Как записать десятичный логарифм кратко

Обновлено: 04.07.2024

Десятичным логарифмом называют логарифм, который имеет в основании число $10$.

Десятичный логарифм вматематике принято обозначать $\lg$:

Название десятичного логарифма происходит именно от его основания, которое равняется десяти.

Иногда можно встретить следующее обозначение десятичного логарифма:

Согласно определению логарифма можно сделать вывод, что десятичный логарифм $\lg ⁡a$ является решением показательного уравнения $10^b=a$.

Свойства десятичного логарифма

Т.к. логарифм по любому основанию от $1$ равен $0$, то и десятичный логарифм единицы равен $0$:

Десятичный логарифм от числа $10$ равен единице:

Десятичный логарифм произведения двух чисел равен сумме десятичных логарифмов от этих чисел:

Десятичный логарифм частного двух чисел равен разнице десятичных логарифмов этих чисел:

Десятичный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на десятичный логарифм подлогарифмического числа:

$\lg⁡ a^s=s \cdot \lg ⁡a$.

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\lg ⁡10=1$:

Вычислить значение логарифмического выражения $\lg ⁡200+\lg \frac$.

Применим формулу суммы логарифмов:

$\lg ⁡200+\lg \frac=\lg ⁡(200 \cdot \frac)=\lg ⁡10=1$.

Готовые работы на аналогичную тему

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \ln \frac+3 \lg ⁡10000$.

Применим свойство логарифма степени:

$2 \ln \frac+3 \lg ⁡10000=2 \ln e^+3 \lg 10^4=2 \cdot (-2) \ln ⁡e+3 \cdot 4 \lg ⁡10=-4 \ln ⁡e+12 \lg ⁡10=$

теперь применим свойство логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому числу:

$=-4 \cdot 1+12 \cdot 1=8$.

Упростить логарифмическое выражение $\lg \frac-3 \lg ⁡4$.

Применим свойство логарифма степени:

$\lg \frac-3 \lg ⁡4=\lg 2^-3 \lg⁡ 2^2=-3 \lg ⁡2-3 \cdot 2 \lg ⁡2=-9 \lg ⁡2$.

Вычислить значение логарифмического выражения $3 \lg ⁡0,09-2 \lg ⁡27$.

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 \lg \frac-2 \lg ⁡27=3 \lg (\frac)^2-2 \lg 3^3=3 \cdot 2 \lg \frac-2 \cdot 3 \lg ⁡3=6 \lg \frac-6 \lg ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\lg ⁡3-\lg ⁡10 )-6 \lg ⁡3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \lg ⁡3-6 \lg ⁡10-6 \lg ⁡3=-6$.

Упростить логарифмическое выражение $\lg ⁡0,81-2 \lg ⁡9$.

Применим ко второму логарифму свойство логарифма степени, внеся число $2$ под знак логарифма:

$\lg ⁡0,81-\lg 9^2=\lg ⁡0,81-\lg ⁡81=$

применим формулу разности логарифмов:

запишем число под знаком логарифма как $10$ в степени:

применим формулу логарифма степени:

Вычислить значение логарифмического выражения $\frac<\lg 4+\lg ⁡16>$.

Внесем число $2$ в числителе под знак логарифма:

применим формулы разности и суммы логарифмов:

применим формулу логарифма степени, записав число под знаком логарифма как число $4$ в степени:

Преобразовать логарифмическое выражение $\lg \frac$.

Применим формулу логарифма частного:

к первому логарифму применим формулу логарифма степени:

$=\lg 10^2-\lg ⁡e=2 \lg ⁡10-\lg ⁡e=$

применив свойство значения логарифма с одинаковым основанием и подлогарифмическим числом, получим:

Определение. Логарифмом числа b по основанию a , где a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтоб получить число b .

Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10 x = b .

Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x .

Калькулятор десятичных логарифмов

Свойства десятичного логарифмов

lg x = log₁₀ x - так как основание десятичного логарифма равно 10.

lg( x · y ) = lg x + lg y

lg x y = lg x - lg y

График функции y = lg x

(lg x )′ = 1 x ln 10

lg 100 = lg 10 2 = 2

lg 1000 = lg 10 3 = 3

lg 0.1 = lg 10 -1 = -1

lg 0.01 = lg 10 -2 = -2

lg 0.001 = lg 10 -3 = -3

Доказать равенство: a lg b = b lg a .

Запишем очевидное равенство:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Возведем 10 в соответствующие степени

10 lg b · lg a = 10 lg a · lg b

(10 lg b ) lg a = (10 lg a ) lg b

Зная, что lg 2 = a , lg 3 = b , lg 5 = c , выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Используем формулы логарифма произведения и степени получим:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b ;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c ;

lg 16 = lg 2 4 = 4 · lg 2 = 4 a .

Вычислить log₉ 5 · log₂₅ 27.

Перейдем к основе 10:

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25

Используем свойство логарифма степени lg x n = n lg x :

lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25 = lg 5 lg 3 2 · lg 3 3 lg 5 2 = lg 5 2 lg 3 · 3 lg 3 2 lg 5 = 3 4

Вычислить log₃₀ 8, если lg 5 = a , lg 3 = b .

Перейдем к основе 10:

log ₃₀ 8 = lg 8 lg 30 = lg 2 3 lg (3 · 10) =

Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 10 5 :

= 3 lg 2 lg 3 + lg 10 = 3 lg 2 lg 3 + 1 = 3 lg 10 5 lg 3 + 1 = 3(lg 10 - lg 5) lg 3 + 1 = 3(1 - lg 5) lg 3 + 1 =

Подставим lg 5 = a , lg 3 = b :

log₃₀ 8 = 3(1 - a ) b + 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Основание десятичных логарифмов $10\gt 1$, поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма $[\lg x]$ называется характеристикой , а дробная часть $\left\<\lg x\right\>$ – мантиссой .
Для числа $b$, записанного в стандартном виде $b=a\cdot 10^n$
характеристика равна порядку числа $[\lg b]=n$, мантисса $\left\<\lg b\right\>=\lg a$

Число b	Стандартный вид	Характеристика	Мантисса b	Унифицированная запись	Логарифм числа $\lg b$
420	4,2·10 2	2	0,623	2,623	2,623
42	4,2·10 1	1	0,623	1,623	1,623
4,2	4,2	2	0	0,623	0,623
0,42	4,2·10 –1	–1	0,623	$\overline,623$	–0,377
0,042	4,2·10 –2	–2	0,623	$\overline,623$	–1,377

$\lg 4,2\approx 0.623$

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

Относительная погрешность этих приближений (кроме $\lg 3)$ $\delta\sim 0,5\text$

Например:
Сравним $\log_23$ и $log_5⁡8$
Сравнивая с помощью оценки, получаем: \begin \log_23=\frac<\lg 3><\lg 2>\approx\frac=\frac53,\ \ \log_58=\frac<\lg 8><\lg 5>\approx\frac=\frac97\\ \frac\gt \frac\Rightarrow \frac53\gt \frac97\Rightarrow\log_23\gt\log_58 \end

п.2. Натуральный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию e называют натуральными.
Для натуральных логарифмов принято специальное обозначение: \begin \log_x\overset\ln x \end

Число e≈2,71828… - это математическая константа, число иррациональное и трансцендентное, которое появляется при описании моделей нашего мира ничуть не реже числа $\pi$. Мы познакомимся с ним подробней, изучая пределы и производные.

Основание натуральных логарифмов e>1, поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Например:
С точностью до первого слагаемого: $\ln 1,3=\ln(1+0,3)\approx 0,3$
До второго слагаемого: $\ln 0,3\approx 0,3-\frac=0,255$
До третьего слагаемого: $\ln 0,3\approx 0,3-\frac+\frac=0,264$ и т.д.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите $x$:
a) $ \lg x=2\lg a+\lg 7 $
$\lg x=\lg a^2+\lg 7=\lg(7a^2)$
$x=7a^2$

Пример 2. Прологарифмируйте по основанию 10:
a) $x=\frac>$ \begin \lg x=\lg\frac>=\lg 3+\lg a^2+\lg\sqrt[3]-\lg c^5-\lg(a-b)=\\ =\lg 3+2\lg a+\frac73\lg b-5\lg c-\lg(a-b) \end

б) $\log_+1>(5\sqrt-7)$
Заметим, что: $(\sqrt-1)^3=2\sqrt-3\cdot 2+3\sqrt-1=5\sqrt-7$ $$ (\sqrt+1)(\sqrt-1)=2-1=1\Rightarrow \sqrt+1=\frac-1>=(\sqrt-1)^ $$ Перейдем к десятичному основанию: $$ \log_+1>(5\sqrt-7)=\lg\frac<(5\sqrt-7)><\lg(\sqrt+1)>=\frac<\lg(\sqrt-1)^3><\lg(\sqrt-1)^>= \frac<3\lg(\sqrt-1)-1><-\lg(\sqrt-1)>=-3 $$ Ответ: -3
Заметим, что переход к десятичному основанию в этих примерах не обязателен.
Но он значительно упрощает запись и облегчает решение.

Пример 4*. Постройте (с помощью какого-либо математического приложения или собственной программы) в одной системе координат для $-1\lt x\leq 1$ график $y=\ln⁡(1+x)$ и его приближения по ряду Меркатора: $$ y=x,\ \ y=x-\frac,\ \ y=x-\frac+\frac $$ Сделайте выводы.

Чем больше слагаемых в ряду, тем ближе соответствующая кривая к графику логарифма, тем точнее результат. В данном случае ближе всего к кривой $y=\ln⁡(1+x)$ расположена кубическая парабола $y=x-\frac+\frac$.
Чем меньше модуль $|x|$, тем точнее приближение. Визуально, уже в окрестности $|x|\lt 0,2$ квадратичная и кубическая парабола дают хорошую точность приближения.
Приближение 1-го порядка $(\ln(1+x)\approx x)$ довольно грубое, но может использоваться для предварительной оценки.

Расчет относительной погрешности приближения на границах окрестностей $|x|\lt 0,1$ и $|x|\lt 0,2$ представлен в таблице:

Объясним проще. Например, $\log_$ равен степени, в которую надо возвести $2$, чтоб получить $8$. Отсюда понятно, что $\log_=3$.

Аргумент и основание логарифма

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

а) В какую степень надо возвести $4$, чтобы получить $16$? Очевидно во вторую. Поэтому:

в) В какую степень надо возвести $\sqrt$, чтобы получить $1$? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести $\sqrt$, чтобы получить $\sqrt$? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

д) В какую степень надо возвести $3$, чтобы получить $\sqrt$? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень $\frac$ .

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Пример: Вычислить логарифм $\log_>$

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
$\log_=b$ $\Leftrightarrow$ $a^=c$

Что связывает $4\sqrt$ и $8$? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
$4=2^$ $\sqrt=2^>$ $8=2^$

Слева воспользуемся свойствами степени: $a^\cdot a^=a^$ и $(a^)^=a^$

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на $\frac$

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: $3^=9$. Просто подберите $x$, чтобы равенство сработало. Конечно, $x=2$.

А теперь решите уравнение: $3^=8$.Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Хочу подчеркнуть, что $\log_$, как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: $1,892789260714. $

Пример: Решите уравнение $4^=10$

$4^$ и $10$ никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
$a^=c$ $\Leftrightarrow$ $\log_=b$

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы $(a>0, a\neq1)$. И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера $e$ (равное примерно $2,7182818…$), и записывается такой логарифм как $\ln$.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается $\lg$.

Основное логарифмическое тождество

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Пример: Найдите значение выражения $36^<\log_<6>>$

Зная формулу $(a^)^=a^$, а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что $\log_$ равен двум. Тогда можно вместо двойки писать $\log_$.

Но $\log_$ тоже равен $2$, значит, также можно записать $2=\log_$ . Аналогично и с $\log_$, и с $\log_$, и т.д. То есть, получается

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как $\log_$, или как $\log_$, или как $\log_$… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

Читайте также: