Какие существуют величины в функциональной зависимости кратко

Обновлено: 04.07.2024

Функциональная зависимость (FD) определяет отношение одного атрибута к другому атрибуту в системе управления базами данных (СУБД). Функциональная зависимость помогает вам поддерживать качество данных в базе данных. Функциональная зависимость обозначена стрелкой →. Функциональная зависимость X от Y представлена ​​X → Y. Функциональная зависимость играет жизненно важную роль, чтобы найти разницу между хорошим и плохим дизайном базы данных.

Пример:

Количество сотрудников Имя сотрудника Зарплата город
1 Dana 50000 Сан-Франциско
2 Фрэнсис 38000 Лондон
3 Эндрю 25000 Токио

В этом примере, если мы знаем значение номера сотрудника, мы можем получить имя сотрудника, город, зарплату и т. Д. Таким образом, мы можем сказать, что город, имя сотрудника и зарплата функционально зависят от номера сотрудника.

В этом уроке вы узнаете:

Основные условия

Вот некоторые ключевые термины для функциональной зависимости:

Основные условия Описание
аксиома Аксиомы — это набор правил вывода, используемых для определения всех функциональных зависимостей в реляционной базе данных.
декомпозиция Это правило, которое предполагает, что если у вас есть таблица, которая содержит две сущности, определяемые одним и тем же первичным ключом, то вам следует рассмотреть возможность разбивки их на две разные таблицы.
зависимый Он отображается в правой части диаграммы функциональной зависимости.
детерминанта Он отображается в левой части диаграммы функциональной зависимости.
союз Предполагается, что если две таблицы разделены, а PK одинаковы, вам следует рассмотреть возможность их размещения. все вместе

Правила функциональных зависимостей

Ниже приведены три наиболее важных правила для функциональной зависимости:

  • Рефлексивное правило. Если X является набором атрибутов, а Y is_subset_of X, то X содержит значение Y.
  • Правило дополнения: когда выполняется x -> y и c установлен атрибут, то также выполняется ac -> bc. Это добавление атрибутов, которые не изменяют основные зависимости.
  • Правило транзитивности. Это правило очень похоже на правило транзитивности в алгебре, если выполняется x -> y и y -> z, то x -> z также выполняется. X -> y называется функционально определяющим y.

Типы функциональных зависимостей

  • Многозначная зависимость:
  • Тривиальная функциональная зависимость :
  • Нетривиальная функциональная зависимость :
  • Транзитивная зависимость:

Многозначная зависимость в СУБД

Многозначная зависимость возникает в ситуации, когда в одной таблице имеется несколько независимых многозначных атрибутов. Многозначная зависимость — это полное ограничение между двумя наборами атрибутов в отношении. Это требует, чтобы определенные кортежи присутствовали в отношении.

Пример:

Модель автомобиля Maf_year цвет
H001 2017 металлический
H001 2017 зеленый
H005 2018 металлический
H005 2018 синий
H010 2015 металлический
H033 2012 Серый

В этом примере maf_year и color не зависят друг от друга, но зависят от car_model. В этом примере эти два столбца называются многозначными и зависят от car_model.

Эта зависимость может быть представлена ​​так:

Тривиальная функциональная зависимость:

Тривиальная зависимость — это набор атрибутов, которые называются тривиальными, если набор атрибутов включен в этот атрибут.

Если имеются два атрибута А и В какого-либо отношения, то говорят, что В функционально зависит от А, если в каждый момент времени каждому значению А соответствует лишь одно значение В.

Функциональную зависимость (ФЗ) обозначают $А \to В$. Обратим внимание, что А и В могут быть не только единичными атрибутами, но и группами, которые составлены из нескольких атрибутов одного отношения.

С помощью функциональных зависимостей можно накладывать на реляционную схему дополнительные ограничения. Основной идеей является то, что значением одного атрибута в кортеже однозначно определяется значение другого атрибута.

К примеру, в каждом кортеже на рисунке 1 Фамилия однозначно определяется № работника; Специальность однозначно определяется № работника. Данные функциональные зависимости записывают в виде:

ФЗ: № работника $\to$ фамилия, ФЗ: № работника $\to$ специальность.

Функциональная зависимость значением одного атрибута в кортеже однозначно определяет значение другого атрибута в кортеже.

Готовые работы на аналогичную тему

Другими словами функциональная зависимость определяется следующим образом:

Если в таблице R существуют атрибуты А и В, то запись

значит, что при одном и том же значении атрибута А двух кортежей в таблице R они будут иметь одно и то же значение атрибута В.

Данное определение можно применить также в случае, когда А и В являются множеством столбцов, а не просто отдельными столбцами.

Детерминантом называют атрибут в левой части функциональной зависимости, т.к. его значением однозначно определяется значение атрибута в правой части.

Детерминантом всегда является ключ таблицы, т.к. его значением однозначно определяется значение каждого атрибута таблицы.

Типы функциональных зависимостей

Не все функциональные зависимости являются желательными.

Избыточной функциональной зависимостью называют зависимость, которая заключает в себе такую информацию, которую можно получить на основе других зависимостей, содержащихся в базе данных.

Схема базы данных без избыточных функциональных зависимостей считается корректной. В обратном случае необходимо прибегнуть к процедуре разложения (декомпозиции) существующего множества отношений. При этом множество, которое создается, будет содержать большее количество отношений, являющиеся проекциями отношений исходного множества.

Процесс замены этой совокупности отношений другой схемой с устраненными избыточными функциональными зависимостями называют нормализацией.

Существует еще несколько видов функциональной зависимости.

Транзитивная функциональная зависимость. Пусть А, В, С – атрибуты какого-либо отношения. При этом $А \to В$ и $В \to С$ и отсутствует обратное соответствие, то есть $С \not \to В$ и $В \not \to А$. В таком случае С транзитивно зависит от А.

Многозначная зависимость. Пусть А, В, С – атрибуты некоторого отношения R. В данном отношении R существует многозначная зависимость $R.А \to R.В$ лишь в том случае, когда множество значений В, которое соответствует паре значений А и С, зависит только от А и не зависит от С.

Рефераты и конспекты лекций по географии, физике, химии, истории, биологии. Универсальная подготовка к ЕГЭ, ГИА, ЗНО и ДПА!

Функциональные зависимости величин. Наблюдая за любым процессом, можно заметить, что одни величины меняют свое значение, другие - нет. Величины, которые в определенном процессе все время сохраняют свое значение неизменным, называются постоянными.

Переменными являются величины, значения которых в определенном процессе меняется.

Например, во время взлета самолета расстояние от поверхности земли увеличивается, количество бензина в баках уменьшается, размеры самолета остаются постоянными. Одна и та же величина в одном процессе может быть постоянной, в другом - переменной. Однако есть такие величины, которые все время сохраняют свое значение - константы (их принято записывать: const). Например, отношение длины окружности к ее радиусу и сумма углов треугольника; удельная теплоемкость вещества; величина элементарного электрического заряда и т.д..

Часто одна переменная величина зависит от другой. Если две переменные величины связаны между собой так, что каждому значению одной из них соответствует определенное значение другой, говорят, что между этими переменными являются функциональная зависимость. Примеры функциональных зависимостей: I = 2xR - длина окружности и его радиус, R = R0 (1 + at) электрическое сопротивление проводника и его температура.

Если две переменные находятся в функциональной зависимости, то и из них, которая приобретает произвольные допустимые значения называется аргументом (независимой переменной) в другое, значение которой зависит от значений аргумента, - функцией (зависимой переменной). Например, известно, чем выше температура, тем больше становится длина стального стержня, т.е. длина стержня зависит от температуры. В этом случае температура - аргумент, длина стержня-функция.

Если величина у есть функция величины х, то математически это записывают так: у = / (*). Например, путь, который проходит тело является функцией времени движения тела:

Функцией называют и сам закон (правило) f взаимосвязи величин.

Функцию можно задать формулой, по которой за определенным значением аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. Такой способ определения функции называется аналитическим. Функцию можно задать табличным, графическим, описательным и другими способами.

В этой статье мы поговорим о функциональных зависимостях в базах данных — что это такое, где применяются и какие алгоритмы существуют для их поиска.

Рассматривать функциональные зависимости мы будем в контексте реляционных баз данных. Если говорить совсем грубо, то в таких базах данных информациях хранится в виде таблиц. Далее мы используем приближенные понятия, которые в строгой реляционной теории не являются взаимозаменяемыми: саму таблицу будем называть отношением, столбцы — атрибутами (их множество — схемой отношения), а набор значений строки на подмножестве атрибутов — кортежем.




Например, в таблице выше, (Benson, M, M organ) является кортежем по атрибутам (Пациент, Пол, Доктор).
Более формально это записывается в следующем виде: [Пациент, Пол, Доктор] = (Benson, M, M organ).
Теперь мы можем ввести понятие функциональной зависимости (ФЗ):

Определение 1. Отношение R удовлетворяет ФЗ X → Y (где X, Y ⊆ R) тогда и только тогда, когда для любых кортежей , ∈ R выполняется: если [X] = [X], то [Y ] = [Y ]. В таком случае говорят, что X (детерминант, или определяющее множество атрибутов) функционально определяет Y (зависимое множество).

Иными словами, наличие ФЗ X → Y означает, что если мы имеем два кортежа в R и они совпадают по атрибутам X, то они будут совпадать и по атрибутам Y.
А теперь по порядку. Рассмотрим атрибуты Пациент и Пол для которых хотим узнать, есть ли между ними зависимости или нет. Для такого множества атрибутов могут существовать следующие зависимости:

  1. Пациент → Пол
  2. Пол → Пациент



Таким образом, функциональные зависимости позволяют определить имеющиеся связи между множествами атрибутов таблицы. Отсюда и впредь мы будем рассматривать наиболее интересные связи, а точнее такие X → Y, что они являются:

  • нетривиальными, то есть правая часть зависимости не является подмножеством левой (Y ̸⊆ X);
  • минимальными, то есть нет такой зависимости Z → Y, что Z ⊂ X.


Посчитаем ошибку для Доктор → Пациент из примера выше. Имеем два кортежа, значения которых разнятся на атрибуте Пациент, но совпадают на Докторе: [Доктор, Пациент] = (Robin, Ellis) и [Доктор, Пациент] = (Robin, Graham). Следуя определению ошибки, мы должны учитывать все конфликтующие пары, а значит таковых будет две: (, ) и ее инверсия (, ). Подставим в формулу и получим:


Пример ошибки в данных:


Пример дубликатов в данных:


Например, мы имеем таблицу и набор ФЗ, которые должны выполняться. Очистка данных в данном случае предполагает изменить данные таким образом, чтобы ФЗ стали верны. При этом число модификаций должно быть минимально (для данной процедуры существуют свои алгоритмы, на которых мы не будем сосредотачивать внимание в данной статье). Ниже приведен пример такого преобразования данных. Слева исходное отношение, в котором, очевидно, не выполняются необходимые ФЗ (красным цветом выделен пример нарушения одной из ФЗ). Справа представлено обновленное отношение, в котором зеленые ячейки показывают измененные значения. После проведения такой процедуры необходимые зависимости стали удерживаться.

Другой популярной областью применения является дизайн базы данных. Здесь стоит напомнить про нормальные формы и нормализацию. Нормализация — это процесс приведения отношения в соответствие некоторому набору требований, каждый из которых определяется нормальной формой по-своему. Расписывать требования различных нормальных форм мы не станем (это делается в любой книге по курсу БД для начинающих), а лишь заметим, что каждая из них по-своему использует концепцию функциональных зависимостей. Ведь ФЗ по своей сути являются ограничениями целостности, которые учитываются при проектировании базы данных (в контексте этой задачи ФЗ иногда называют суперключами).

Рассмотрим их применение для четырех нормальных форм на картинке ниже. Напомним, что нормальная форма Бойса-Кодда является более строгой, чем третья форма, но при этом менее строгой, чем четвертая. Последнюю пока не рассматриваем, поскольку для ее постановки нужно понимание многозначных зависимостей, которые в данной статье нам не интересны.








Еще одной областью, в которой зависимости нашли свое применение, является понижение размерности пространства признаков в таких задачах как построение наивного байесовского классификатора, выделение значимых признаков и репараметризация регрессионной модели. В оригинальных статьях эта задача называется определением избыточных признаков (feature redundancy) и релевантных (feature relevancy) [5, 6], и решается она с активным использованием концепций баз данных. С появлением таких работ мы можем говорить, что сегодня наблюдается запрос на решения, позволяющие объединить базу данных, аналитику и реализацию вышеперечисленных проблем оптимизации в один инструмент [7, 8, 9].

Для поиска ФЗ в наборе данных существует множество алгоритмов (как современных, так и не очень).Такие алгоритмы можно разделить на три группы:

  • Алгоритмы, использующие обход алгебраических решеток (Lattice traversal algorithms)
  • Алгоритмы, основанные на поиске согласованных значений (Difference- and agree-set algorithms)
  • Алгоритмы, основанные на попарных сравнениях (Dependency induction algorithms)

Подробнее о данной классификации можно почитать [4]. Ниже представлены примеры алгоритмов на каждый из типов:


В настоящее время появляются новые алгоритмы, которые сочетают в себе сразу несколько подходов к поиску функциональных зависимостей. Примерами таких алгоритмов являются Pyro [2] и HyFD [3]. Разбор их работы предполагается в следующих статьях данного цикла. В этой статье мы лишь разберем основные понятия и лемму, которые необходимы для понимания техник выявления зависимостей.

Начнем с простого — difference- и agree-set, используемые во втором типе алгоритмов. Difference-set представляет собой множество кортежей, которые не совпадают по значениям, а agree-set наоборот — кортежи, совпадающие по значениям. Стоить отметить, что в данном случае мы рассматриваем только левую часть зависимости.

Также важным понятием, которое встречалось выше, является алгебраическая решетка. Так как многие современные алгоритмы оперируют данным понятием, нам нужно иметь представление о том, что это такое.

Для того чтобы ввести понятие решетки, необходимо определение частично упорядоченного множества (или partially ordered set, сокращенно — poset).

  1. Рефлексивность, то есть a ⩽ a
  2. Антисимметричность, то есть, если a ⩽ b и b ⩽ a, то a = b
  3. Транзитивность, то есть для a ⩽ b и b ⩽ c следует, что a ⩽ c

В качестве простейшего примера частично упорядоченного множества можно взять множество всех натуральных чисел N с обычным отношением порядка ⩽. Нетрудно проверить, что все необходимые аксиомы выполняются.

Более содержательный пример. Рассмотрим множество всех подмножеств , упорядоченное отношением включения ⊆. Действительно, это отношение удовлетворяет всем условиям частичного порядка, поэтому ⟨P (), ⊆⟩ — частично упорядоченное множество. На рисунке ниже изображена структура этого множества: если из одного элемента можно дойти по стрелочкам до другого элемента, то они находятся в отношении порядка.


Нам потребуются еще два простых определения из области математики — супремум (supremum) и инфимум (infimum).

Определение 3. Пусть ⟨S, ⩽⟩ — частично упорядоченное множество, A ⊆ S. Верхняя граница A — это такой элемент u ∈ S, что ∀x ∈ A: x ⩽ u. Пусть U — множество всех верхних границ A. Если в U существует наименьший элемент, тогда он называется супремумом и обозначается как sup A.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы.

Определение 4. Пусть ⟨S, ⩽⟩ — частично упорядоченное множество, A ⊆ S. Нижняя граница A — это такой элемент l ∈ S, что ∀x ∈ A: l ⩽ x. Пусть L — множество всех нижних границ A. Если в L существует наибольший элемент, тогда он называется инфимумом и обозначается как inf A.

Рассмотрим в качестве примера приведенное выше частично упорядоченное множество ⟨P (), ⊆⟩ и найдем в нем супремум и инфимум:


Теперь можно сформулировать определение алгебраической решетки.

Определение 5. Пусть ⟨P, ⩽⟩ — частично упорядоченное множество, такое что всякое двухэлементное подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю границы. Тогда P называется алгебраической решеткой. При этом sup записывают как x ∨ y, а inf — как x ∧ y.

Проверим, что наш рабочий пример ⟨P (), ⊆⟩ является решеткой. Действительно, для всяких a, b ∈ P (), a∨b = a∪b, а a∧b = a∩b. Например, рассмотрим множества и и найдем их инфимум и супремум. Если мы их пересечем, то получим множество , которое и будет являться инфимумом. Супремум же получим их объединением — .

В алгоритмах выявления ФЗ пространство поиска зачастую представляется в форме решетки, где множества из одного элемента (читай первый уровень решетки поиска, где левая часть зависимостей состоит из одного атрибута) являют собой каждый атрибут исходного отношения.
В начале рассматриваются зависимости вида ∅ → Одиночный атрибут. Данный шаг позволяет определить, какие атрибуты являются первичными ключами (для таких атрибутов не бывает детерминантов, а потому левая часть пуста). Далее такие алгоритмы двигаются по решетке вверх. При этом стоит отметить, что решетку можно обходить не всю, то есть если на вход передать желаемый максимальный размер левой части, то дальше уровня с таким размером алгоритм идти не будет.

На рисунке ниже показано, как можно использовать алгебраическую решетку в задаче поиска ФЗ. Здесь каждое ребро (X, XY) представляет собой зависимость X → Y. Например, мы прошли первый уровень и знаем, что удерживается зависимость A → B (отобразим это зеленой связью между вершинами A и B). Значит далее, когда будем продвигаться по решетке вверх, мы можем не проверять зависимость A, C → B, потому что она будет уже не минимальной. Аналогично мы бы не стали ее проверять, если бы удерживалась зависимость C → B.




Кроме того, как правило, все современные алгоритмы по поиску ФЗ используют такую структуру данных, как партиция (в первоисточнике — stripped partition [1]). Формальное определение партиции выглядит следующим образом:

Определение 6. Пусть X ⊆ R — набор атрибутов для отношения r. Кластер представляет собой набор индексов кортежей из r, которые имеют одинаковое значение для X, то есть c(t) = . Партиция представляет собой множество кластеров, исключающее кластеры единичной длины:


Простыми словами, партиция для атрибута X представляет собой набор списков, где каждый список содержит номера строк с одинаковыми значениями для X. В современной литературе структура, представляющая партиции, называется position list index (PLI). Кластеры единичной длины исключаются в целях сжатия PLI, потому что это кластеры, содержащие лишь номер записи с уникальным значением, которое всегда будет легко установить.

Рассмотрим пример. Вернемся все к той же таблице с пациентами и построим партиции для столбцов Пациент и Пол (слева появился новый столбец, в котором отмечены номера строк таблицы):



При этом, согласно определению, партиция для столбца Пациент на самом деле будет пустая, так как одиночные кластеры исключаются из партиции.

Партиции можно получать по нескольким атрибутам. И для этого существует два пути: пройдясь по таблице, построить партицию сразу по всем необходимым атрибутам, или же построить ее с помощью операции пересечения партиций по подмножеству атрибутов. Алгоритмы поиска ФЗ используют второй вариант.

Простыми словами, чтобы, например, получить партицию по столбцам ABC, можно взять партиции для AC и B (или любой другой набор непересекающихся подмножеств) и пересечь их между собой. Операция пересечения двух партиций выделяет кластеры наибольшей длины, общие для обеих партиций.

Давайте рассмотрим пример:



В первом случае мы получили пустую партицию. Если присмотреться к таблице, то действительно, одинаковых значений по двум атрибутам там нет. Если же мы немного модифицируем таблицу (случай справа), то уже получим непустое пересечение. При этом строки 1 и 2 и правда содержат одинаковые значения по атрибутам Пол и Доктор.

Далее нам понадобится такое понятие, как размер партиции. Формально:


Проще говоря, размер партиции представляет собой количество кластеров, входящих в партицию (помним, что единичные кластеры в партицию не входят!):



Теперь мы можем определить одну из ключевых лемм, которая для заданных партиций позволяет установить, удерживается зависимость или нет:

Лемма 1. Зависимость A, B → C удерживается, если и только если


Согласно лемме, для определения, удерживается ли зависимость, необходимо выполнить четыре шага:

  1. Вычислить партицию для левой части зависимости
  2. Вычислить партицию для правой части зависимости
  3. Вычислить произведение первого и второго шага
  4. Сравнить размеры партиций, полученных на первом и третьем шаге








В данной статье мы разобрали такие понятия, как функциональная зависимость, приближенная функциональная зависимость, рассмотрели, где они применяются, а также какие алгоритмы поиска ФЗ существуют. Также мы подробно разобрали базовые, но важные понятия, активно используемые в современных алгоритмах по поиску ФЗ.

a. При рассмотрении количественной стороны различных процессов мы почти всегда наблюдаем, что переменные величины зависят друг от друга; например, путь проходимый свободно падающим в пустоте телом зависит только от времени, давление в паровом котле зависит только от температуры пара.

Глубина океана в одном пункте постоянна, но в различных пунктах различна, она зависит только от двух переменных — от географической долготы и географической широты места.

Высота растущего дерева зависим от многих переменных — от солнечного освещения, от влажности, от количества питательных веществ в почве и т. д.

Мы видим, что некоторые переменные изменяются независимо, они и называются независимыми переменными или аргументами, другие же от них зависят их называют функциями.

Сама зависимость называется функциональной. Между прочим, функциональная зависимость представляет собой одно из самых важных понятий математики.

b. Следует всегда различать, от какого числа независимых переменных зависит функция. Проще всего поддаются изучению функции одной переменной, ими мы будем заниматься в первую очередь. Изучение функций многих переменных сложнее, но так или иначе сводится к изучению функций одной переменной.

c. Если мы желаем записать математически, что переменная у зависит от , то будем употреблять такое обозначение:

Эта запись читается так:

Точно так же, если функция U зависит от двух аргументов то эта зависимость обозначается следующим образом:

Здесь буквы f, х и у также не являются сомножителями.

Совершенно ясно, как обозначается функция трех четырех и большего числа аргументов.

Вместо буквы употребляют и другие буквы чаще всего .

d. Записи типа (1) и (3) являются самыми общими обовначениями функций, так как под ними можно понимать какие угодно функции, а потому, имея в руках только эти обозначения, мы ничего не сможем узнать о свойствах этих функций.

Для того чтобы иметь возможность изучать функцию нужно ее задать.

e. Имеется много способов задать функцию, но все они сводятся к трем основным типам:

1) функцию можно задать таблицей ее числовых значений, соответствующих числовым значениям ее аргумента;

2) функцию можно задать графически;

3) функцию можно задать математической формулой.

f. Приведем примеры. Известно, что при вращении махового колеса возникают напряжения, которые стремятся разорвать его обод. Если обод колеса сделан из однородного материала, то напряжения зависят только от скорости вращения. Обозначая скорость через v, а напряжение в ободе через , мы можем записать что

Теория сопротивления материалов дает такую таблицу для значений функции (4), если обод сделан из литой стали:

Здесь v измеряется в метрах в секунду — в ньютонах на квадратный сантиметр.

Большим достоинством табличного способа Зсдания функции является то, что числа таблицы непосредственно могут быть использованы для различных вычислений.

Недостатком является то, что всякая таблица дается не для всех значений аргумента, а через некоторые интервалы, так что, если каких-либо значений функции в таблице нет, то нужно брать более подробную таблицу; если же последней нет, то приходится подбирать нужное число более или менее приблизительног сообразуясь с характером изменения чисел таблицы,

g. Большим недостатком является также и то, что если таблица содержит много чисел, то характер изменения функции уловить трудно. Наконец, третьим недостатком является то, что изучать свойства функции, заданной таблицей, трудно; кроме того, полученные свойства будут неточными.

h. От первых двух недостатков свободен графический способ задания функции.

Чтобы пояснить графический способ рассмотрим такой пример.

Если какой-либо материал подвергнуть растяжению, то сила, необходимая для растягивания, будет зависеть от того, какое растяжение необходимо сделать, т. е. сила есть функция от удлинения. Если удлинение в процентах обозначить через X, а растягивающую силу, которая обычно измеряется в ньютонах на квадратный сантиметр, обозначить через , то

Для различных материалов эта зависимость будет различной. Возьмем координатные оси и будем считать к за абсциссу, а за ординату, тогда для каждой пары их значений получим точку на плоскости.

Все эти точки расположатся на некоторой кривой, которая имеет различный вид для различных материалов. Существуют приборы, которые такие кривые чертят автоматически.

Для мягкой стали мы получим следующую кривую (рис. 31):

k. Как мы видим, действительно графический снособ нагляден и дает значения функции для всех значений аргумента. Но третий недостаток и здесь имеет место. Изучать свойства функции заданной графически, все-таки затруднительно.

l. Теперь покажем способ задания функции формулой Возьмем такой пример. Площадь круга очевидно зависит от радиуса. Если радиус обозначить через я, а площадь через у, то, как известно из геометрии, где — отношение длины окружности к длине диаметра. Мы видим, что зависимость здесь задается математической формулой, поэтому третий способ называется математическим способом. Еще пример: длина гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от длин обоих катетов. Если длину гипотенузы обозначить через , а длины катетов через то по теореме Пифагора будем иметь

Так как оба катета мы можем изменять независимо друг от друга, то мы имеем здесь пример функции двух аргументов, заданной математически.

Можно привести еще много примеров функций, заданyых математически, из области различных наук.

m. Математический способ обладает огромным преимуществом перед другими способами задания функций, а именно: к изучению функций, заданных математически, можно привлечь математический анализ.

Помимо того, если необходимо, всегда можно математический способ превратить в табличный. Действительно, мы вправе задать аргументам желательные нам числовые значения и по формуле вычислить сколько угодно значений функции. Таким образом, одна формула заменяет всю таблицу.

n. Математический способ имеет только один недостаток, а именно, формула не дает наглядного представления об изменении функции. Однако этот недостаток мы всегда можем восполнить, так как всегда математический способ задания можно превратить в графический. Это делается так.

o. Если мы имеем функцию одной переменной, то составляем таблицу и каждую пару значений аргумента и функции принимаем за координаты, после этого строим возможно большее число точек. Все полученные точки расположатся на некоторой кривой линии, которая и будет графиком функции. Если мы имеем функцию двух или более аргументов, то и ее можно изобразить графически. Но это уже значительно сложнее, а потому этим вопросом мы займемся несколько позднее.

p. Все сказанное свидетельствует о том, что математический способ задания функций является наиболее выгодным.

Поэтому всегда стремятся, если функция задана таблицей или графиком, выразить ее формулой. Эта задача обычно очень трудная, но чрезвычайно важная для естествознания и технических наук. Без преувеличения можно сказать, что все проблемы механики, естествознания - прикладных наук сводятся к установлению и изучению функциональных зависимостей между теми переменными величинами, с которыми эти дисциплины имеют дело. Бела удается эти функциональные зависимости выразить формулами, то наука приобретает надежный рычаг для приложения всей огромной мощи математического анализа и далеко продвигается в своем развитии.

С другой стороны, математический анализ, получая эту прекрасную пищу, сам растет и совершенствуется.

q. Ввиду того, что перевод на язык формул функциональных зависимостей не является непосредственной задачей математики, мы будем предполагать, что функции уже выражены формулами. Таким образом, в дальнейшем мы будем заниматься только функциями, заданными матетатически.

Читайте также: