Что такое высота кратко и понятно

Обновлено: 08.07.2024

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

  • Определение высоты треугольника
  • Высота в разных видах треугольников
  • Свойства высоты треугольника
    • Свойство 1
    • Свойство 2
    • Свойство 3
    • Свойство 4

    Определение высоты треугольника

    Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

    Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

    Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).

    Высота в разных видах треугольников

    В зависимости от вида фигуры высота может:

    Свойства высоты треугольника

    Свойство 1

    Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

    Свойство 2

    При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

    Свойство 3

    Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

    Ортоцентр остроугольного треугольника как центр вписанной в его ортотреугольник окружности

    Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

    Свойство 4

    Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

    Симметричность точек на описанной вокруг треугольника окружности относительно его ортоцентра и сторон

    Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

    1. Протяженность по вертикали снизу вверх; расстояние от земной поверхности, какой-л. плоскости до чего-л., измеряемое по вертикальной линии; местоположение какой-л. точки земной поверхности вверх по вертикальной линии от уровня моря.

    Высота мачты. Высота здания равна двадцати метрам. Спрыгнуть с высоты первого этажа. Табличка повешена на высоте человеческого роста. Работы на высоте. В северной части Новой Земли встречаются высоты более 1000 метров. Высота прилива

    (разница между высшим уровнем воды при приливе и нижним ее уровнем при отливе).

    2. Пространство, находящееся высоко над землей.

    Луна сияет с высоты. Стайка птиц кружила в высоте.

    3. Холм, возвышенность.

    Пулковские высоты. Из-за высоты показался отряд. Взять высоту приступом.

    4. Величина, сила чего-л., выражаемая числовыми показателями.

    Высота артериального давления, температуры. Высота напряжения тока.

    5. чего. Перен. Высокая степень, высокий уровень развития, расцвет чего-л.

    Высота знаний. Высота искусства художника. Находиться на высоте своей славы.

    6. Астрон. Угол стояния светила над горизонтом.

    Высота солнца в час дня.

    7. Матем. Отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры на ее основание (или продолжение основания); длина этого отрезка.

    1. только ед. Протяжение снизу вверх, вышина. Высота дома. Башня большой высоты.

    | (мн. только спец. научн.). Расстояние от земной поверхности, измеряемое по вертикальной линии снизу вверх. Аэроплан летал на такой высоте, что казался маленькой птицей. Два аэроплана двигались на разных высотах. Подняться на небольшую высоту.

    2. только ед. Высоко находящееся над землей пространст, высь (книж.). Парить в высоте. Подняться в высоту.

    | Местоположение, определяемое расстоянием вверх от уровня моря (геогр.).

    5. только ед. отвлеч. сущ. к высокий во 2, 5 и 6 знач. Высота давления. Высота мысли. Высота звука. Высота голоса.

    6. Перпендикуляр, опущенный из вершины фигуры на основание ее (мат.). Высота треугольника.

    • Быть, оказаться на высоте чего или на высоте положения - удовлетворять самым строгим требованиям чего-нибудь. Компартии будут на высоте стоящих перед ними исторических задач.

    Фразеологический словарь русского языка

    Быть (или оказаться) на высоте положения - удовлетворять самым строгим требованиям

    С высоты птичьего полета - с большой высоты (видеть, обозревать что-либо)

    Словарь антонимов русского языка

    Фразеологический словарь (Волкова)

    Быть, оказаться на высоте чего или на высоте положения - удовлетворять самым строгим требованиям чего-н.

    ► Артисты были на высоте положения.

    Астрономический словарь

    одна из координат небесного светила в системе горизонтальных координат; обозначается h, измеряется дугой круга высоты между горизонтом и светилом (от 0˚ до +90˚ к зениту и от 0˚ до -90˚ к надиру).

    1) В астрономии - одна из координат небесного светила в системе горизонтальных координат; обозначается h, измеряется дугой круга высоты (большого круга небесной сферы, проходящего через зенит и надир) между математическим горизонтом и светилом (от 0 до +90 °).

    2) В геометрии - отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также усеченных параллельно основанию пирамиды и конуса - расстояние между верхними и нижними основаниями.

    Краткий словарь оперативно-тактических и общевоенных терминов

    возвышенность, изображающаяся на топографической карте одной или несколькими горизонталями. У изображения возвышенностей, командующих над окружающей местностью, обычно подписывается их абсолютная высота с точностью до 0,1 м.

    Тезаурус русской деловой лексики

    Энциклопедический словарь

    1. в геометрии - отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также усеченных параллельно основанию пирамиды и конуса - расстояние между верхними и нижними основаниями.
    2. в астрономии - одна из координат небесного светила в системе горизонтальных координат; обозначается h, измеряется дугой круга высоты (большого круга небесной сферы, проходящего через зенит и надир) между математическим горизонтом и светилом (от 0 до +90 °).

    Словарь Ожегова

    ВЫСОТА, ы, мн. оты, от, отам, ж.

    1. Величина, протяжённость чегон. от нижней точки до верхней. В. кирпичной кладки. В. прибоя. В. циклона.

    2. Пространство, расстояние от земли вверх. Смотреть в высоту. Самолёт набирает высоту. Лететь на большой высоте.

    3. Возвышенное место, возвышенность. Занять высоту.

    4. Высокий уровень развития чегон. Достигнуть новых высот. Овладеть высотами мастерства.

    5. В математике: отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры на её основание. В. треугольника.

    6. Одно из основных свойств звука результат колебаний звучащего тела (спец.). Абсолютная, относительная в.

    • На высоте (быть, оказаться) удовлетворять самым строгим требованиям.

    Поднять на принципиальную высоту что (книжн.) действовать принципиально, основываясь на строгих принципах.

    | уменьш. высотка, и, ж. (к 3 знач.).

    | прил. высотный, ая, ое (к 6 знач.).

    А значит, и прямоугольный треугольник, который поможет тебе решить массу задач!

    И самое главное – не нужно ничего запоминать.

    Научись выводить и никогда не ошибёшься, сможешь всегда себя проверить и решить любую задачу!

    Все в этой статье. Читай и смотри видео.

    Высота треугольника — коротко о главном

    Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

    Основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

    Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

    Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: \( \displaystyle A_>:B_>:C_>=\frac:\frac:\frac\).


    • Четыре способа вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:

    Способ 1. Через сторону и угол треугольника: \( \displaystyle A_>=AC\cdot \sin C=AB\cdot \sin B\).

    Способ 3. Через сторону и площадь треугольника: \( \displaystyle A_>=\frac\).

    Способ 4. Через стороны треугольника и радиус описанной окружности: \( \displaystyle A_>=\frac\), где \( \displaystyle R\) — радиус описанной окружности.

    Читай далее! Здесь не все…

    Высота треугольника — подробнее

    Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).


    На этом рисунке \( \displaystyle BH\) – высота.

    И тогда получается так:


    Как же решать задачи, в которых участвует высота?

    Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

    Но для начала решим простенькую задачку на высоту в тупоугольном треугольнике:

    В треугольнике \( \displaystyle ABC\) с тупым углом \( \displaystyle C\) проведена высота \( \displaystyle BH\). Найти \( \displaystyle AC\), если \( AB=2\sqrt\), \( BC=\sqrt\), \( BH=2\).

    Смотри: из-за того, что угол \( C\) – тупой, высота \( BH\) опустилась на продолжение стороны \( AC\), а не на саму сторону.


    Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

    Смотри их целых два:


    Применяем теорему Пифагора к треугольнику \( BCH\):

    А теперь теорема Пифагора для \( \Delta ABH\):

    Теперь осталось только заметить, что \( AC=AH-CH=6-3=3\).

    А теперь давай вернемся к нашим высотам!

    В треугольнике проведено две высоты


    Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол \( \displaystyle B\) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

    Здесь тоже подобие по двум углам: \( \angle 1=\angle 2\) (как вертикальные) и по прямому углу.


    Третий, по-настоящему неожиданный факт:


    Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

    Читать далее…

    Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
    Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

    В треугольнике проведены три высоты

    Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

    В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

    Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

    1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:


    2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:


    Что же полезного мы ещё не обсудили?

    Угол между высотами

    Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

    Итак, нам хотелось бы найти \( \displaystyle \angle \varphi \).

    Смотрим на \( \displaystyle \Delta AHC\). Замечаем, что наш \( \displaystyle \angle \varphi \) – внешний угол в этом треугольнике.

    Значит, \( \angle \varphi =\angle 1+\angle 2\).


    Чему же равны \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\)?

    Конечно, таким же образом из \( \Delta C_>A\) получается, что \( \angle 2=90<>^\circ -\angle A\).


    Теперь \( \angle ~\varphi =\angle ~1+\angle ~2=90<>^\circ -\angle ~C+90<>^\circ -\angle ~A=180<>^\circ -\angle ~A-\angle ~C\).

    Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника — \( 180<>^\circ \)! Значит, \( \angle \varphi =\angle B\).

    Итак, что получилось?

    Читать далее…

    Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
    Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

    Остроугольный треугольник и высота

    Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:


    Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

    Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

    Но тем не менее…

    Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

    Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

    Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

    Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

    И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

    Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

    ЕГЭ №6 Все о равнобедренном треугольнике

    Очень хороший вебинар, чтобы закрепить решением задач то, что вы изучили в этой статье о высоте.

    ЕГЭ №6 Все о прямоугольном треугольнике

    Важнейшая тема — прямоугольный треугольник — свойства, теорема Пифагора, тригонометрия.

    И уметь решать задачи — чем мы займемся на этом вебинаре.

    Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

    Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.


    Алексей Шевчук — ведущий курсов

    Твоя очередь!

    Ты знаешь очень много о высоте треугольника. И вот, что нужно сделать дальше. Практикуйся! Ведь я уверен, что с каждой задачей ты будешь все увереннее применять свои знания!

    Высота треугольника – не просто перпендикуляр, длину которого мы используем для нахождения площади, верно? Это кое-что покруче 🙂

    А теперь мы хотим узнать твое мнение!

    Помогла ли тебе эта статья? Понравилась ли она тебе и все ли было понятно?

    Напиши внизу в комментариях!

    А если остались вопросы, задай их! Мы непременно ответим тебе!

    Удачи на экзаменах!

    Добавить комментарий Отменить ответ

    Один комментарий


    Александр Кель :

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Дарья Сулейманова
    15 января 2018
    Сидела и готовилась к зачёту по геометрии около двух часов, заходила на множество разных сайтов. И только на вашем сайте всё написано понятным языком, без заумных терминов. Спасибо!

    Олеся
    06 апреля 2018
    Готовится с внуком к ОГЭ. Школу закончила 45 лет назад. Учили в то время просто отлично. Многое помню хорошо, но некоторые нюансы забылись. Ваш сайт очень помог. Все лаконично, по существу и без лишних заумных оборотов. Скачала ла себе на телефон. В свободное время просматриваю. С удовольствием решаю задачи. Спасибо Вам.

    Ольга
    15 февраля 2019
    А как бы еще доказать подобие треугольников HcHHa и АНС Можно без окружностей

    Алексей Шевчук
    13 февраля 2020
    Дмитрий, угол H — это угол в треугольнике AHC, но в этом треугольнике углы A и С не равны углам A и C треугольника ABC. Чтобы не возникало такой путаницы, важно (а на экзаменах даже обязательно) писать углы полностью (тремя вершинами): ∠AHC = 180 — (∠HAC + ∠HCA); ∠ABC = 180 — (∠BAC + ∠BCA) — и теперь сразу видно, что это не одно и то же.

    Андрей
    08 апреля 2020
    Очень доходчивый язык учебника. Как в старой советской школе. Я просто в восторге

    Александр (админ)
    08 апреля 2020
    Андрей, спасибо большое! Очень приятно слышать! Сравнение лестное! ))

    Читайте также: