Как используя натуральный ряд можно определить какое из двух натуральных чисел меньше больше кратко
Обновлено: 04.07.2024
Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.
Равные и неравные натуральные числа
Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.
Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 — равные, а 63 и 67 — неравные.
Равенства и неравенства
Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:
=, > и = называется знаком равенства и заменяет собой слово равно или равняется . Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b .
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.
4 = 4 — равенство.
2 + 3 = 5 — равенство.
2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).
Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 — верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 — неверное равенство).
Два других знака > и называются знаками неравенства и означают: знак > — больше , а знак — меньше . Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b b меньше a .
Знаки > и должны быть обращены остриём к меньшему числу.
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или называется неравенством.
5 > 4 — неравенство.
2 8 — неверное неравенство).
Кроме неравенств со знаками > и , которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки ⩾ и ⩽ . Знак ⩾ читается больше или равно , знак ⩽ — меньше или равно . Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 — верное неравенство.
Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак ≠ . Знак ≠ читается не равно . Например, запись a ≠ b — означает a не равно b.
Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками > , , ⩾ и ⩽ .
Правила чтения равенств и неравенств
Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.
Пример. 7 = 7 — семь равно семи.
Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.
Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.
Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.
Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:
Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.
Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).
Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.
Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.
Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
| 347 | 503 |
| 34 | 503 |
Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.
Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.
Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
38 526 734
38 526 734
Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.
Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.
Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.
Пример. Известно, что 4 четыре больше двух, но меньше пяти .
В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.
Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 8, которые можно записать как двойное неравенство:
Сравнить два различных натуральных числа - это значит определить, какое из них больше, а какое меньше.
2. Как, используя натуральный ряд, можно определить, какое из двух натуральных чисел меньше? Больше?
Из двух натуральных чисел меньшим является то, которое в натуральном ряду стоит раньше, а большим - то, которое в натуральном ряду стоит дольше.
3. Какое число меньше любого натурального числа?
Число 0 меньше любого натурального числа.
4. Как сравнивать натуральные числа, имеющие разное количество цифр?
Из двух натуральных чисел, имеющих разное количество цифр, большим является то, у которого количество цифр больше.
5. Какое из натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше?
Из двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество цифр, большим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.
6. Как на координатном луче расположена точка с меньшей координатой относительно точки с большей координатой?
На координатном луче точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Какое из чисел 516 и 615 расположено на координатном луче левее?
Число 516 расположено на координатном луче левее, чем число 615.
2. Какое из чисел 405 и 504 расположено на координатном луче правее?
Число 504 расположено на координатном луче правее, чем 405.
3. В 8 ч термометр показывал температуру 4, а в 14 ч - 12. Чему равна цена деления этого термометра, если его столбик поднялся на четыре деления?
Цена деления термометра равна 2°С.
4. Вычислите:
5. В коробке лежат пять красных и три зеленых карандаша. Наугад из нее вынимают по одному карандашу. Какое наименьшее количество карандашей над взять, чтобы среди них были хотя бы два красных и один зеленый?
УПРАЖНЕНИЯ
142. Прочитайте неравенство:
143. Запишите в виде неравенства утверждение:
144. Сравните числа:
145. Сравните числа:
146. Расположите в порядке возрастания числа: 894, 479, 846, 591, 701.
479, 591, 701, 846, 894.
147. Расположите в порядке убывания числа: 639, 724, 731, 658, 693.
731, 724, 693, 658, 639.
148. Назовите все натуральные числа, которые: 1) больше 678, но меньше 684; 2) больше 935, но меньше 940; 3) больше 2 934 450, но меньше 2 934 454; 4) больше 12 706, но меньше 12 708; 5) больше 24 315, но меньше 24 316.
149. Запишите все натуральные числа, которые: 1) больше 549, но меньше 556; 2) больше 1 823 236, но меньше 1 823 240; 3) больше 47 246, но меньше 47 248.
150. Отметьте на координатном луче все натуральные числа которые: 1) меньше 12; 2) больше 4, но меньше 10.
151. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звездочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
152. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звездочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
153. 1) Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 473 и меньше 664, содержащее цифру 5 в разряде десятков. Сколько таких чисел можно написать?
2) Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 578, но меньше 638, содержащее цифру 6 в разряде сотен. Сколько таких чисел можно написать? запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.
154. Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 2 364 и меньше 2 432, содержащее цифру 8 в разряде единиц. Сколько таких чисел можно написать? Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.
155. На координатном луче отметили числа 5, 12, , и (рис. 64). Сравните:
156. Маша, Катя, Петя и Дима собирали каждый в свою корзинку грибы. В одной корзинке оказалось 34 гриба, во второй - 58 грибов, в третьей - 76 грибов, в четвертой - 84 гриба. Сколько грибов собрал каждый из них, если Петя собрал больше грибов, чем Дима, но меньше, чем Катя, а Маша меньше, чем Дима?
157. Запишите в виде двойного неравенства утверждение: 1) число 7 больше 5 и меньше10; 2) число 62 меньше 0 и больше 60; 3) число 54 меньше 94 и больше 44; 4) число 128 больше 127 и меньше 129.
158. Запишите в виде двойного неравенства утверждения: 1) число 56 больше 52 и меньше 58; 2) число 258 больше 250 и меньше 261; 3) число 4 325 меньше 4 400 и больше 4 300; 4) число 999 999 меньше 1 000 000 и больше 555 558.
159. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звездочки. Сравните эти числа:
160. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звездочки. Сравните эти числа:
161. Сравните: 1) 2 км и 1 968 м; 2) 4 дм и 4 м; 3) 3 км 94 м и 3 126 м; 4) 712 кг и 8 ц; 5) 15 т и 35 ц; 6) 6 ц 23 кг и 658 кг; 7) 4 т 275 кг и 42 ц 75 кг; 8) 5 т 7 ц 36 кг и 5 т 863 кг; 9) 8 т и 81 ц; 10) 83 дм 7 см и 8 м 30 см.
162. Сравните: 1) 6 892 м и 7 км; 2) 8 см и 8 дм; 3) 4 км 43 м и 4 210 м; 4) 27 дм 3 см и 270 см; 5) 9 ц и 892 кг; 6) 2 ц 86 кг и 264 кг; 7) 3 т 248 кг и 32 ц 84 кг; 8) 12 т 2 кг и 120 ц 2 кг.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
163. Вычислите:
164. Из 24 м ткани можно сшить семь одинаковых платьев. Сколько таких платьев можно сшить из 48 м этой ткани?
165. Знаменитый университет Сорбонна, находящийся в Париже (Франция), основан в 1215 г. Он основан на 6 лет позже Кембриджского университета (Великобритания) и на 540 лет раньше Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Определите год основания: 1) Кембриджского университета; 2) Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Сколько лет исполняется в этом году Новосибирскому государственному университету, если Кембриджский университет основан раньше него на 750 лет?
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
166. Семь гномов собрали вместе 28 грибов. Все они собрали разное количество грибов, и ни у кого не оказалось пустой корзинки. Сколько грибов собрал каждый гном?
Сравнить два различных натуральных числа − это значит определить, какое из них больше, а какое − меньше.
Из двух натуральных чисел меньшим является то, которое в натуральном ряду стоит раньше, а бОльшим − то, которое в натуральном ряду стоит позже. Поэтому, например, число 5 меньше числа 7, а число 171 больше числа 19 . Результаты сравнения записывают с помощью знаков (больше): 5 7 и 171 > 19 . Такие записи называют неравенствами.
Число 0 меньше любого натурального числа. Например, 0 12 .
Сравнивать можно одновременно и три числа. Например, число 17 больше 15, но меньше 20 . Это записывают так: 15 17 20 . Такую запись называют двойным неравенством. Часто слово "двойное" опускают, называя двойное неравенство неравенством.
Натуральные числа можно сравнивать, не обращаясь к натуральному ряду.
Сравнивать многозначные числа, имеющие разное количество чисел, легко.
Из двух натуральных чисел, имеющих разное количество цифр, бОльшим является то, у которого количество цифр больше.
Например, число 597 013 617 − девятизначное, а число 99 982 475 − восьмизначное, поэтому первое число больше второго.
Если два многозначных числа имеют одинаковое количество цифр, то следует руководствоваться этим правилом.
Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр бОльшим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.
Например, 7 2 5 6 > 7 2 4 9, а 582 6 47 582 8 79 .
Отметим, что на координатном луче точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой. Например точка A( 7 ) лежит левее точки B( 9 ), так как 7 9 (рис. 63 ).
На координатном луче из двух натуральных чисел меньшее число расположено левее большего.
Пример 1 . В записи чисел вместо некоторых цифр поставили звездочки. Сравните эти числа:
1 ) Поскольку первое число трехзначное, а второе четырехзначное, то 69 * 43 ;
2 ) Цифр в этих числах поровну. Первая цифра каждого из них равна 7 . Вторы цифры этих чисел равны соответственно 2 и 0 . Поскольку 2 > 0, то 72 *** > 70 ***.
Сравнение натуральных чисел между собой – тема данной статьи. Разберем сравнение двух натуральных чисел и изучим понятие равных и неравных натуральных чисел. Выясним большие и меньшие из двух чисел на примерах. Поговорим о натуральном ряде чисел и об их сравнении. Будут показаны результаты сравнений трех и более чисел.
Сравнение натуральных чисел
Рассмотрим это на примере. Когда на дереве имеется стая, состоящая из 7 птиц, а на другом из 5 десятка птиц, то стаи считаются разными, так как не похожи друг на друга. Отсюда можно делать вывод о том, что эта непохожесть и есть сравнение.
При сравнении натуральных чисел проводится такая проверка на похожесть.
Если считать, что под сравнением натуральных чисел подразумевают действие, то оно может привести к нескольким результатам:
- Равенство. Этот случай возможен, когда числа равны.
- Неравенство. Когда числа не равны.
Когда получаем неравенство, это значит, что одно из этих чисел больше или меньше другого, что и увеличивает диапазон использования натуральных чисел.
Рассмотрим определения равных и неравных чисел. Разберем, каким образом это определяется.
Равные и неравные натуральные числа
Рассмотрим определение равных и неравных чисел.
В случае, когда записи двух натуральных чисел одинаковы, их считают равными между собой. Когда записи имеют различия, тогда эти числа неравные.
Исходя из определения, числа 402 и 402 считаются равными, также как и 7 и 7 , так как они одинаково записываются. Но такие числа, как 55283 и 505283 не равны, так как записи их не одинаковы и имеют различия, 582 и 285 разные, так как по записи отличаются.
Сравнение однозначных натуральных чисел
Однозначными числами считают ряд от 1 до 9 . Из двух записанных однозначных чисел меньше считается то, которое левее, а больше то, которое правее.
Числа могут быть одновременно больше или меньше нескольких. Например, если 1 меньше 2 , то и меньше 8 , а 5 меньше всех чисел, начиная от 6 . Это относится к каждому числу данного ряда от 1 до 9 .
Запись 4 7 – верная, а 3 > 9 – неверная.
Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел
Если принять за правило, что все однозначные числа меньше двухзначных, тогда получим:
5 10 , 6 42 , 303 > 3 , 32043 > 7 . Эта запись считается верной. Вот пример неверной записи неравенства: 3 > 11 , 733 5 и 2 > 1 020 .
Рассмотрим сравнения многозначных чисел.
Сравнение многозначных натуральных чисел
Рассмотрим сравнение двух неравных многозначных натуральных чисел с равным количеством знаков. Предварительно следует повторить раздел, изучающий разряды натурального числа и значение разряда.
В таком случае производится поразрядное сравнение, то есть слева направо. Меньшим считается число, которое имеет меньшее значение соответствующего разряда и наоборот.
Чтобы решить пример, нужно уяснить, что 0 всегда меньше любого натурального числа и что он равен самому себе. Число ноль относится к разряду натуральных чисел.
Произвести сравнение чисел 35 и 63 .
Визуально видно, что числа неравные, так как по записи они отличаются. Для начала сравним десятки данного числа. Видно, что 3 6 , а это означает, что заданные числа 35 и 63 не равны, а первое число меньше второго. Это решение записывается так: 35 63 .
Ответ: 35 63 .
Произвести сравнение заданных чисел 301 и 308 .
Визуально очевидно, что числа не равны, так как их запись отличается. Они оба трехзначные, это значит, что сравнение необходимо начинать с сотен, после чего десяток и потом единиц. Получим, что 3 = 3 , далее 0 = 0 . Единицы отличаются друг от друга, имеем: 1 8 . Отсюда имеем, что 301 308 .
Ответ: 301 308 .
Сравнение многозначных натуральных чисел производится по-другому. Большим числом считают то, которое имеет меньшее количество знаков и наоборот.
Произвести сравнение заданных натуральных чисел 40391 и 92248712 .
Визуально заметим, что число 40391 имеет 5 знаков, а 92248712 – 8 .
Это значит, что количество знаков, равное 5 , меньше 8 . Отсюда имеем, что первое число меньше второго.
Ответ: 40 391 92 248 712 .
Выявить большее натуральное число из заданных: 50 933 387 или 10 000 011 348 ?
Заметим, что первое число 50 933 387 имеет 8 знаков, а второе 10 000 011 348 – 11 . Отсюда следует, что 8 меньше 11 . Значит, число 50 933 387 меньше 10 000 011 348 .
Ответ: 10000011348 > 50933387 .
Произвести сравнение многозначных натуральных заданных чисел: 9 876 545 678 и 987 654 567 811 .
Решение
Рассмотрим, что первое число имеет 10 знаков, второе – 12 . Делаем вывод, что второе число больше первого, так как 10 меньше 12 . Сравнение 10 и 12 выполняется поразрядно. Получаем, что 1 = 1 , но 0 меньше 2 . Отсюда получаем, что 0 2 . Это говорит о том, что 10 12 .
Ответ: 9 876 545 678 987 654 567 811 .
Натуральный ряд чисел, нумерация, счет
Произведем запись натуральных чисел так, чтобы последующее было больше предыдущего. Запишем этот ряд: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Эта последовательность имеет продолжение с двузначными числами: 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 . Ряд с трехзначными числами имеет вид 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 , 100 , 101 , . . , 999 .
Эта запись продолжается до бесконечности. Такая бесконечная последовательность чисел называется натуральным рядом чисел.
Существует еще один процесс – счет. Во время счета числа называются одно за другим, то есть таким образом, как они зафиксированы по ряду. Данный процесс применим для определения количества предметов.
Исли имеется определенное число предметов, но нам необходимо узнать количество, используем счет. Он производится, начиная с единицы. Если во время пересчета перекладывать предметы в кучу, то ее можно назвать натуральным рядом чисел. Последний предмет будет являться числом их количества. Когда процесс закончен, мы знаем их число, то есть предметы пересчитаны.
Во время счета меньше то натурально число, которое находится раньше и называется раньше. Применение нумерации используется для конкретного определения предмета, то есть присваивая ему определенный номер. Например, имеем некоторое количество предметов. На каждом из них зафиксируем их порядковый номер. Таким образом производится нумерация. Она применима для различения одинаковых предметов.
Натуральные числа на координатном луче
Для начала необходимо повторить определение координатного луча.
При просмотре слева направо видим штрихи, которые означают определенную последовательность чисел, начиная от 0 и до бесконечности. Эти штрихи называют точками. Точки, расположенные левее меньше точек, расположенных правее. Отсюда следует, что точка, имеющая меньшую координату на координатном луче, расположена левее точки с большей координатой.
Рассмотрим на примере двух чисел 2 и 6 . Поставим две точки А и В на координатном луче, располагая на значениях 2 и 6 .
Наименьшее и наибольшее натуральное число
Считается, что 1 – это наименьшее натуральное число из множества всех натуральных чисел. Все числа, расположенные правее него считаются больше предыдущего. Этот ряд бесконечен, поэтому нет наибольшего числа из этого множества чисел.
Мы можем выделить наибольшее число из ряда однозначных натуральных чисел. Оно равно 9 . Это легко сделать, так как количество однозначных чисел ограничено. Аналогично находим большее число из множества двузначных чисел. Оно равняется 99 . Таким же образом выполняется поиск большего числа трехзначных и так далее чисел.
При сравнении пары чисел заметим, что возможен поиск меньшего и большего числа. Если 4 – число наименьшее, тогда 40 – наибольшее из заданного ряда: 4 , 6 , 34 , 34 , 67 , 18 , 40 .
Двойные, тройные неравенства
Известно, что 5 12 , а 12 35 . Два неравенства можно представить в виде одного двойного. Такая запись имеет вид: 5 12 35 . Отсюда видно, что при записи двойного неравенства получаем три неравенства, которые запишем 5 12 , 12 35 и 5 35 .
Запись в виде двойного неравенства применима для сравнения и трех чисел. Когда необходимо произвести сравнение 76 , 512 и 10 , мы получаем три неравенства 76 512 , 76 > 10 , 512 > 10 . Их, в свою очередь, можно записать как одно, но двойное 10 76 512 .
Таким же образом выполняются тройные, четверные и так далее неравенства.
Если известно, что 5 16 , 16 305 , 305 1 001 , 1 001 3 214 , тогда запись может быть представлена в виде 5 16 305 1 001 3 214 .
Необходимо быть внимательным при составлении двойных неравенств, так как можно произвести его неверно, что повлечет за собой неправильное решение задачи.
Читайте также: