Что такое угол в геометрии кратко 7 класс

Обновлено: 07.07.2024

Углы — тип геометрической фигуры, которая образуется посредством двух лучей, выходящих из одной точки.

Обычно для названия углов используют три заглавные буквы. Ими обозначаются две точки, которые расположены на сторонах угла, а также вершины.

Важно помнить, что в названии присутствует буква, которая обозначает вершину угла. Она должна стоять между двумя буквами, которые обозначают точки на сторонах угла. Так угол на рисунке ниже может называться как ∠AOB, ∠BOA.

Посмотрите на рисунок:

Величина угла измеряется в градусах. Например, ∠AOB=24°.

Существует также другое определение угла.

Угол — тип фигуры, расположенной на плоскости, образованной двумя несовпадающими лучами, которые обладают общим началом. Сторона угла — луч, а вершиной называется общее начало сторон.

Развернутым углом называется угол, при котором обе стороны угла располагаются на одной прямой (его стороны считаются дополнительными полупрямыми на одной прямой).

Посмотрите на рисунок развернутого угла:

Вершиной угла считается точка на данной прямой. Обычно в геометрии вершину угла называют точкой O. В математике угол обозначают обычно специальным знаком — ∠ . Если стороны угла подписать малыми латинскими буквами, то для точного определения угла записывают друг после друга буквы, которые соответствуют сторонам.

Если у двух сторон обозначение в виде букв k и h, то угол будет иметь обозначение ∠kh или ∠hk.

Если используется обозначение с помощью больших букв, то стороны угла будут иметь названия OB, OA. В данном случае у угла появляется обозначение из трех латинских букв, которые записаны друг за другом, с вершиной в центре — ∠AOB, ∠BOA. Используется также обозначение с помощью цифр. Используется в том случае, когда у углов нет названий, а также обозначений в виде букв.

Посмотрите на разные обозначения углов:

Угол может делить плоскость на две части. Если угол не является развернутым, тогда меньшая часть плоскости носит название внутренней области угла, большая часть называется внешней областью угла.

Посмотрите, какие части являются внешними, а какие внутренними:

Если развернутый угол разделяется на плоскости, любая из его частей является внутренней областью развернутого угла. Внутренняя область угла считается таким элементом, который служит для вторичного определения угла.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежными углами называются два угла, которые имеют одну общую сторону, а две другие стороны считаются дополнительными полупрямыми и образуют развернутый угол.

Обратите внимание на рисунок ниже, на котором видно, что смежные углы являются дополнением друг друга до развернутого угла.

Вертикальные углы — два угла, стороны которых являются продолжениями сторон друг друга.

Посмотрите на вертикальные углы:

В случае пересечения прямых формируются 4 пары смежных углов, а также 2 пары вертикальных углов.

Посмотрите на то, как это выглядит:

Бывает несколько видов углов:

острый угол (менее 90°);
тупой угол (более 90°);
прямой угол (ровно 90°);
развернутый угол (ровно 180°).

Посмотрите, как они выглядят:

Также стоит упомянуть о накрест лежащих углах. Накрест лежащими углами называются углы, которые расположены во внутренней области в разных сторонах от секущей (то есть накрест друг от друга).

Также вспомним соответственные углы. Это вид углов, которые образуются в случае пересечения двух параллельных прямых общей секущей.

Свойства вертикальных углов:

вертикальные углы являются равными (∠AOC=∠BOD, ∠COD=∠AOB);
биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Свойства смежных углов:

сумма смежных углов равняется 180°;
угол, который является смежным с прямым, является прямым; смежный с острым — является тупым; смежный с тупым — является острым;
если два угла равны, то смежные тоже будут равны;
чем больше угол, тем смежный меньше;
биссектрисы смежных углов формируют прямой угол;
если смежные равны, то они являются прямыми.

Нахождение углов

Формулы, которые представлены ниже, подходят для нахождения углов всех типов треугольников.

∠ A = 180 ∘ - ( ∠ B + ∠ C (потому что сумма всех углов треугольника равняется 180°);

∠ A = 180 ∘ - ∠ O A B (потому что ∠OAB является внешним).

Как узнать угол в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две боковые стороны, а также два угла равны.

∠ B = 180 ∘ - 2 ∠ A ;
∠A=∠C (потому что углы при основании равнобедренного треугольника являются равными);
если ∠A=60°, то все углы равны 60°, треугольник ABC является равносторонним.

Как найти углы в прямоугольном треугольнике

Углы в прямоугольном треугольнике возможно найти при помощи двух универсальных способов, которые обрисованы выше, либо с помощью тригонометрических функций — косинуса, синуса, котангенса, тангенса.

Тригонометрические функции

Если даются две стороны, то возможно найти угол по данному алгоритму:

нужно определить, какими являются стороны в отношении к прямому углу (гипотенуза или катет) и углу, который следует найти (противолежащий\прилежащий катету);
нужно найти тригонометрическую функцию, подходящую по смыслу решения задачи;
нужно найти значение тригонометрической функции, подставив все значения сторон;
нужно вычислить угол с помощью обратной функции (арккосинус, арксинус и др).

Теоремы косинуса и синуса

Так выглядят формулы:

a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos γ

Свойства углов

Рассмотрим свойства углов треугольника:

против большей стороны лежит больший угол, а также наоборот — против большого угла лежит большая сторона;
напротив равных сторон располагаются равные углы, а также наоборот — напротив равных углов находятся равные стороны (даже если все углы в равностороннем треугольнике равны);
сумма углов треугольника равняется 180° (таким образом, каждый угол в равностороннем треугольнике равняется 60°);
если продолжить одну из сторон треугольника, получится внешний угол;
любая сторона треугольника будет меньше суммы двух иных сторон, а также больше их разности:a b−c; b a−c; c a−b;
если две параллельные прямые пересекаются секущей, то соответствующие углы равны;
две плоскости можно назвать перпендикулярными, если двугранный угол между ними равняется 90°.

Задания для самостоятельной работы

Нужно найти ∠A треугольника ABC, если ∠B будет равен 60°, а ∠C будет равен 50°.

Дано: треугольник ABC, ∠B=60, ∠C=50. Найти нужно ∠A.

По теореме ∠A+∠B+∠C=180°. То есть, ∠A+60+50=180°. ∠A+110=180. ∠A=180-110. ∠A=70°.

Нужно найти углы в треугольнике ABC, если AB=BC, внешний угол при вершине C равняется 100°.

Дано: треугольник ABC, AB=BC, ∠BCD=100°. Неизвестные ∠A, ∠B, ∠C.

По условию треугольник является равнобедренным.

Внешний угол ∠BCD, а также внутренний угол ∠C являются смежными углами, в сумме они составляют 180°.

Один из смежных углов нам дан, а, значит, возможно найти другой.

Если треугольник равнобедренный, то углы будут равны при основании: ∠C=∠A. Со знанием данных углов можно найти третий угол.

Знания школьной геометрии пригодятся в самых неожиданных ситуациях: во время ремонта, при рисовании граффити или чтобы нарезать пирог. В этой статье узнаем все про углы.

О чем эта статья:

2 класс, 5 класс

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точка O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

Что такое вершина и стороны угла

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA. Также можно назвать угол одной большой буквой, которая указывает на его вершину, например: ∠O.

Иногда встречается обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

острый
прямой
тупой
развернутый
выпуклый
полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них является прямым. Для удобства прямой угол обозначается уголком. Вот так:

На картинке изображены два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона OC перпендикулярна прямой AB, а точка O — основание перпендикуляра.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть

Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол равен 180°.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝑀𝑁𝐾 происходит следующим образом:

Вершину 𝐵 одного угла совмещаем с вершиной 𝑁 другого угла.
Сторону 𝐵𝐴 одного угла накладываем на сторону 𝑁𝑀 другого угла так, чтобы стороны 𝐵𝐶 и 𝑁𝐾 располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑀𝑁𝐾.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠𝐴𝐵𝐶

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Он обозначается так: °.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60´ = 3600´´.

Как происходит измерение угла: сначала измеряют стороны угла, а после — его внутреннюю область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать углы и прочие фигуры, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными, и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.

На чертеже отмечены три неравных угла:

Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом не обязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Краткий курс геометрии 7 класс

☑ 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства

Аксиома. Основное свойство прямой: Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Определение. Пересекающиеся прямые: Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
ТЕОРЕМА. О двух пересекающихся прямых: Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.
Аксиома. Основное свойство длины отрезка: Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и т. е. АВ = АС + СВ.
Расстоянием между точками называют длину отрезка АВ.
Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называют дополнительными.

☑ 2. Углы

Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОБ — стороны угла. Обозначение: ∠AOB или ∠ab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым (рис. 4).

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (рис. 5).
∠AOC и ∠DOB; ∠BOC и ∠AOD — вертикальные.
Вертикальные углы равны: ∠AOC = ∠DOB и ∠BOC = ∠AOD.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), ∠AOC и ∠BOC — смежные.

Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и делящий его пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9).

При пересечении двух прямых a и b третьей с (секущей) образуется 8 углов (рис. 10):

соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8, ∠3 и ∠7;
внутренние накрест лежащие: ∠4 и ∠6, ∠3 и ∠5;
внешние накрест лежащие: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8;
внутренние односторонние: ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6;
внешние односторонние: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.

☑ 3. Параллельные прямые

Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
Аксиома параллельности прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Признаки параллельности двух прямых:
• Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
• Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
• Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых:
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

☑ 4. Треугольник

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Точки А, В, С — вершины треугольника АВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ∠A, ∠B и ∠C — углы. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13): АВ = с, ВС = а, АС = b.
Р = а + b + с — периметр треугольника.

Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (см. рис. 13).
Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а и b), а сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенузой (с).
Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис. 15).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным (рис. 16).
Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 17).
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой.
4. Медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника (рис. 18). ∠CBD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (см. рис. 18): ∠CBD = ∠A + ∠C.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19).

☑ 5. Признаки равенства треугольников

I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между ними).
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 20). АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠A = ∠A₁

II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней углам).
Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 21). АВ = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁

III признак (признак равенства по трем сторонам).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 22). АВ = А₁В₁, ВС = B₁C₁, АС =А₁С₁.

Вы смотрите:
Краткий курс геометрии 7 класс

☑ 6. Соотношения между сторонами и углами треугольника

ТЕОРЕМА о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
ТЕОРЕМА о неравенстве треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: а ☑ 7. Определение вида треугольника по его сторонам

Пусть с — наибольшая сторона, тогда:
а) если с 2 2 + b 2 , то треугольник остроугольный;
б) если с 2 > а 2 + b 2 , то треугольник тупоугольный;
в) если с 2 = а 2 + b 2 , то треугольник прямоугольный.

☑ 8. Прямоугольные треугольники (некоторые свойства)

1. Сумма острых углов равна 90° (рис. 23). ∠A + ∠B = 90°.
2. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (рис. 24). a = c/2
3. Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° (рис. 24).

☑ 9. Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис. 25). АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны (рис. 26). АС = А₁С₁, ∠A = ∠A₁.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 27). АВ = А₁В₁, ∠A = ∠A₁.
4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны (рис. 28). АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁

Краткий курс геометрии 7 класс

☑ 10. Четыре замечательные точки треугольника

С каждым треугольником связаны 4 точки:
1) точка пересечения медиан;
2) точка пересечения биссектрис;
3) точка пересечения высот (или их продолжений);
4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.
Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его вершины на противолежащую сторону или ее продолжение.

В тупоугольном треугольнике (рис. 29) две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри.
В остроугольном треугольнике (рис. 30) все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высотами (рис. 31).
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника (рис. 32).
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1 (считая от соответствующей вершины).
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла от вершины до пересечения с противолежащей стороной.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанного круга (рис. 33).
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины (рис. 34, 35, 36), пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.

В тупоугольном треугольнике (рис. 34) эта точка лежит вне треугольника, в остроугольном (рис. 35) — внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы (рис. 36).
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с другом только в равностороннем треугольнике.

☑ 11. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R. На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) называется дугой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.
АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр. Обозначение: d или D. D = 2R.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис. 37).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).

☑ 12. Свойства касательных к окружности

Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (∠ACB на рис. 38).
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

☑ 13. Окружность и треугольник

1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 39).
2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечения биссектрис (рис. 40).

Луч – часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились с некоторыми геометрическими понятиями: прямая, точка, отрезок. Сегодня мы рассмотрим ещё два понятия, часто встречающиеся в геометрии – это луч и угол.

Для начала, вспомним, как строятся и обозначаются лучи и углы.

Для этого проведём прямую а, отметим на ней точкуО, которая разделит прямую на две части. Эти части прямой называются лучами, исходящими из точки О. А сама точка О, называется началом каждого из лучей.

Луч принято обозначать как одной малой латинской буквой, например, а.

Или двумя большими латинскими буквами, например, ОА.

При этом стоит помнить, что первая буква всегда обозначает начало луча, а вторая– это любая точка на луче.

Теперь рассмотрим понятие угол.

Начнём с определения.

Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Лучи – это стороны угла.

В данном случае, это стороны ОА и ОВ.

Общее начало сторон, в данном случае О – это вершина угла.

Углы принято обозначать как двумя малыми латинскими буквами, по названию сторон угла, например, ∠hk,

так и тремя большими латинскими буквами, например, тот же угол можно обозначить ∠АОВ, где вершина угла будет стоять в середине обозначения угла.

Или одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла. Например, тот же угол можно обозначить буквой∠О, по вершине угла.

Далее введём понятия, связанные с углами.

Во-первых, рассмотрим угол, который называют развёрнутым, его обе стороны лежат на одной прямой. Например, ∠С– развёрнутый.

В дальнейшем будем рассматривать углы меньше развёрнутого.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Во-вторых, плоскость, на которой изображён любой угол, кроме развёрнутого, делится на две области: внутреннюю и внешнюю.

В развёрнутом углу, любая часть считается внутренней.

На рисунке изображён угол. Какие из точек лежат внутри угла и вне его?

Внутри угла лежат точки: М, Е, К.

Вне угла лежат точки: Р, D, N.

Отметим, что точкиВ и С лежат на сторонах углаО.

Продолжая изучать углы, отметим, что если внутри угла из его вершины провести луч, то он разделит угол на два угла.

Например, луч ОС делит ∠АОВ на два угла – ∠ВОС и ∠АОС.

Итак, сегодня мы повторили некоторые сведения о луче и углах; сформировали представления о внутренней и внешней областях угла, меньше развернутого, познакомились с различными обозначениями луча и угла.

Материал для углубленного изучения

Мы разобрали понятие угол, связанное с планиметрией. Но как отмечалось ранее, у геометрии есть ещё один раздел – стереометрия, который изучается в старших классах. Этот раздел изучает пространственные фигуры, одна из таких фигур–двугранный угол. Дадим ему определение: двугранный угол – пространственнаягеометрическая фигура, образованная двумяполуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Двугранный угол имеет стороны (иначе их называют грани), это полуплоскости α и β, и ребро, в данном случае это прямая АВ. Как измерить такие углы и их разновидности, вы узнаете в курсе геометрии 10 класса.

Тренировочные задания.

№ 1. Какие из точек лежат на стороне угла?

Посмотрите на рисунок. На нём изображён угол ВОС, соответственно точки B и C лежат на сторонах угла, других точек нет.

№ 2. Сколько углов изображено на рисунке?

Решение. Перечислим все углы, изображённые на рисунке.

СОВ, ВОА, АОD, DОС и развёрнутые углы СОА и DОВ. Получается 8 углов.

Читайте также: