Какие задачи называют комбинаторными кратко

Обновлено: 06.07.2024

Тип урока: урок-введение нового материала с использованием электронных образовательных ресурсов, 1 урок в теме “Введение в комбинаторику”.

Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, ноутбуки.

Организационный этап. Здравствуйте, ребята. Сегодня урок мне хотелось бы начать со слов Владимира Мономаха “Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь…” (слайд 2). А знаете ли вы, кто такой Владимир Мономах? Владимир Всеволодович Мономах (1053–1125) – полководец и государственный деятель Древней Руси, князь смоленский (с 1073 г.), черниговский (с 1078 г.), переяславский (с 1094 г.), великий князь киевский (с 1113 г.)

Этап актуализации знаний учащихся. А чему мы будем учиться на уроке, узнаем чуть позже. А прежде, проверим свою грамотность, повторив правописание некоторых математических терминов.

Вам нужно вставить пропущенные буквы в следующие слова:

Последнее слово оказалось для вас новым. Вот сегодня на уроке мы с вами и познакомимся, что такое комбинаторика и какие задачи называют комбинаторными. Запишем тему урока “Введение в комбинаторику”.

Этап введения новой информации. (слайд 4). Рассмотрим задачу. К колодцу ведут три тропинки. Сколькими способами можно пройти к колодцу и вернуться обратно?

Задачи, содержащие вопросы типа: “Сколькими способами?”, “Сколько всего существует вариантов” называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся комбинаторными задачами, называется комбинаторика. Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.

С комбинаторными задачами (слайд 5) люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умение планировать, рассчитывать свои действия, продумывать различные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона. А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Термин “комбинаторика” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”. Термин “комбинаторика” был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем.

Долгие времена комбинаторика развивалась в недрах арифметики, геометрии, алгебры. Однако как ветвь математики комбинаторика возникла только в XYII в. А толчком к этому послужили азартные игры, прежде всего игра в кости. (Два или три кубика с нанесенными на них очками выбрасывали на стол, и выигрывал тот, у кого сумма очков оказывалась больше).

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованию математиков. Еще одна причина – тайна переписки. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами ученые. Изобретались все более и более сложные шифры, а для кодирования и расшифровки информации привлекались математики. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с появлением компьютеров.

А теперь, ребята, давайте вместе с вами попробуем решить комбинаторную задачу (слайд 6). Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг? (Ребята пытаются подсчитать количество стран). При переборе всех возможных вариантов, нарисовав флаги, мы получили количество, равное -6. Значит, 6 стран, могут использовать свою символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг (слайд 7). Давайте попробуем изобразить наше решение с помощью дерева вариантов (слайд 8). (Учащиеся строят дерево вариантов в тетрадях). А есть ли среди полученных флагов флаг нашей страны? (Да, синий-белый-красный)

Этап первичного закрепления материала. Рассмотрим задачу № 2 (слайд 9). Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8? Пожалуйста, проиллюстрируйте свой ответ, построив дерево возможных вариантов. (Работают индивидуально в тетрадях, один ученик у доски). Ответ – 20 чисел (слайд 10).

Физминутка. Мы с вами немного подустали, настало время отдохнуть (слайд 11).

Мы руками хлоп, хлоп,
Мы ногами топ, топ,
Мы глазами миг, миг,
Мы плечами чик, чик.
Раз – сюда, два – туда,
Повернись вокруг себя.
Раз – присели, два – привстали,
Сели – встали, сели – встали,
И подскоки делать стали.
Снова выстроились в ряд
Будто вышли на парад.
Раз – два, раз – два,
Заниматься нам пора!

Во всех предложенных задачах (слайд 12) для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на “дерево возможных вариантов”). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления. Мы с вами рассмотрим одно из таких правил – правило умножения.

Если некоторое действие можно осуществить а различными способами, после чего другое действие можно осуществить в различными способами, то два этих действия вместе можно осуществить а*в различными способами.

Используя это правило, давайте решим следующие задачи.

Этап применения полученных знаний в стандартных или новых ситуациях. Задача № 3 (слайд 13). В 5а классе в четверг 4 урока: математика, ОБЖ, природоведение и физкультура. Сколько можно составить вариантов расписания на четверг? (Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях). 4 . 3 . 2 . 1=24

Задача № 4 (слайд 14, работают самостоятельно). “Вороне где-то бог послал кусочек сыру”, а также брынзы, колбасы, белого и черного хлеба. “На ель ворона взгромоздясь, позавтракать было совсем уж собралась…”, да призадумалась: “Сколькими способами можно составить бутерброд из этих продуктов?”. Ответ 6.

Далее продолжим нашу работу на ноутбуках. Будете работать парами. Предлагаю вашему вниманию Практический модуль № 1, который содержит 3 задачи. (Работают самостоятельно, учитель оказывает помощь, анализирует результаты работы учащихся)

№ 1. Из города А в город В ведут 33 дороги, а из города В в город С – 22 дороги. Сколько есть различных маршрутов поездки из города А в город С через город В? (33 . 22=726)

№ 2. Человек идет по городу. Подходя к каждому перекрестку, он имеет три варианта продолжения пути. Сколько разных маршрутов он может пройти, если он пересекает 10 перекрестков? (3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=59049)

Этап формулирования выводов урока. Настало время подвести итоги нашей работы.

Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Какие задачи называются комбинаторными?

Какие способы решения комбинаторных задач вы узнали на уроке?

Сформулируйте правило умножения для комбинаторных задач.

Выставление оценок учащимся.

Рефлексия. У вас на партах лежат геометрические фигуры. Если вам урок понравился, то положите на мой стол круг, если не очень - квадрат, ну а если вам было неуютно - треугольник.

Спасибо всем. Благодарю за внимание!

Приложение 1

Карточка для домашнего задания.

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

3. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Комбинаторными задачами называют такие задачи, решение которых заключается в формулировке неких комбинаций из ряда элементов, отобранных в зависимости от определенных условий, или в подсчете количества таких комбинаций.

К типичным комбинаторным задачам можно отнести следующие:

определение числа конфигураций методами комбинаторики, соответствующими конкретным правилам, к примеру, доказательство или опровержение существования подобных комбинаций;
поиск применимого на практике алгоритма для построения комбинаций;
формулировка свойств, которыми обладает какой-либо класс комбинаторных комбинаций.

В процессе решения задач по комбинаторике требуется применять разные модели конфигураций. Наглядными примерами комбинаторных конфигураций являются:

Размещение из n компонентов по k — в виде упорядоченного комплекса из k неких компонентов какого-то n-элементного множества.
Перестановка из n элементов (например, чисел 1, 2, … n) в виде какого-то упорядоченного комплекса данных компонентов. Под перестановкой, кроме прочего, понимают размещение из n элементов по n.
Сочетание из n по k является набором k компонентов, отобранных из неких n компонентов. Комплексы, которые обладают идентичным порядком следования компонентов и могут отличаться в зависимости от состава, называют одинаковыми. Данное условие выражает отличие между сочетанием и размещением.
Композиция числа n представляет собой любую запись n, как упорядоченную сумму, в состав которой включены числа больше нуля из множества целых чисел.
Разбиение числа n выражает любую запись n, как неупорядоченную сумму, состоящую из чисел больше нуля из множества целых чисел.

Приведем несколько примеров комбинаторных задач:

Найти количество методов, с помощью которых можно расположить n вещей по m полкам, чтобы удовлетворить условиям определенного ограничения.
Определить число существующих функций F из m-элементного множества в n-элементном, которые соответствуют неким ограничениям.
Найти количество разнообразных способов перестановок карт в колоде из 52 штук.
Описана ситуация игры в кости. После подбрасывания пары костей выпавшие цифры суммируются. Нужно вычислить количество комбинаций, в которых цифры на верхних гранях костей в сумме равны числу 12.

Общее понятие комбинаторики, история создания, разделы

Комбинаторика представляет собой математический раздел, в рамках которого решают задачи на выбор и расположение элементов, составляющих какое-то множество согласно неким условиям.

При работе с комбинаторными задачами используют ряд правил. С их помощью можно определить какую-то выборку из компонентов начального множества. Такая подборка носит название комбинаторной конфигурации. Наиболее простыми примерами служат:

перестановка;
сочетание;
размещение.

Комбинаторика обладает связями с разными научными математическими направлениями, в том числе такими, как алгебра, геометрия, теория вероятности, теория чисел. Принципы комбинаторики применимы в разных сферах знаний, включая генетику, информатику, статистику, статистическую физику, лингвистику.

Формулы для аппроксимации факториала, которые позволяют связать между собой принципы математического анализа и комбинаторики, были выведены Абрахамом де Муавром и Джеймсом Стирлингом. Окончательно наука в качестве отдельного раздела сформировалась в трудах Эйлера. Фундаментом для развития комбинаторики считают научные труды Паскаля, Ньютона, Якоба Бернулли и Эйлера.

С помощью исследований Дж. Дж. Сильвестра (конец XIX века) и Перси Макмэна (начало XX века) сформированы основные положения перечислительной и алгебраической комбинаторики. Большую ценность для науки представляла Теория графов.

Благодаря стремительному развитию дискретной математики, информатики, кибернетики и планирования эксперимента во второй половине ХХ века, комбинаторика пополнилась новыми идеями. С ХХ века развивалась комбинаторная геометрия, что сопровождалось доказательством теорем Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, изопериметрической теоремы. Теория Рамсея была сформулирована в 1940-х годах.

Способы решения комбинаторных задач, схема

Комбинаторные задачи решают следующими методами:

способ перебора;
дерево вероятных вариантов;
комбинаторный принцип умножения.

Когда существуют взаимно исключающие друг друга действия А и В, и действие А допустимо реализовать m способами, а В — n способами, для выполнения одного из рассматриваемых действий предусмотрено (n + m) способов.

Рассмотрим пример. Допустим, что в состав класса входят 16 мальчиков и 10 девочек. Необходимо определить число методов для назначения одного дежурного.

Заметим, что роль дежурного может исполнять и мальчик, и девочка. Согласно правилу суммы:

Таким образом, определить дежурного можно каким-либо из 26 способов.

Правило произведения: когда необходимо выполнить k действий в определенной последовательности, при условии, что для первого действия предусмотрено n1 способов, для второго — n2 способов, для третьего — n3 способов и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий совместно можно реализовать следующим числом способов:

N = n 1 · n 2 · … · n k

Рассмотрим предыдущую задачу. Попробуем рассчитать количество способов для назначения двух дежурных.

Первого дежурного допустимо назначить одним из 26 методов. Второго дежурного получится выбрать с помощью 25 способов. Согласно теореме умножения, двух дежурных можно выбрать следующим количеством способов:

Поиск числа сочетаний без повторений является типичной задачей комбинаторики.

Сочетание с повторениями. Количество способов, с помощью которых получится отобрать m из n разных предметов:

C n m = n ! m ! ( n - m ) !

Попробуем решить следующую задачу. Представим, что нужно упаковать для подарка 4 книги из 10 имеющихся в наличии. Требуется найти число способов такого подбора.

Воспользуемся записанной ранее формулой:

C 1 0 4 = 10 ! 6 ! 4 ! = 210

Сочетание без повторений. Существует по r идентичных вещей каждого из n разных видов. Количество способов выбора m при m ≤ r из данных n · r предметов определяется следующим образом:

C ¯ n m = C n + m - 1 m = ( n + m - 1 ) ! m ! ( n - 1 ) !

Приведем пример. Допустим, что имеется 4 вида сладостей, в том числе: наполеон, эклер, песочное и слоеное пирожное. Нужно вычислить число способов покупки 7 десертов.

Воспользуемся записанной ранее формулой:

C ¯ 4 7 = C 4 + 7 - 1 7 = 10 ! 7 ! 3 ! = 120

Размещение без повторений. Количество способов выбора и размещения по m разным местам m из n неодинаковых вещей:

A n m = n ! ( n - m ) !

Разберем типичное задание. Газета содержит 12 страниц. В издании требуется напечатать 4 фотографии. Нужно определить количество способов сделать это, чтобы на одной странице была напечатана максимум одна фотография.

Применим формулу размещения без повторений:

A 1 2 4 = 12 ! ( 12 - 4 ) ! = 12 ! 8 ! = 9 · 10 · 11 · 12 = 11880

Размещение с повторениями. Количество способов подбора и размещения по m неодинаковым местам m из n предметов, среди которых встречаются идентичные, определяется по формуле:

Рассмотрим задачу. Мальчик получил печати с цифрами 1, 3 и 7. С их помощью нужно пронумеровать книги пятизначными числами, чтобы сформировать каталог. Попробуем выяснить количество разнообразных пятизначных номеров, которые можно получить в данном случае.

Воспользуемся формулой размещения с повторениями:

A ¯ 3 5 = 3 5 = 243

Перестановка без повторов. Количество способов размещения n неодинаковых вещей на n разных местах равно:

Подставим значения в формулу перестановки без повторения:

P 4 = 4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

Перестановка с повторениями. Количество способов перестановки n предметов, которые размещены на n разных местах, при наличии k неодинаковых типов (k P n 1 , n 2 , … n k = n ! n 1 ! n 2 ! . . . n k ! .

P 9 ( 1 , 4 , 3 , 1 ) = 9 ! 1 ! · 4 ! · 3 ! · 1 ! = 2520

Упростить решение подобных задач можно, используя удобную схему, в которой указаны основные комбинаторные методы:

Примеры простейших задач с решением

Записаны разные делители для числа 12. Нужно вычислить количество выписанных чисел.

Перечислим все делители для числа 12:

Всего получается 6 чисел.

Шесть пчел опыляют два неодинаковых цветка. На один цветок садится только одна пчела. Требуется отобрать пчел для опыления данной пары цветков. Нужно найти число способов распределения пчел по двум различным цветкам.

Один цветок может опылять одна пчела из шести. После выбора одной пчелы для первого цветка претендентов на второй цветок останется всего 5. Такая ситуация возможна при выборе любой из пчел для первого цветка. Можно сделать вывод, что каждый из 6 выборов для первого цветка дает 5 разных вариантов для второго цветка. Тогда общее количество способов распределения составит:

Записаны разные делители для числа 120. Нужно определить количество выписанных чисел.

В первую очередь следует выполнить разложение числа 120 на простые множители:

Вычислим все делители числа 120:

( a 1 , b 1 , c 1 ) и ( a 2 , b 2 , c 2 )

Тогда различными являются следующие числа:

2 a 1 · 3 b 1 · 5 c 1 и 2 a 2 · 3 b 2 · 5 c 2

В результате, количество различных делителей для числа 120 соответствует числу разных троек, записанных в виде (a, b, c). При этом:

a обладает одним из четырех значений;
b имеет одно из пары значений;
c принимает одно из двух значений.

Таким образом, искомое количество составит:

На день рождения к мальчику должно прийти 6 гостей. Требуется накрыть праздничный стол. Именинник желает сидеть во главе стола. Нужно определить количество способов, с помощью которых можно рассадить гостей за столом.

По условию задачи одно место закреплено за именинником, поэтому его можно не учитывать в расчетах. Если один гость займет первый стул, то второй стул достанется кому-то из пяти оставшихся гостей. Последний стул достанется в итоге одному гостю. Вычислим количество вариантов:

6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

Записаны неодинаковые делители для числа 2016. Нужно посчитать количество таких чисел.

В первую очередь следует выполнить разложение числа 2016 на множители:

2016 = 2 5 · 3 2 · 7

Каждый из делителей числа 2016 можно вычислить таким образом:

a имеет значения 0, 1, 2, 3, 4 или 5;
для b допускаются значения 0, 1 или 2;
c может принимать значения 0 или 1.

Предположим, что следующие тройки не совпадают:

( a 1 , b 1 , c 1 ) и ( a 2 , b 2 , c 2 )

Тогда данные числа являются различными:

2 a 1 · 3 b 1 · 7 c 1 и 2 a 2 · 3 b 2 · 7 c 2

Можно заключить, что число 2016 имеет столько неодинаковых делителей, сколько имеется разных троек в виде (a, b, c). При этом:

a имеет одно из шести значений;
b обладает одним из трех значений;
c принимает одно из двух значений.

Количество чисел составит: 6 · 3 · 2 = 36

Имеется пара чисел:

N = p 1 k 1 · … · p n k n и M = N · p i

Здесь p 1 , . . . , p n – простые числа, i – некоторое число из множества < 1 , 2 , . . . , n >. Нужно определить во сколько раз число неодинаковых делителей М больше по сравнению с количеством разных делителей N.

Вычислим делители числа N:

p 1 a 1 · … · p n a n

При этом a 1 является каким-то из k 1 + 1 значений (вероятные значения: 0 , 1 , . . . , k 1 ) , a n обладает одним из k n + 1 значений. При несовпадении упорядоченных наборов ( b 1 , … , b n ) и ( c 1 , … , c n ) являются неодинаковыми следующие числа:

p 1 b 1 · … · p n b n и p 1 c 1 · … · p n c n

В результате число N обладает различными делителями в количестве, равном числу существующих упорядоченных наборов, записанных в виде:

При этом a 1 имеет одно из k 1 + 1 значений, a n обладает одним из k n + 1 значений. В результате количество подходящих наборов составит:

( k 1 + 1 ) · … · ( k i + 1 ) · … · ( k n + 1 )

Аналогичным способом можно вычислить число неодинаковых делителей для М:

( k 1 + 1 ) · … · ( k i + 2 ) · … · ( k n + 1 )

Нужное соотношение можно записать таким образом:

( k 1 + 1 ) · … · ( k i + 2 ) · … · ( k n + 1 ) ( k 1 + 1 ) · … · ( k i + 1 ) · … · ( k n + 1 ) = k i + 2 k i + 1

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

§ 24. Комбинаторные задачи

1. Какие задачи называют комбинаторными?

Ответ

Комбинаторные задачи — это задачи, решение которых требует рассмотрения и подсчёта все возможных случаев (всех возможных комбинаций).

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Комбинаторные задачи и способы их решения Выполнил учащийся 6 класса средней школы при Посольстве России в Израиле Мидхатов Казим учитель математики Акишина Л.В.

Оглавление. Введение. Что такое комбинаторика и комбинаторные задачи. Из истории комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач. Комбинаторные задачи. Используемая литература.

1. Введение. Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному – разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях, заместителю директора школы – составить расписание уроков, ученому- химику – рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами, лингвисту- учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т.д. Очень часто и нам в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно, потому что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был правильным. В этом нам помогают комбинаторные задачи, решая которые мы учимся думать необычно, оригинально, смело.

Новое время Как наука комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивающейся одновременно с ней теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывающую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена различными способами (например, 1+3+4 = 4+2 +2). Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований тоже были проблемы азартных игр. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм (лото, солитер и др.).

4. Способы решения комбинаторных задач. Перебор различных вариантов. Дерево возможных вариантов. Составление таблиц. Правило умножения.

Перебор различных вариантов. Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем. Задача. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 3, 4, 5? Решение: 11, 13, 14, 15, 31, 33, 34, 35, 41, 43, 44, 45, 51, , 53, 54, 55. Возврат.

Дерево возможных вариантов. Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода – дерево возможных вариантов. Задача. Задача. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 3, 5? Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе. Далее.

Составление таблиц. Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач. Задача . Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9? Решение. Составим таблицу: слева первый столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка – вторые цифры. (Ответ: 40) Возврат. 13579 11113151719 22123252729 33133353739 55153555759 66163656769 77173757779 88183858789 99193959799

Правило умножения. Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует. Задача . 5 учеников участвуют в концерте. Сколькими способами их можно расположить в списке участников? Решение. Решение. Первым в списке может оказаться любой из 5 учеников, вторым в списке может быть любой из оставшихся 4 учеников, третьим – любой из оставшихся 3 учеников, четвертым – любой из оставшихся 2 учеников, пятым – последний 1 ученик. 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120. Ответ: 120 Возврат.

5. Задачи по комбинаторике. Задача №1.Найдите количество всех способов, которыми можно составить трехцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов. Задача №2. В 6 классе в среду 5 уроков: музыка, русский язык, литература, история и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика - последний урок? Задача №3. Проказница мартышка, осел, козел, да косолапый мишка затеяли сыграть квартет… Сколькими способами можно рассадить этих четырех музыкантов в один ряд? Задача №4. Сколько нужно конвертов, чтобы девочки Лера (Л.), Таня (Т.), Надя (Н.) и Вера (В.) обменялись письмами? Задача № 5. У Артема дома есть три поручения: помыть посуду, вынести мусор и погулять с собакой. Сколько дней он может выполнять эти поручения в разном порядке? Задача № 6. Каждый из 5-ти друзей может получить за контрольную по математике любую отметку от 2 до 5. Сколько существует вариантов получения ими отметок? Выпишите все эти варианты.

Задача № 7. В нашем классе 8 человек. Нам нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколько возможно вариантов выбора старосты и его заместителя. Задача № 8. У Васи есть 2 пары обуви, 2-е брюк и три рубашки. Сколько у него вариантов одеться по-разному? Задача № 9. Имеется батон, черный хлеб, сыр, колбаса и джем. Сколько видов бутербродов можно приготовить? Задача № 10. На тарелке лежат 5 груш и 4 яблока. Сколькими способами можно выбрать один плод? Задача № 11. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина? Задача № 12. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 8 человек?

Читайте также: