Как выполнить умножение смешанных чисел кратко

Обновлено: 06.07.2024

При умножении и делении смешанных чисел мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит.

Умножение смешанного числа на натуральное число

Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.

Например, нам часто встречается запись типа $ab$, и такая запись подразумевает $a \cdot b$, тогда как запись вида $a\frac$ подразумевает $a + \frac$. Сходство этих написаний может запутать, поэтому об этой особенности нужно помнить.

Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:

При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.

Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.

Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.

$$a \cdot b\frac = a \cdot \Big(\frac + \frac \Big)$$

При желании эту запись можно продолжить так:

Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?

Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.

Давайте проверим на примере:

Сначала переведём число $6$ в неправильную дробь со знаменателем $3$.

$$4 \cdot 6\frac = 4 \cdot \Big(\frac + \frac \Big)$$

Теперь проведём вычисление в скобках – то есть сложим части дроби и получим неправильную дробь. Затем будем умножать $4$ на эту неправильную дробь так, как обычно умножают натуральное число на дробь: умножаем натуральное число на числитель, а знаменатель оставляем без изменений.

У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть

Но можно ли было решать по-другому?

На самом деле можно. Существует распределительный закон умножения, согласно которому $n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$

Проверим, срабатывает ли этот способ.

$$4 \cdot \Big(6 + \frac \Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac = 24 + \frac = 24 + 1 + \frac = 25\frac$$

Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.

Умножение смешанных чисел на дроби

При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

Разберём на примере такой задачи.

Ширина отреза ткани $3\frac$ метра, а ширина — $\frac$ метра. Какова площадь этого куска ткани?

Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится

Можно ли было применить распределительный закон умножения?

В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:

$$3 \frac \cdot \frac = 3 \cdot \frac + \frac \cdot \frac$$

Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.

Умножение смешанного числа на смешанное число

При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.

Образавр поехал на велосипеде в соседний город. Он ехал $2\frac$ часа со скоростью $12\frac$ км/ч. Какое расстояние он проехал?

Сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.

Затем выполним умножение дробей:

Какие можно сделать выводы?

Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.

При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.

Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.

Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 15 человек(а).

Смешанное число – число, состоящее из целой и дробной частей, например 3 ½. Перед умножением двух смешанных чисел их необходимо преобразовать в неправильные дроби. Эта статья расскажет вам, как умножить смешанные числа, следуя нескольким простым правилам.

При преобразовании числа 4 1 /₂ в неправильную дробь сначала умножьте целую часть (4) на знаменатель дроби (2): 4*2 = 8.

Сложите полученное 8 и числитель 1: 8 + 1 = 9.

При преобразовании числа 6 2 /₅ в неправильную дробь сначала умножьте целую часть (6) на знаменатель дроби (5): 6*5 = 30.

Сложите полученное 30 и числитель 2: 30 + 2 = 32.

₂

₅

При умножении смешанных чисел не перемножайте отдельно целые части и отдельно дробные части – вы получите неправильный ответ.
При умножении смешанных чисел крест-накрест, умножьте числитель первой дробной части на знаменатель второй, а знаменатель первой дробной части на числитель второй.

Дополнительные статьи

Об этой статье

Обратите внимание, если в ответе получается неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть.

Если мы умножаем на натуральное число, которое можно сократить с числом, стоящим в знаменателе, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей.

Если мы перемножаем дроби, у которых можно сократить числитель первой и знаменатель второй дроби и (или) знаменатель первой и числитель второй дроби, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).

Умножение смешанных чисел

Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Для обыкновенных дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства умножения (переместительное свойство умножения, сочетательное свойство умножения, распределительные свойства умножения относительно сложения и относительно вычитания). Также при умножении дроби на ноль (или нуля на дробь) получаем ноль, и при умножении дроби на единицу (или единицы на дробь) получим равную ей дробь.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно представить смешанное число в виде неправильной дроби, а затем воспользоваться правилом умножения дроби на натуральное число или можно умножить целую часть на натуральное число, далее умножить дробную часть на натуральное число и полученные произведения сложить.

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Примеры:

а) Найти от числа 20.

Решение:

б) Найти 0,6 от числа 9.

Решение:

в) Найти 30 % от числа 500.

Решение:

1) 30% = 30 : 100 = 0,30 = 0,3

Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Примеры:

1) , значит, числа - взаимно обратные;

Чтобы определить число обратное смешанному числу, нужно представить это смешанное число в виде неправильной дроби.

Чтобы умножить или разделить смешанные числа, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить требуемое действие с обыкновенными дробями.

Когда выполняется умножение смешанного числа на натуральное число (или наоборот), смешанное число можно не записывать в виде неправильной дроби. Такие примеры можно решить используя распределительный закон умножения:

Так как умножение сводится лишь к умножению целой части и числителя дробной части на натуральное число, то умножение смешанного и натурального числа обычно записывают без промежуточных вычислений в более краткой форме:

При делении смешанного числа на натуральное число (или наоборот), их можно представить в виде неправильных дробей и выполнить требуемое действие с обыкновенными дробями:

При умножении и делении смешанного числа на дробь (или наоборот), смешанное число переводится в неправильную дробь, после чего требуемое действие выполняется с обыкновенными дробями:

Калькулятор умножения и деления смешанных чисел

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение и деление смешанных чисел. Просто введите два числа и нажмите кнопку Вычислить . Данный калькулятор позволяет также выполнять умножение/деление: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.

Читайте также: