Что такое вершины стороны периметр и диагонали многоугольника кратко

Обновлено: 05.07.2024

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, стороны ломаной — сторонами многоугольника.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Формула суммы углов выпуклого многоугольника:

180°(n — 2)

Отметим произвольную точку О внутри выпуклого многоугольника и соединим ее с вершинами. Получили n треугольников. Сумма углов одного треугольника равна 180°, а всех треугольников 180°·n.

Угол при вершине О составляет 360°. Отнимем его от суммы углов треугольников и получим сумму углов выпуклого многоугольника:

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков.

Точки называются вершинами ломаной, а отрезки — звеньями ломаной.

Ломаная называется замкнутой , если у неё концы совпадают.

Если концы ломаной не совпадают, то она называется незамкнутой .

Ломаная называется простой , если она не имеет самопересечений. Обе ломаные выше являются простыми.

Многоугольник — это простая замкнутая ломаная линия и конечная часть

Вершины ломаной линии называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне, называется диагональю многоугольника.

Многоугольник, у которого все углы меньше 180 ° , называется выпуклым многоугольником.

Пятиугольник \(ABCDE\) является выпуклым многоугольником.

В общем случае многоугольник можно назвать \(n\)-угольником, это означает, что у данного многоугольника \(n\) сторон и \(n\) вершин.

Любой выпуклый многоугольник можно разделить на треугольники. Количество треугольников на \(2\) меньше, чем количество сторон в многоугольнике.

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех многоугольника.

периметр многоугольника - это сумма длин всех сторон многоугольника*

Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? МНОГОУГОЛЬНИК-ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК ЗАМКНУТАЯ ЛОМАНАЯ. ВЕРШИНА ЭТО ТОЧКА. ОТРЕЗКИ ЭТО СТОРОНЫ МНОГОУГОЛЬНИКА. ОТРЕЗКИ СОЕДИНЯЮЩИЕ НЕ СОСЕДНИЕ ВЕРШИНЫ МНОГОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЮТСЯ ДИАГОНАЛЯМИ. ПЕРИМЕТР МНОГОУГОЛЬНИКА ЭТО СУММА ДЛИН ВСЕХ СТОРОН МНОГОУГОЛЬНИКА.
Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
МНОГОУГОЛЬНИК НАЗЫВАЕТСЯ ВЫПУКЛЫМ, ЕСЛИ ОН ЛЕЖИТ ПО ОДНУ СТОРОНУ ОТ КАЖДОЙ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЕГО СОСЕДНИЕ ВЕРШИНЫ. УГЛОМ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА, ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕРШИНЕ НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ ОБРАЗОВАННЫЙ ЕГО СТОРОНАМИ, СХОДЯЩИМИСЯ В ЭТОЙ ВЕРШИНЕ.
Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. 180 ГРАДУСОВ * (((N-2)))
Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.
Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника? 360 ГРАДУСОВ
Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником? ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ НАЗЫВАЮТ ЧЕТЫРЕХ УГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ ПОПАРНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. ДА, ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ЯВЛЯЕТСЯ ВЫПУКЛЫМ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОМ
Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ И ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ УГЛЫ РАВНЫ ПО 1 СВОЙСТВУ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пресечения делятся пополам
ДИАГОНАЛИ ДЕЛЯТСЯ В ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОПОЛАМ ПО 2 СВОЙСТВУ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
1) ЕСЛИ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ ДВЕ СТОРОНЫ РАВНЫ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, ТО ЭТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК-ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. 2) ЕСЛИ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ ПОПАРНО РАВНЫ, ТО ЭТОТ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК-ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. 3) ЕСЛИ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ ДИАГОНАЛИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ И ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ ПОПОЛАМ, ТО ЭТОТ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК- ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.
Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции? ТРАПЕЦИЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ДВЕ СТОРОНЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, А ДВЕ ДРУГИЕ НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СТОРОНЫ ТРАПЕЦИИ НАЗЫВАЮТСЯ ЕЕ ОСНОВАНИЯМИ, А ДВЕ ДРУГИЕ БОКОВЫМИ СТОРОНАМИ.
Какая трапеция называется равнобедренной? Прямоугольной?
ТРАПЕЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ РАВНОБЕДРЕННОЙ ЕСЛИ ЕЕ БОКОВЫЕ СТОРОНЫ РАВНЫ. ТРАПЕЦИЯ, ОДИН ИЗ УГЛОВ КОТОРОЙ ПРЯМОЙ, НАЗЫВАЕТСЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
Какой четырехугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны. ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ НАЗЫВАЕТСЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, У КОТОРОГО ВСЕ УГЛЫ ПРЯМЫЕ. ДИАГОНАЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА РАВНЫ ПО ОСОБОМУ СВОЙСТВУ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
Докажите что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ У КОТОРОГО ДИАГОНАЛИ РАВНЫ ЯВЛЯЕТСЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ ТАК КАК ЭТО ОСОБОЕ СВОЙСТВО ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. РОМБОМ НАЗЫВАЕТСЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, У КОТОРОГО ВСЕ СТОРОНЫ РАВНЫ. ДИАГОНАЛИ РОМБА ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ И ДЕЛЯТ ЕГО УГЛЫ ПОПОЛАМ ТАК КАК ЭТО ОСОБОЕ СВОЙСТВО РОМБА.
Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата. КВАДРАТОМ НАЗЫВАЕТСЯ ПРЯМОУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ВСЕ СТОРОНЫ РАВНЫ. 1) ВСЕ УГЛЫ КВАДРАТА ПРЯМЫЕ. 2)ДИАГОНАЛИ КВАДРАТА РАВНЫ, ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ ПОПОЛАМ И ДЕЛЯТ УГЛЫ КВАДРАТА ПОПОЛАМ.

Читайте также: