Докажите что если две точки прямой принадлежат плоскости то вся прямая принадлежит плоскости кратко

Обновлено: 05.07.2024

Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну.

Пусть (чертеж 1.2.1). На прямой выберем произвольную точку . Проведем прямую через точки и ; , так как . По аксиоме 1.3 через прямые и можно провести плоскость . Ясно, что и . Докажем от противного, что такая плоскость единственна. Пусть существует плоскость такая, что , и . Плоскости и имеют общую прямую . Поскольку эти плоскости разные, то все их точки пересечения по аксиоме 1.2 лежат на прямой . Мы пришли к противоречию, так как точка , общая для плоскостей и , не принадлежит прямой .

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Пусть точки и прямой лежат в плоскости (чертеж 1.2.2). Возьмем точку . По теореме 1.1 через прямую и точку можно провести плоскость . Если , то и теорема доказана. Если , то по аксиоме 1.2 плоскости и имеют общую прямую . Прямые и , лежащие в одной плоскости, совпадают, так как имеют две общие точки: и . Следовательно, .

Легко доказать следующие теоремы.

Плоскость и прямая вне ее либо не имеют общих точек, либо имеют единственную общую точку.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

2 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 2

1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

По аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в плоскости.

2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

У прямой и плоскости только одна общая точка, значит прямая может лежать в плоскости, а может ее пересекать.

3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Значит плоскость параллелограмма совпадает с данной.

4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

Плоскость окружности может пересекать данную плоскость по хорде.

5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

Через любые две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Значит плоскость, в которой лежит окружность, и данная плоскость совпадают.

6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки;

если точки не лежат на одной прямой - одну;если точки лежат на одной прямой - бесконечно много;

две различные точки;

через прямую и не лежащую на ней точку;

через две параллельные прямые?

7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости;

через любые три точки проходит единственная плоскость?

неверно, надо уточнить: не лежащие на одной прямой.

8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?

нет, прямая в плоскости и данная прямая могут быть скрещивающимися (см. рисунок);

Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую, лежащую в плоскости?

нет, так как она не имеет с плоскостью общих точек.

9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?

Нет, они параллельны плоскости.

Основания и средняя линия параллельны, а если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

10. а) Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное расположение а и α; а и β ?

а║α или а лежит в α; а║β или а лежит в β (на рисунке возможные расположения прямой а).

10. б) Прямая b не параллельна линии пересечения плоскостей α и β Каково взаимное расположение b и α; b и β?

Прямая b может лежать в одной из плоскостей и пересекать другую или b может пересекать обе плоскости (см. рисунок).

11. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?

12. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.

Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

13. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости α?

Вторая прямая может лежать в плоскости, а может быть ей параллельна.

14. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.

CD║AB как противоположные стороны параллелограмма, АВ лежит в плоскости, значит CD параллельна плоскости (признак параллельности прямой и плоскости)

15. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой?

Нет, параллельные прямые должны лежать в одной плоскости.

16. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?

Нет, они могут быть скрещивающимися или пересекающимися

на рисунке для плоскости (АВС) КН и D₁C₁ скрещивающиеся, А₁С₁ и А₁В₁ пересекающиеся.

17. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

Эти прямые могут быть скрещивающимися или пересекающимися.

На рисунке для плоскости (АВС) А₁В₁ и СС₁ скрещивающиеся, а А₁В₁ и ВВ₁ пересекающиеся.

19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться?

На рисунке АА║ВВ₁, они скрещиваются с прямой DC; а прямые АА₁ и КН пересекаются, но тоже скрещиваются с прямой DC.

20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

Нет, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, а данные прямые скрещивающиеся.

21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?

На рисунке А₁С₁║АС, но А₁С₁ и BD скрещивающиеся.

22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?

Прямая может быть параллельна плоскости, а может ее пересекать.

На рисунке для плоскости (АВС) А₁С₁ и BD скрещивающиеся, А₁С₁║(АВС); АА₁ и BD скрещивающиеся, АА₁∩(АВС).

Презентация на тему: " Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, тои вся прямая принадлежит плоскости. α 1. Если плоскость β совпадает с плоскостью α, то утверждение." — Транскрипт:

2 Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, тои вся прямая принадлежит плоскости. α 1. Если плоскость β совпадает с плоскостью α, то утверждение теоремы очевидно. β Проведём через прямую а и точку С плоскостьβ Существует некая точка С, не принадлежащая прямой а. Итак, доказано, что прямая а лежит в плоскости α. Очевидно, что это прямая а. прямая а принадлежит плоскости α а А В Доказать: Дано: Доказательство. прямая а и плоскость α, точки А и В прямой а принадлежат плоскости α С 2. Если плоскость β и плоскость α не совпадает, то они пересекаются по некоторой прямой, которой принадлежит точка А.

3 Случаи взаимного расположения плоскости и прямой. α а) Прямая принадлежит плоскости А α с б) Прямая не принадлежит плоскости и не пересекает её с α в) Прямая пересекает плоскость с

Похожие презентации

Определение Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. α а - прямая, α - плоскость а а α,тогда а α.

Параллельность прямой и плоскости. Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Тогда возможны три случая взаимного.

Творческая работа учащихся по геометрии (10 класс) по теме: Параллельность прямых, прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости. Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве Прямая лежит в плоскости; Прямая и плоскость.

Теорема Две прямые, параллельные третьей прямой параллельны. прямые а и с лежат в плоскости γ. β Пусть прямые а и в лежат в плоскости β, Для случая, когда.

Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. α α β, тогда αβ β.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ ДИКТАНТ. 1 В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей через эти точки?

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Скрещивающиеся прямые.

Утверждение Через точку прямой можно провести перпендикулярную этой прямой, причём единственную. А α а в Дано: с прямая а,точка А на прямой а. Доказать:существует.

Скрещивающиеся прямые. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости A D C B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 AA 1 и CD? В каких плоскостях лежит прямая CD?

ОБОЗНАЧЕНИЯ Точка A принадлежит прямой a Точка B не принадлежит прямой a Точка A принадлежит плоскости Прямая a лежит в плоскости Прямая b не лежит в плоскости.

Параллельность прямых и плоскостей. Определение Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Теорема Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. α β γ Доказать: Дано: Доказательство. αβ, а в αγ = а,βγ.

Аксиомы стереометрии. Стереометрия Аксиома – утверждение, не требующее доказательства. В аксиомах стереометрии выражаются основные свойства точек, прямых.

Параллельные прямые в пространстве. Расположение прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямых и плоскостей 10 класс.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

10 класс Параллельность плоскостей 07.12.2013 Харитоненко Н. В. МОУ СОШ 3 с. Александров Гай.

Параллельность прямой и плоскости Выполнил: ученик 10а класса Сергеев Владислав Проверила: Данилова Л.В. Среднее общеобразовательное учреждение имени-лётчика.

Подбираем похожую презентацию.

Творческая работа учащихся по геометрии (10 класс) по теме: Параллельность прямых, прямой и плоскости

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:

Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:

Признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:

Признак параллельности прямых:

Если прямая b параллельна плоскости α , а плоскость β проходит через b и пересекает плоскость α по прямой а , то прямые а и b параллельны:

Признак параллельности прямых:

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:

Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:

Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.

Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.

АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α ;

АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α ;

В – основание перпендикуляра АВ ;

С – основание наклонной АС ;

ВС – проекция наклонной АС на плоскость α .

Свойства перпендикуляра и наклонной:

перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости;
равные наклонные, проведённые из данной точки к плоскости, имеют равные проекции; и наоборот: равным проекциям соответствуют равные наклонные;
из двух наклонных, проведённых из данной точки к одной плоскости, больше та, проекция которой больше.

Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:

Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:

Теорема про три перпендикуляра:

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:

АВ – расстояние от прямой а до плоскости α .

Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых ( a и b ) называется отрезок ( АВ ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.

Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:

АВ – расстояние между скрещивающимися a и b .

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:

Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:

Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.

Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:

α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.

Плоскость γ , перпендикулярная ребру двугранного угла KL , пересекает его грани α и β по двум полупрямым: СА и СВ . Угол АВС , образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.

Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.

Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.

Две плоскости называются перпендикулярными ( α⊥β ), если угол между ними равен 90°.

Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.

Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то

Признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:

Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:

Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:

Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

Читайте также: