Как определить угол между скрещивающимися прямыми в пространстве кратко

Обновлено: 02.07.2024

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!

И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.

Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?

Читай эту статью и всё узнаешь!

Скрещивающиеся прямые — коротко о главном

Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая 𝑏) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую 𝑎′, где 𝑎′||𝑎.

Скрещивающиеся прямые — подробнее

Как найти угол, если прямые не пересекаются?

Вот, например: прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) скрещиваются. Какой угол между ними?

Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например \( \displaystyle b\)), нужно провести прямую \( \displaystyle ’||a\).

И тогда угол между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) будет равен (по определению!) углу между \( \displaystyle \) и \( \displaystyle b\).

Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.

Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми

Решаем:

Прямые \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle D_>\) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.

Пользуемся правилом: через точку \( \displaystyle _>\) проведем прямую \( \displaystyle <_>_>\). Она будет параллельна \( \displaystyle AC\).

Значит, угол между \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle D_>\) равен углу между \( \displaystyle <_>_>\) и \( \displaystyle D_>\). Осталось его найти.

Ответ: \( \displaystyle 60<>^\circ \).

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Задачи на скрещивающиеся прямые и углы между ними попадаются сплошь и рядом в этом вебинаре.

ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – расстояния и углы в пространстве

На этом уроке мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Так… Что думаешь? 🙂

Сегодня ты научился определять угол между скрещивающимися прямыми. И это тебе очень пригодится.

Это довольно сложная тема, хоть и короткая. А сегодня ты в ней разобрался! И я тобой очень горжусь.

А теперь мы хотим услышать тебя. Расскажи нам, что думаешь об этой статье! Мы будем очень рады узнать твое мнение!

Напиши нам в комментариях внизу, помогла ли тебе эта статья?

Если у тебя есть вопросы или идеи о том, что можно добавить в статью, пиши их в комментариях!

Мы обязательно тебе ответим!

Добавить комментарий Отменить ответ

2 комментария

Bakut :

ОЧЕНЬ КРУТО! ТАК ПОНЯТНО ! СПАСИБООО!

Александр Кель :

Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.
Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?

Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.

Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях ? и ?. Проведем в плоскости ? прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.

Дадим еще два полезных определения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.

Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.

Углом между пересекающимися прямыми , называется наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых (если при пересечении образовались четыре равных угла, то прямые перпендикулярны).

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Две пересекающиеся прямые		Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямые		Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещивающиеся прямые		Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

Две пересекающиеся прямые

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.

Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Тип утверждения и формулировка
Две различные точки		Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой		Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Две пересекающиеся прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две параллельные прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две различные точки

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.

Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a' параллельна прямой a , прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .