Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством кратко

Обновлено: 28.06.2024

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах. Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Связь между sin и cos одного угла

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .

Пусть даны координаты точки А ( 1 , 0 ) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты ( cos α , sin α ) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами ( 1 , 0 ) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 ( х , у ) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н . По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Из определения синус является ординатой у , а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

c t g α = x y = cos α sin α .

Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

Там, где заканчиваются границы привычной и давно знакомой алгебры, начинаются владения тригонометрии. Давайте вооружимся всеми необходимыми формулами, чтобы в полном обмундировании преодолеть любые тригонометрические испытания.

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Синус угла — это ордината y.
Косинус угла — это абсцисса x.
Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg 2 α = .
Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

В данном видеоуроке мы вспомним основное тригонометрическое тождество, а также зависимость между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом, тангенсом и косинусом. Скажем, какое равенство называют тождеством. Поговорим о способах доказательства тождеств.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Тригонометрические тождества"

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что основным тригонометрическим тождеством называют равенство: .

Следующими формулами можно записать зависимость между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом, тангенсом и косинусом: , , , , , .

Докажем с вами, что при , где , справедливо равенство: .

Доказательство. Мы с вами знаем, что по определению . В левой части равенства запишем как : [приведём слагаемые к общему знаменателю ] [по основному тригонометрическому тождеству числитель равен ] . Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой.

Так как делить на нуль нельзя, то , то есть , где .

Равенство показывает нам зависимость между котангенсом и синусом.

Запомните! Равенство , справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв (то есть таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Доказанное тождество называют тригонометрическим тождеством.

Всегда ли при доказательстве тригонометрических тождеств нужно указывать допустимые значения углов? При доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении тригонометрических выражений чаще всего не указывают допустимые значения углов, если это не требуется в условии задачи.

Давайте докажем вот такое тождество: .

Доказательство. Запишем правую часть нашего тождества: [применим формулу разности квадратов] [по основному тригонометрическому тождеству выражение во вторых скобках равно ] .

Получается, что мы доказали данное тождество, преобразовав его правую часть к левой? Верно.

Докажем следующее тождество: .

Чтобы доказать это тождество, мы докажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю. Итак, запишем разность его левой и правой частей: [так как , а , то запишем в наше выражение вместо и эти отношения] [приведём дроби в знаменателе первого слагаемого к общему знаменателю. Затем приведём к общему знаменателю дроби в знаменателе второго слагаемого] [в первом слагаемом разделим единицу на дробь в знаменателе. Во втором слагаемом разделим выражение в числителе на дробь в знаменателе] [по основному тригонометрическому тождеству знаменатель первого слагаемого равен . Во втором слагаемом сократим числитель и знаменатель на ] . Таким образом, мы получили разность, которая равна нулю, то есть доказали наше тождество.

И докажем вот такое тождество: .

Доказательство. Преобразуем левую часть данного тождества. . Тогда : [теперь приведём это выражение к общему знаменателю ] [вынесем в числителе ] [из основного тригонометрического тождества следует, что . Тогда подставим в наше выражение вместо ] [выполним умножение в числителе] .

Теперь преобразуем правую часть нашего тождества. Здесь также : [выполним умножение] .

Таким образом, мы получили, что левая и правая части нашего тождества равны одному и тому же выражению. А значит, тождество доказано? Да, данное тождество доказано.

Итак, вы, наверное, обратили внимание, что при доказательстве тождеств мы с вами применяли следующие способы: преобразование левой части тождества к правой. И, наоборот, преобразование правой части тождества к левой. Установление того, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению.

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Докажите тождество: .

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла справедливо:

$<<\sin > ^>\alpha +^>\alpha =1$

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол , тогда _>=OB" width="139" height="15" />
, а _>=AB" width="135" height="16" />
. В , как радиус единичной окружности. Так как треугольник прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:

$O ^>+A^>=A^>$

Учитывая, что и , получаем

$<<\sin > ^>\alpha +^>\alpha =1$

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\sin > ^>\alpha >; \qquad \sin \alpha =\pm \sqrt^>\alpha >$

Но для определения знака искомой тригонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол ).

Следствие 2. Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.

1. Пусть +\pi n, \quad \left( n\in Z \right)" width="185" height="20" />
тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на ^>\alpha" width="45" height="16" />
:

$\frac<<<\sin > ^>\alpha >^>\alpha >+\frac^>\alpha >^>\alpha >=\frac^>\alpha >$

после преобразования получим

$<\text<tg> >^>\alpha +1=\frac^>\alpha >$

$<<\sin > 2. Пусть тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на ^>\alpha$
:

$\frac ^>\alpha >^>\alpha >+\frac^>\alpha >^>\alpha >=\frac^>\alpha >$

после преобразования получим

$1+<\text<ctg> >^>\alpha =\frac^>\alpha >$

Примеры решения задач

Задание	Найти значение , если $\sin \alpha =\frac<3>$ и
Решение	По следствию 1 из основного тригонометрического тождества имеем

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\sin > ^>\alpha >$

$\sin \alpha =\frac<3> Подставляя в эту формулу заданное значение$
, получаем

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\left( \frac<3> \right)>^>>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac$

Далее для определения знака косинуса, используем дополнительное условие, что . Значит, угол находится в первой четверти тригонометрического круга (рис. 2), а здесь . Таким образом, окончательно получим

$\cos \alpha =\frac<4> $

Задание	Найти значение , если $\cos \alpha =-\frac<1>$ и
Решение	По следствию 1 из основного тригонометрического тождества, для нахождения синуса справедлива формула

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-<<\cos > ^>\alpha >$

$\cos \alpha =-\frac<1> Подставляем в неё заданное значение$
, получим

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-<<\left( -\frac<1> \right)>^>>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac<2\sqrt>$

Далее для определения знака искомого значения синуса, воспользуемся дополнительным условием о расположении угла: . Угол лежит во второй четверти тригонометрического круга (рис. 3), поэтому углу соответствуют только положительные значения синуса, поэтому окончательно:

$\sin \alpha =\frac<2\sqrt<2> >$

Задание	Вычислить и , если $\text<tg>\alpha =3$ и
Решение	По следствию 2, тангенс и косинус одного и того же угла связаны соотношением:

$<\text<tg> >^>\alpha +1=\frac^>\alpha >$

Выразим из него косинус:

$<<\cos > ^>\alpha =\frac>^\alpha +1>$

$\text<tg> Подставляя в это равенство заданное значение \alpha =3$
, получим

$<<\cos > ^>\alpha =\frac^>+1>=\frac\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha =\pm \frac<\sqrt>$

По первому следствию из основного тригонометрического тождества

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-<<\cos > ^>\alpha >$

$\sin \alpha =\pm \sqrt<1-\frac<1> >=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac<\sqrt>$

Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Так как , следовательно, угол лежит в третьей четверти (рис. 4), там косинус и синус отрицательные. Тогда окончательно, получим

$\cos \alpha =-\frac<1> >; \text < >\sin \alpha =-\frac>$

Задание	Вычислить и $\text<tg>\alpha$ , если $\text<tg>\alpha =-\frac$ и
Решение	Сразу можно найти тангенс:

$\text \alpha =\frac\alpha >\quad \Rightarrow \quad \text\alpha =\frac>=-\frac$

По следствию 2 из основного тригонометрического тождества, котангенс и синус связаны соотношением:

$1+<\text<ctg> >^>\alpha =\frac^>\alpha >$

Выразим из него синус:

$<<\sin > ^>\alpha =\frac>^\alpha +1>$

$\text<ctg> Подставляя в это равенство, заданное значение \alpha =-\frac$
, получим

$<<\sin > ^>\alpha =\frac<<<\left( -\frac<5> \right)>^>+1>=\frac+1>=\frac=\frac$

$\sin \alpha =\pm \sqrt<\frac<144> >=\pm \frac$

По первому следствию из основного тригонометрического тождества,

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-<<\sin > ^>\alpha >$

$\cos \alpha =\pm \sqrt<1-\frac<144> >=\pm \sqrt>=\pm \sqrt>=\pm \frac$

Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Угол лежит в пределах , следовательно, он принадлежит четвертой четверти (рис. 5), там косинус положительный, а синус отрицательный. Окончательно, получим

$\sin \alpha =-\frac<12> ; \qquad \cos \alpha =\frac$

Основное тригонометрическое тождество, так же используется при тождественных преобразованиях.

Задание	Вычислить $^>\alpha +^>\alpha \cdot ^>\alpha -^>\alpha$
Решение	Сгруппируем первые два слагаемые заданного равенства и вынесем за скобки общий множитель $^>\alpha$ :

$ ^>\alpha +^>\alpha \cdot ^>\alpha -^>\alpha =^>\alpha \cdot \left( ^>\alpha +^>\alpha \right)-^>\alpha$

полученное выражение в скобках есть основное тригонометрическое тождество и равно 1:

$ ^>\alpha +^>\alpha \cdot ^>\alpha -^>\alpha =^>\alpha \cdot 1-^>\alpha =0$

Читайте также: