем еще один способ, который позволяет сокращать числитель и знаменатель дроби последовательно на делитель, который без труда определяется по простейшим математическим признакам. Если требуется сократить дробь типа 40008 800, то можно сразу же определить, что здесь присутствует общий множитель 100, который можно вынести за скобку:
Далее невооруженным глазом заметно, что оба числа делятся на 2, а результат опять на 2 и т. д. В конечном итоге получаем несократимую дробь \frac < 5 > < 11 >= \frac < 4000 > < 8800 >. Теперь можно сказать, что наибольшим общим делителем для данной дроби было число 800.
В заключении заметим, что если знаменатель дроби представляет собой числитель, возведенный в квадрат, то такая дробь в несокращаемом виде всегда будет представлять собой: 1 – в числителе + число, значившееся числителем до сокращения, в знаменателе:
Читайте также: