Какими рекуррентными соотношениями определяются прогрессии кратко

Обновлено: 05.07.2024

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

1; 2; 3; 4; .
15; 20; 25; 30; .
$\sqrt;\ 2\sqrt;\ 3\sqrt;. $

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число.

Судите сами. Первый набор — это просто идущие подряд числа, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Во втором случае разница между рядом стоящими числами уже равна пяти, но эта разница всё равно постоянна. В третьем случае вообще корни. Однако $2\sqrt=\sqrt+\sqrt$, а $3\sqrt=2\sqrt+\sqrt$, т.е. и в этом случае каждый следующий элемент просто возрастает на $\sqrt$ (и пусть вас не пугает, что это число — иррациональное).

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется . Сама величина, на которую отличаются числа, называется и чаще всего обозначается буквой $d$.

Обозначение: $\left( > \right)$ — сама прогрессия, $d$ — её разность.

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Во-вторых, сама последовательность может являться как конечной, так и бесконечной. К примеру, набор — это, очевидно, конечная арифметическая прогрессия. Но если записать что-нибудь в духе — это уже бесконечная прогрессия. Многоточие после четвёрки как бы намекает, что дальше идёт ещё довольно много чисел. Бесконечно много, например.:)

Ещё хотел бы отметить, что прогрессии бывают возрастающими и убывающими. Возрастающие мы уже видели — тот же набор . А вот примеры убывающих прогрессий:

49; 41; 33; 25; 17; .
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; .
$\sqrt;\ \sqrt-1;\ \sqrt-2;\ \sqrt-3;. $

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

, если каждый следующий элемент больше предыдущего;
, если, напротив, каждый последующий элемент меньше предыдущего.

Остаётся лишь один вопрос: как отличить возрастающую прогрессию от убывающей? К счастью, тут всё зависит лишь от того, каков знак числа $d$, т.е. разности прогрессии:

Если $d \gt 0$, то прогрессия возрастает;
Если $d \lt 0$, то прогрессия, очевидно, убывает;
Наконец, есть случай $d=0$ — в этом случае вся прогрессия сводится к стационарной последовательности одинаковых чисел: и т.д.

Попробуем рассчитать разность $d$ для трёх убывающих прогрессий, приведённых выше. Для этого достаточно взять любые два соседних элемента (например, первый и второй) и вычесть из числа, стоящего справа, число, стоящее слева. Выглядеть это будет вот так:

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется , поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.

Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n \lt 15\frac$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $n\in \mathbb$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.

Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Рассмотрим несколько последовательных членов возрастающей арифметической прогрессии $\left( > \right)$. Попробуем отметить их на числовой прямой:

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

Однако эти равенства можно переписать иначе:

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Что это значит для нас? Это значит, что можно найти $>$, если известны числа-соседи:

Мы вывели великолепное утверждение: всякий член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов! Более того: мы можем отступить от нашего $>$ влево и вправо не на один шаг, а на $k$ шагов — и всё равно формула будет верна:

Задача №6. Найдите все значения $x$, при которых числа $-6^>$, $x+1$ и $14+4^>$ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Поскольку указанные числа являются членами прогрессии, для них выполняется условие среднего арифметического: центральный элемент $x+1$ можно выразить через соседние элементы:

\[\begin & x+1=\frac<-6^>+14+4^>>; \\ & x+1=\frac<14-2^>>; \\ & x+1=7-^>; \\ & ^>+x-6=0. \\ \end\]

Получилось классическое квадратное уравнение. Его корни: $x=2$ и $x=-3$ — это и есть ответы.

Ответ: −3; 2.

Задача №7. Найдите значения $$, при которых числа $-1;4-3;^>+1$ составляют арифметическую прогрессию (в указанном порядке).

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

\[\begin & 4x-3=\frac+1>; \\ & 4x-3=\frac<^>+x>;\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=^>+x; \\ & ^>-7x+6=0. \\ \end\]

Снова квадратное уравнение. И снова два корня: $x=6$ и$x=1$.

Ответ: 1; 6.

Допустим, в задаче №6 мы получили ответы −3 и 2. Как проверить, что эти ответы верны? Давайте просто подставим их в исходное условие и посмотрим, что получится. Напомню, что у нас есть три числа ($-6^>$, $+1$ и $14+4^>$), которые должны составлять арифметическую прогрессию. Подставим $x=-3$:

Получили числа −54; −2; 50, которые отличаются на 52 — несомненно, это арифметическая прогрессия. То же самое происходит и при $x=2$:

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

1. Рекуррентное соотношение an = an 1 + 2 вкупе с условием a1 = 1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2: 1, 3, 5, 7, . Это последовательность нечетных чисел.
2. Рекуррентное соотношение an = 2an 1 совместно с условием a1 = 1 задает геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2: 1, 2, 22, 23, . Это последовательность ступеней двойки, начиная с нулевой ступени.
Кстати, время от времени члены последовательности удобно нумеровать с нуля, или вообще избирать иной способ нумерации.
3. Рекуррентное соотношение an = an 1 + an 2 вкупе с условием a0 = 0, a1 = 1 задает последовательность чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .

Вопрос по математике:

Какими рекуррентными соотношениями определяются прогрессии

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!

07.03.2015 14:21
Математика
remove_red_eye 10063
thumb_up 26

Ответы и объяснения 1

1. Рекуррентное соотношение an = an – 1 + 2 вместе с условием a1 = 1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2: 1, 3, 5, 7, … . Это последовательность нечетных чисел.
2. Рекуррентное соотношение an = 2an – 1 вместе с условием a1 = 1 задает геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2: 1, 2, 22, 23, … . Это последовательность степеней двойки, начиная с нулевой степени.
Кстати, иногда члены последовательности удобно нумеровать с нуля, или вообще выбирать другой способ нумерации.
3. Рекуррентное соотношение an = an – 1 + an – 2 вместе с условием a0 = 0, a1 = 1 задает последовательность чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … .

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

где – функция, с помощью которой можно вычислить все члены последовательности с заданными первыми элементами .

Последовательность , получаемая с помощью соотношения (1), называется рекуррентной (recurrere (лат.) – возвращаться).

Примеры. 1) Соотношение определяет арифметическую прогрессию с разностью и с начальным членом a.

2) Соотношение a_n₊₁=a_n×q определяет геометрическую прогрессию со знаменателем q¹0 и с начальным членом a₀.

3) Соотношение a_n₊₂=a_n+a_n₊₁ с начальными элементами a₀=a₁=1 задает последовательность Фибоначчи.

Число новорожденных пар равно числу кроликов два месяца назад (a_n). Чтобы получить число кроликов в этом месяце (a_n₊₂), надо к этому числу прибавить число кроликов месяц назад (a_n₊₁). Следовательно, последовательность чисел пар кроликов по месяцам определяется соотношением a_n₊₂=a_n+a_n₊₁ с начальными элементами a₀=1 и a₁=1.

Месяц

Число пар кроликов через месяц

Тема: рекуррентные соотношения

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение рекуррентного соотношения. Примеры.

2. Общие и частные решения рекуррентных соотношений.

3. Линейные рекуррентные соотношения.

4. Производящие функции.

Краткое содержание лекционного материала

1. Определение рекуррентного соотношения. Примеры. Рекуррентным соотношением (или рекуррентной формулой) называется соотношение вида

Примеры. 1) Соотношение определяет арифметическую прогрессию с разностью и с начальным членом a.

2) Соотношение a_n₊₁=a_n×q определяет геометрическую прогрессию со знаменателем q¹0 и с начальным членом a₀.

3) Соотношение a_n₊₂=a_n+a_n₊₁ с начальными элементами a₀=a₁=1 задает последовательность Фибоначчи.

Читайте также: