Какой угол называется вписанным сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле кратко

Обновлено: 05.07.2024

Вписанным углом называют угол с вершиной, расположенной на окружности, и сторонами, обладающими точками пересечения с этой окружностью.

Изобразим вписанный угол ВАС, исходя из определения:

Заметим, что дуга ВLС находится во внутренней области данного угла. В таком случае принято говорить, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Меру вписанного угла определяют, как ½ дуги, на которую данный угол опирается.

Доказательство, описание 3 случаев

Запишем исходные данные для доказательства теоремы о вписанном угле. Представим, что имеется некая окружность с центром в точке О. При этом ∠ А В С является вписанным по определению. Заметим, что ⏝ А С расположена во внутренней области ∠ А В С . Требуется подтвердить справедливость следующего соотношения:

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

В процессе доказательства необходимо рассмотреть три случая.

Первый случай: совпадение луча ВО с какой-то из сторон ∠ А В С .

Предположим, что возможно совпадение ВО с ВС. Перенесем это условие на рисунок:

Заметим, что ⏝ А С меньше по сравнению с половиной окружности. По этой причине:

Объясним это равенство определением ∠ А О С , как центрального, который меньше полуокружности и равен дуге, являющейся опорой этого угла.

Заметим, что треугольник АВО является равнобедренным. Роль его основания играет АВ по равенству радиусов ОА = ОВ. В результате ∠ 1 = ∠ 2 , так как это углы, расположенные при основании.

По определению ∠ А О С является внешним углом в треугольнике АВО. Таким образом:

∠ А О С = ∠ 1 + ∠ 2 = 2 ∠ 1 .

С учетом условия ∠ А О С = ⏝ А С можно сделать следующий вывод:

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

Второй случай: с помощью луча ВО можно ∠ А В С поделить на два угла.

При этом условии луч ВО имеет с ⏝ А С точку пересечения D:

Заметим, что точка D делит ⏝ А С , получаем две дуги:

⏝ А С = ⏝ А D + ⏝ D С

С помощью BD луча ∠ А В С образует два угла, по этой причине:

∠ А В С = ∠ А В D + ∠ D В С

Ранее при рассмотрении первого случая было доказано, что:

∠ А В D = 1 2 ⏝ А D

∠ D В С = 1 2 ⏝ D С

При сложении перечисленных равенств получим, что:

∠ А В D + ∠ D В С = 1 2 ⏝ А D + 1 2 ⏝ D С

∠ А В D + ∠ D В С = 1 2 ( ⏝ А D + ⏝ D С )

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

Третий случай: не предусмотрено деление лучом ВО угла АВС на два угла. Луч ВО также не совпадает со стороной данного угла.

При этом условии луч ВС имеет точку пересечения с дугой AD. Обозначим эту точку за С:

Точка С делит ⏝ А D на пару дуг:

По этой причине:

⏝ А D = ⏝ А С + ⏝ С D

⏝ А С = ⏝ А D - ⏝ С D

Заметим, что ВС луч делит ∠ А В D . В результате получаем два угла. В таком случае:

∠ А В D = ∠ А В C + ∠ C В D

∠ А В C = ∠ А В D - ∠ C В D

Исходя из доказательства, рассмотренного в первом случае:

∠ А В D = 1 2 ⏝ А D

∠ C В D = 1 2 ⏝ С D

Отнимем из первого выражения второе:

∠ А В D - ∠ C В D = 1 2 ⏝ А D - 1 2 ⏝ С D

∠ А В D - ∠ C В D = 1 2 ( ⏝ А D - ⏝ С D )

∠ А В C = 1 2 ⏝ А С

Следствия из теоремы о вписанном угле

В том случае, когда вписанные углы опираются на одинаковую дугу, они являются равными.

Вписанный угол, который опирается на полуокружность, является прямым.

При пересечении двух хорд произведение получившихся отрезков первой хорды соответствует произведению отрезков второй хорды.

Докажем эту теорему. Изобразим для наглядности на рисунке некую окружность, построим хорды АВ и CD. При этом:

Требуется доказать, что:

А Е · В Е = С Е · D Е

Рассмотрим треугольники АDЕ и СВЕ:

Справедливость данного краткого соотношения следует из того, что эти углы являются вписанными по формулировке и опираются на одинаковую дугу BD по следствию 1 из теоремы о вписанном угле. Запишем еще одно соотношение:

Эти углы являются вертикальными, поэтому можно сделать вывод о подобии треугольников АDЕ и СВЕ с учетом признака подобия треугольников. Зная, что подобные треугольники обладают пропорциональными сходственными сторонами, запишем:

А Е С Е = D Е В Е

А Е · В Е = С Е · D Е

Угол, который расположен между касательной и хордой, проведенной в точку касания, определяют, как ½ дуги, стягиваемой данной хордой.

Докажем записанную теорему. Изобразим некую окружность с центральной точкой О и радиусом r. Введем основные обозначения:

АВ является хордой;
АС обозначает касательную;
А редставляет собой точку касания.

Заметим, что треугольник АОВ является равнобедренным. АВ представляет собой основание данного треугольника, что объясняется следующим равенством:

В результате, углы при основании равны:

В этом случае, исходя из свойства касательной:

∠ O A B = ∠ O B A = 90 ° - ∠ B A C

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника:

∠ O A B = 180 – 2 ( 90 ° - ∠ B A C ) = 180 ° – 180 ° + 2 ∠ B A C = 2 ∠ B A C

∠ B A C = 1 2 ∠ A O B .

Заметим, что ∠ A O B является центральным. По этой причине:

∠ B A C = 1 2 ⏝ А B .

Примеры решения задач

На рисунке изображены окружность с центром в точке О, угол АОВ и угол АСВ, равный 125 ° . Требуется определить, чему равна градусная мера угла АОВ.

Рассмотрим следующие дуги:

Заметим, что эти дуги дополняют друг друга, и образуется окружность. Таким образом:

⏝ A C B + ⏝ A K B = 360 °

Заметим, что ∠ A C B является вписанным и опирается на ⏝ A K B . В результате:

⏝ A K B = 2 ∠ A C B = 2 · 125 ° = 360 °

⏝ A C B = 360 ° – 250 ° = 110 °

Заметим, что ∠ A O B является центральным и опирается на ⏝ A C B . По этой причине:

∠ A O B = ⏝ A C B = 110 °

Дана окружность с центром в точке О. На этой окружности отмечены точки C и D так, что они расположены с одной стороны от диаметра окружности АВ. Градусная мера ∠ B C D составляет 34 ° . Нужно определить, чему равен ∠ A B D .

Проведем отрезок через точки А и D:

Если рассмотреть треугольник ABD, то можно заметить, что:

∠ A B D = 90 ° , так как является вписанным и опирается на диаметр;

∠ B A D = ∠ B C D , так как это вписанные углы, которые опираются на одинаковую ⏝ B D .

Зная, что в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 ° , запишем следующее выражение:

∠ A B D = 90 ° - ∠ B A D = 90 ° - 34 ° = 56 °

Изображена окружность с центром О. Диаметры этой окружности обозначены, как AF и BC. Точки С и К расположены с одной стороны относительно диаметра AF. Градусная мера углов составляет:

Требуется определить градусную меру угла ∠ B C K .

Построим два отрезка KC и AC:

Заметим, что в треугольнике АВС имеется вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр этой окружности, то есть:

Зная, что острые углы в прямоугольном треугольнике в сумме дают 90 ° , запишем:

∠ A C B = 90 ° - ∠ A B C = 90 ° - 62 ° = 28 °

Углы ∠ A C K и ∠ A E K являются вписанными и опираются на одну дугу, поэтому:

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Угол и окружность: на первый взгляд — ничего общего. Давайте разберемся, что же такого привлекательного в этих углах, что окружность все время позволяет им вписываться.

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

В этом уроке мы выясним, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой. Также узнаем, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Теорема о вписанном угле"

С прошлых уроков вы уже знакомы с понятиями дуга, полуокружность, центральный угол (это угол с вершиной в центре окружности). Вы уже знаете, что градусная мера дуги, не большей полуокружности, равна градусной мере центрального угла, который опирается на данную дугу.

Сегодня мы будем говорить о вписанном угле.

Это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

В данном случае изображён вписанный угол ABC, вершина B лежит на окружности. Дуга AC находиться внутри данного вписанного угла. Говорят, что угол ABC опирается на дугу AC.

Запишем теорему о вписанном угле.

Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.