Математический анализ в школе
Обновлено: 05.07.2024
к аттестационному материалу по алгебре и началам математического анализа.
Профильный уровень.
Промежуточная годовая аттестация проводится с целью установления фактического уровня теоретических знаний учащихся по алгебре и началам математического анализа, их практических умений и навыков, установления соответствия уровня ЗУН учащихся требованиям ФКГОС за курс 10 класса по следующим разделам:
1. Рациональные уравнения и неравенства.
2. Корень степени n.
3. Степень положительного числа.
5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
6. Синус и косинус угла.
7. Тангенс и котангенс угла.
8. Формулы сложения.
9. Тригонометрические уравнения и неравенства
Аттестационный материал составлен на основе учебно-методического комплекта:
2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[С. М. Никольский, М. К. Потапов. Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - М.: Просвещение, 2012
При составлении аттестационного материала использовано методическое пособие:
1. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс: базовый и профил. уровни/ Ю. В. Шепелева - М.: Просвещение, 2012
Форма проведения промежуточной аттестации — тестирование, продолжительность — 120 минут.
Использование данной структуры аттестационного материала направлено на подготовку учащихся к государственной аттестации в форме ЕГЭ.
Работа состоит из 2-х частей:
часть 1 - 8 задания (базовый уровень) с записью правильного ответа;
часть 9 - 13 задания повышенного уровня сложности с развернутым решением.
к аттестационному материалу по алгебре и началам математического анализа для 10 б класса
Правильное решение каждого из заданий 1-8 теста оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий 9 - 13 оценивается 2 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы - 18.
Критерии оценивания второй части:
Продолжение в ссылке:
1. Действительные числа
2. Степенная функция
3. Показательная функция
4.Логарифмическая функция
5.Тригонометрические формулы, уравнения, функции
6. Производная и ее геометрический смысл
7. Интеграл
8.Комбинаторика
9.Элементы теории вероятностей
10.Статистика
Это все можно найти в учебнике "Алгебра и начало математического анализа" Алимов, Колягин 10-11 класс
Предисловие 4
§ 1. Производная 7
§ 2. Вычисление производной многочлена 13
§ 3. Максимум и минимум. Теорема Ролля и формула Лагранжа 17
§ 4. Исследование функций 23
§ 5. Производные тригонометрических функций и некоторые правила дифференцирования 30
§ 6. Неопределенный интеграл 37
§ 7. Определенный интеграл 42
§ 8. Постулат сходимости 48
§ 9. Бином Ньютона и сумма геометрической прогрессии 51
§ 10. Функция e в ст. x 54
§ 11. Функция ln х 61
§ 12. Разложение функции e в ст. x в ряд 63
§ 13. Послесловие. О теории пределов 64
Упражнения 69
Рассматриваются производные многочленов, тригонометрических функций, показательной и логарифмической функций. Интеграл определяется как операция, обратная дифференцированию, как площадь графика и как предел конечных сумм. В конце книги даются упражнения к каждому параграфу. В книге делается упор не на строгость изложения, а на вычислительную технику.
Для учащихся старших классов средней школы.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга, объемом около пяти листов, рассчитана на то, чтобы при удаче стать учебником математического анализа в средней школе. Она содержит все, что может войти в любой вариант учебной программы. Книга начинается не с определения предела и правил его вычисления. Предел трактуется в ней как нечто само собой понятное и разъясняется на определениях касательной и производной. С этого начинается книга. Далее вычисляются производные многочленов, тригонометрических функций и даются правила дифференцирования произведения и дроби, а также сложной функции. В промежутке доказываются теорема Ролля и формула Лагранжа. На основе этого изучаются функции, находятся участки возрастания и убывания, максимумы и минимумы. Интеграл определяется в трех вариантах: операция, обратная дифференцированию, площадь графика, предел конечных сумм. После этого очень тщательно изучается функция e в ст. x как предел последовательности многочленов (1+x/n) в ст. n при целом n, стремящемся к бесконечности. Вычисляются производные функций e в ст. x, ln х. В конце даются упражнения к каждому параграфу, немногочисленные, но иногда довольно трудные. В книге делается упор не на логическую строгость, но на вычислительную технику. Как популярная книга может служить для самого первоначального ознакомления с математическим анализом. Поскольку я сам никогда не преподавал в средней школе, при написании книжки я руководствовался здравым смыслом квалифицированного математика и своими личными воспоминаниями о восприятии анализа в мои школьные времена. Хотя тогда анализ не преподавали в средней школе, я еще до поступления в университет был довольно хорошо знаком с ним. Знал, что такое производная, интеграл и умел пользоваться этим аппаратом для решения задач. При этом я не имел ни малейшего представления о теории пределов. О существовании ее я узнал только в университете и был чрезвычайно этим удивлен. Я считаю, что начинать изложение анализа в средней школе с теории пределов не следует. Нужно помнить, что теория пределов исторически возникла как надстройка над уже существовавшим анализом. Тщательное изучение таких вещей, как пределы и непрерывные функции, может навести скуку и даже вызвали отвращение. Помню, как, будучи еще школьником, в каком-то курсе анализа я читал доказательство теоремы о том, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения. Это чтение вызвало у меня тогда крайнее недоумение и раздражение. Здравомыслящий человек должен воспринимать график функции как хорошо отделанный край незазубренной металлической пластинки. При таком восприятии понятия графика касательная на выпуклой его части должна восприниматься как край линейки, плотно прижатой к выпуклой части края пластины, и потому ни существование касательной, ни существование производной не должны вызывать сомнение. Точно так же не должно вызывать сомнение, что существует площадь такой пластины, и потому нет сомнения в том, что существует интеграл. Мне хотелось бы, чтобы школьник при изучении геометрии воспринимал треугольник как сделанный из тонкой металлической пластинки, так чтобы его можно было брать в руки, перекладывать на другое место и перевертывать наизнанку. Это не значит, что таково должно быть определение треугольника, но восприятие его, мне кажется, должно быть именно таким. Исходя из таких методических соображений, я начинаю изложение анализа не с определения предела, а с определения касательной и производной.
Мне кажется, что в учебную программу средней школы должны быть включены лишь сведения, изложенные в параграфах с 1 по 7. Убедительное описание функции ех, которому посвящены параграфы с 8 по 10, представляется мне чрезмерно сложным. Тем не менее, я даю его, исходя из требований программы. Точно так же, для выполнения требования учебной программы я привожу некоторые сведения о пределах и непрерывных функциях, но лишь в послесловии (§ 13).
В заключение я выражаю благодарность В. Р.- Те-леснину за большую помощь, оказанную мне при написании и редактировании книжки.
Многих матанализ пугает. Но на самом деле, если вы понимаете, что такое математическая абстракция, то матанализа не стоит бояться. Математический анализ – это просто набор абстракций чуть более высоко уровня, чем алгебра. Ну а если понятие математической абстракции вам незнакомо, можете прочесть предыдущие урок, начиная с Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция .
Итак, прежде всего, давайте ответим на вопрос: А что же такое, математический анализ? А узком смысле слова математический анализ – это анализ бесконечно малых величин. В такой анализ входят, как правило, дифференциальные и интегральные исчисления. В более широком смысле, кроме дифференциалов и интегралов, в математический анализ входит:
· Теория функций. Это о том, что такое функция вообще (точное определение), какие бывают функции, что вообще можно делать с функциями, различные свойства функций, способы приближенного вычисления функций и многое другое.
· Гармоничный анализ. Здесь задача сводиться к исследованию гармонических функций (синусоида, например). Это про ряды Фурье и прочее тому подобное.
· Теория динамических систем. Это наука о том, как изменяются во времени различные системы с взаимосвязанными элементами, особенно механические системы. Как правило, для решения таких задач как раз и используют дифференциальные уравнения.
· Эргодическая теория. Здесь можно заметить, что динамические системы с определенной вероятностью повторяют свои состояния. Такое их свойство называют эргодичностью.
· Глобальный анализ. А вот это очень абстрактная абстракция. Гораздо абстрактнее, чем дифференциальные и интегральные уравнения, ибо в глобальном анализе они представлены на многообразиях пространств и векторных расстояниях.
· Нестандартный анализ. Это альтернативная теория, в которой бесконечно малые величины – это ни какие не переменные, а особый вид чисел. Считается, что нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике.
Ну, а теперь вернемся к основам математического анализа. Начнем с функций . Классическое определение гласит, что функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу второго множества соответствует один и только одни элемент из второго множества. Что такое множество, вы может узнать здесь: Математика для чайников. Глава 7. Множества . Обычно эти множества – это множества действительных чисел (но не всегда). Функция может быть и комплексная, и векторная, и даже матричная. А вообще соответствие (функцию) можно задать на любых множествах, даже самых экзотических.
Но мы с вами поговорим о числовых функциях. В данном случае это будет просто соответствие одних чисел (аргументов) другим числам (значениям). Множество аргументов называется областью определения функции, а множество значению – областью значений функции. Функцию можно задать в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы или в виде какого-то правила. Обычно математический анализ имеет дело с функцией, заданной в виде формулы.
Другой объект, немного похожий на функции, и который тоже может встретится в матанализе - это числовая последовательность . Классическое определение последовательности такое: последовательность - это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Соответственно, в случае числовой последовательности такими объектами являться числа. Есть еще строго определение. Оно звучит так: пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.
Марнянский И. А. Элементы математического анализа в школьном курсе математики. — 1964
Марнянский И. А. Элементы математического анализа в школьном курсе математики : пособие для учителей / [науч. ред. В. Г. Ашкинузе]. — М. : Просвещение, 1964. — 144 с. — Список лит.: с. 142.
Марнянский И. А. Элементы математического анализа в школьном курсе математики. — 1964
Закладок нет. Вы можете добавить закладку, нажав на иконку в правом верхнем углу страницы.
Обложка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
Читайте также: