Докажите что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам кратко

Обновлено: 04.07.2024

1) Пусть АВСД параллелограмм, в котором по определению АВ = СД, ВС = АД, АС и ВД - диагонали, точка О - точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольники АВО и СДО. Эти треугольники равны, так как АВ = СД,

Написать правильный и достоверный ответ;
Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Геометрия:

Контакты

Теорема 1. Свойство диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Следующая теорема выражает признаки параллелограмма.

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике:

Доказательство проведем для одного из этих признаков, например для признака 1.

Пусть ABCD — четырехугольник, у которого АВ = CD, ВС = AD (рис.1).

Докажем, что ABCD — параллелограмм, т. е. что АВ || CD, ВС || AD. Проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC. Так как АС — общая сторона, АВ = CD, ВС = AD (по условию), то Δ ABC = Δ ADC. Поэтому ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 4 = ∠ 3, а из равенства накрест лежащих углов следует параллельность прямых: ВС || AD, АВ || CD.

Пример 1. Диагональ BD параллелограмма ABCD (рис. 2) равна 8 см. Найти длину медианы к стороне АС в треугольнике ABC.

Решение. Согласно теореме 1 диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому ВО — медиана треугольника ABC к стороне АС и ВО = 1/2 * BD = 1/2 * 8 = 4 (см).

Параллелограмм. Пример 2

Две стороны параллелограмма равны 10 и 9.

Из одной вершины на две стороны опустили высоты, как показано на рисунке.

Длина большей из высот равна 6. Найдите длину другой высоты.

Геометрические фигуры изучают не только восьмиклассники и технари, но и представители творческих специальностей. Нестандартные четырехугольные формы можно встретить как в дизайне обуви, так и в современных зданиях. В этой статье расскажем о параллелограмме и его отличительных особенностях.

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

AC — общая сторона;
AB = CD по условию;
BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит
М.В. Ломоносов

Докажите теорему:

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажем, что

AO = OC и BO = OD .
Рассмотрим треугольники AOD и BOC . Они равны .

Действительно, углы ∠1 и ∠2 и ∠3 и ∠4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущих AC и BD соответственно. По теореме о свойстве противолежащих сторон параллелограмма имеем AD = BC . Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по второму признаку равенства треугольников. AO = OC и BO = OD .

Докажите теорему:

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажем, что

AO = _____ и BO = _____.
Рассмотрим треугольники AOD и __________. Они _________.

Действительно, углы ∠1 и ∠__ и ∠3 и ∠___ равны как ______________________ при ____________________________________ и секущих ___________________ соответственно. По теореме о свойстве противолежащих сторон параллелограмма имеем AD = _________ . Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по _________________ признаку равенства треугольников. AO = _______ и BO = ________.

Читайте также: