Какую функцию называют обратной пропорциональностью кратко

Обновлено: 05.07.2024

Сейчас мы будем говорить об обратной пропорциональности, или другими словами об обратной зависимости, как о функции.

Мы закрепим понятие функции и научимся работать с коэффициентами и графиками.

А еще мы разберем несколько примеров построения графика функции — гиперболы.

Обратная пропорциональность — коротко о главном

Определение:

Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида $ \displaystyle y=\frac+b $, где $ k\ne 0$, $ x\ne 0$ и $ x\ne а$

По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.

Область определения и область значений функции:

$ D\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$ или, что то же самое, $ D\left( y \right)=\mathbb\backslash \left\< 0 \right\>$

$ E\left( y \right)=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$ или $ E\left( y \right)=\mathbb\backslash \left\< 0 \right\>$.

График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.

Коэффициент $ \displaystyle k$

Знак коэффициента $ \displaystyle k$ влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если $ \displaystyle k>0$, то ветви гиперболы расположены в $ \displaystyle I$ и $ \displaystyle III$ четвертях;
если \( \displaystyle k

Коэффициент $ \displaystyle a$

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что $ \displaystyle a$ – это такое число, которому не может равняться $ \displaystyle x$.

То есть $ x=a$ – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции

Коэффициент $ b$

Число $ b$ отвечает за смещение графика функции вверх на величину $ b$, если $ b>0$, и смещение вниз, если \( b

Пример 2

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: $ \displaystyle ^>+4-5=0$.

Итак, получаем: $ \displaystyle ^>+4-5=\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)$, следовательно:

Пример 3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?

Наверняка в том, что в числителе у нас $ \displaystyle 2x$, а в знаменателе – просто $ \displaystyle x$.

Это не беда. Нам нужно будет сократить на $ \displaystyle \left( x+2 \right)$, поэтому в числителе следует вынести $ \displaystyle 2$ за скобки (чтобы в скобках $ \displaystyle x$ получился уже без коэффициента):

Ответ: $ \displaystyle y=2-\frac$.

График обратной пропорциональности

Как всегда, начнем с самого простого случая: $ \displaystyle y=\frac$.

Таблица обратной пропорциональности (зависимости)

$ \displaystyle \mathbf$	$ \displaystyle -3$	$ \displaystyle -2$	$ \displaystyle -1$	$ \displaystyle -0,5$	$ \displaystyle 0,5$	$ \displaystyle 1$	$ \displaystyle 2$	$ \displaystyle 3$	$ \displaystyle 4$
$ \displaystyle \mathbf$	$ \displaystyle -\frac$	$ \displaystyle -\frac$	$ \displaystyle -1$	$ \displaystyle -2$	$ \displaystyle 2$	$ \displaystyle \;1$	$ \displaystyle \frac$	$ \displaystyle \frac$	$ \displaystyle \frac$

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как?

Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.

Это график гиперболы и выглядит он так:

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям $ \displaystyle Ox$ и $ \displaystyle Oy$, но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как $ \displaystyle x\ne 0$, график не может пересекать ось $ \displaystyle Oy$. Но и $ \displaystyle y\ne 0$, так что график никогда не коснется и оси $ \displaystyle Ox$.

Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси $ \displaystyle Ox$.

А что, если функция выглядит сложнее, например, $ \displaystyle y=\frac+2$?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная $ \displaystyle y=\frac$, только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен $ x$? Правильно, $ x\ne 1$. Значит, график никогда не достигнет прямой $ x=1$.

А чему не может быть равен $ y$? Теперь $ y\ne 2$. Значит, теперь график будет стремиться к прямой $ y=2$, но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые $ x=1$ и $ y=2$ выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции $ \displaystyle y=\frac$.

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Примеры

1. На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\frac$. Определите $ k$.

2. На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\frac$. Определите $ k$

3. На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\frac$. Определите $ a$.

4. На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\frac+a$. Определите $ a$.

5. На рисунке приведены графики функций $ \displaystyle y=\frac,\text< >y=\frac$ и $ y=\frac$.

Чем старше дерево, тем оно выше. Чем медленнее темп, тем дольше идти до школы. Эти и другие процессы можно описать математическим языком в виде прямой и обратной пропорциональной зависимости. Как это делать — расскажем в этой статье.

О чем эта статья:

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
х = 1 * 30 : 12/8
х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где х – независимая переменная, а k – любое число, k≠0.

Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше мы купим тетрадей, тем меньше денег у нас останется.

Графиком функции является гипербола.

График функции при k>0:

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – в III четверти, где значения X и Y отрицательные.

График функции при k 0 при x∈(-∞;0)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. Следовательно, функция y=kx, где k 0, то график функции передвигается по оси OX влево.

Для примера возьмем уравнение y=1x+2:

0, то график функции передвигается по оси OX вправо.

Для примера возьмем уравнение y=1x-2:

Гипербола смещена на 2 вправо.

Если добавить константу b (где b любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси OY (вместе с горизонтальной асимптотой). В таком случае уравнением функции станет y=kx+b.

Если перед b стоит знак "+" (y=kx+b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вверх.

Для примера возьмем уравнение y=1x+2:

Гипербола смещена на 2 вверх.

Если перед b стоит знак "-" (y=kx-b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вниз.

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным. [1] . Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади.

Содержание

Пример

Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина весят 1,6 кг, 5 л весят 4 кг, 7 л весят 5,6 кг. Отношение массы к объёму всегда будет равно плотности:

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой [1] .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — функциональная зависимость, при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально, в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f(x) = ax,a = const

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность — это функциональная зависимость, при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

$y=\frac <k></p> <p> , k\neq 0$

Свойства функции:

См. также

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Обратная пропорциональность" в других словарях:

обратная пропорциональность — atvirkštinis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inverse proportionality vok. umgekehrte Proportionalität, f rus. обратная пропорциональность, f pranc. proportionnalité inverse, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

пропорциональность — и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь

пропорциональность — и; ж. 1) к пропорциональный 1); соразмерность. Пропорциона/льность частей. Пропорциона/льность телосложения. Пропорциона/льность представительства в парламенте. 2) матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент… … Словарь многих выражений

Прямая пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… … Энциклопедия инвестора

МИКРОФОТОГРАФИЯ — МИКРОФОТОГРАФИЯ, получение при помощи светописи изображений микроскоп. объектов, обыкновенно наблюдаемых субъективно через окуляр микроскопа. Основные достоинствам., это точность и объективность даваемых ею изображений, сравнительная быстрота и… … Большая медицинская энциклопедия

Читайте также:

\( \displaystyle \mathbf\)	\( \displaystyle -3\)	\( \displaystyle -2\)	\( \displaystyle -1\)	\( \displaystyle -0,5\)	\( \displaystyle 0,5\)	\( \displaystyle 1\)	\( \displaystyle 2\)	\( \displaystyle 3\)	\( \displaystyle 4\)
\( \displaystyle \mathbf\)	\( \displaystyle -\frac\)	\( \displaystyle -\frac\)	\( \displaystyle -1\)	\( \displaystyle -2\)	\( \displaystyle 2\)	\( \displaystyle \;1\)	\( \displaystyle \frac\)	\( \displaystyle \frac\)	\( \displaystyle \frac\)