Что такое тождество кратко
Обновлено: 05.07.2024
Тождество — это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.
Тождественные выражения
Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:
x(5 + x) и 5x + x 2 .
Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.
Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:
Буквенные и числовые тождества
Буквенное тождество — это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:
(a + b)m = am + bm;
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Числовое тождество — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:
Тождественные преобразования выражений
Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.
При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.
Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:
10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x.
Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.
Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.
Что представляет собой тождество
Начнем с определения понятия тождества.
Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.
По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.
Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.
Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.
Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.
Знак тождества
Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.
Примеры тождеств
Обратимся к примерам.
Числовые равенства 2 ≡ 2 и - 3 ≡ - 3 это примеры тождеств. Согласно определению, данному выше, любое верное числовое равенство по определению является тождеством, а приведенные равенства верные. Их также можно записать следующим образом 2 ≡ 2 и - 3 ≡ - 3 .
Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .
Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.
Возьмем равенство 3 · ( x + 1 ) = 3 · x + 3 . Это равенство является верным при любом значении переменной x . Подтверждает сей факт распределительное свойство умножения относительно сложения. Это значит, что приведенное равенство является тождеством.
Возьмем тождество y · ( x − 1 ) ≡ ( x − 1 ) · x : x · y 2 : y . Рассмотрим область допустимых значений переменных x и y . Это любые числа, кроме нуля.
Возьмем равенства x + 1 = x − 1 , a + 2 · b = b + 2 · а и | x | = x . Существует ряд значений переменных, при которых эти равенства неверны. Например, при при x = 2 равенство x + 1 = x − 1 обращается в неверное равенство 2 + 1 = 2 − 1 . Да и вообще, равенство x + 1 = x − 1 не достигается ни при каких значениях переменной x .
Во втором случае равенство a + 2 · b = b + 2 ·a неверно в любых случаях, когда переменные a и b имеют различные значения. Возьмем a = 0 и b = 1 и получим неверное равенство 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0 .
Равенство, в котором | x | - модуль переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .
Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.
Если вспомнить тригонометрию и логарифмы, то здесь мы также можем найти примеры тождеств. Это основное логарифмическое тождество a log a b = b и основное тригонометрическое тождество вида sin 2 α + cos 2 α = 1 .
В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.
1. Полное сходство, подобие предметов, явлений друг другу или самим себе. Тождество взглядов. Тождество условий. □ Затвердили себе, что май есть май, да и кончено: по закону тожества, говорят, так выходит. А какое тут тожество? У людей май бывает светел и радостен; а у нас что! Добролюбов, Вступления к Свистку. || Соответствие чего-л. чему-л. [Эта статья] лишь первая в ряду предположенных мною статей о тожестве условий материального благосостояния с требованиями разума и совести. Чернышевский, Письмо В. А. Гольцеву, 19 авг. 1888.
2. Мат. Равенство, которое справедливо при всех числовых значениях входящих в него обозначений. Тригонометрические тождества.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
- То́ждество, тожде́ственность — многозначные термины.
Тождество (математика) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных.
Тождество (философия) — полное совпадение свойств предметов.
Тождественность в физике — характеристика объектов, при которой замена одного из объектов другим не изменяет состояние системы при сохранении данных условий.
Закон тождества — один из законов логики.
Принцип тождественности — принцип квантовой механики, согласно которому состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте, и такие состояния должны рассматриваться как одно физическое состояние.
то́ждество
1. матем. равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных (равенство, верное при любых значениях переменных), например
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова сторожок (существительное):
Ассоциации к слову «тождество»
Синонимы к слову «тождество»
Предложения со словом «тождество»
- Предпосылкой выполнимости закона тождества является возможность различия и отождествления тех объектов, о которых идёт речь в процессе размышления, что не всегда выполняется на практике в силу изменчивости этих объектов.
- В конце концов на большей глубине открывается, что Истина, целостная истина есть Бог, что истина не есть соотношение или тождество познающего, совершающего суждение субъекта и объективной реальности, объективного бытия, а есть вхождение в божественную жизнь, находящуюся по ту сторону субъекта и объекта.
Сочетаемость слова «тождество»
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.
Классическая логика — термин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.
Логика первого порядка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.
7 класс. Алгебра.
В математике и, в более общем плане, в научных областях тождество — это открытие, что два математических объекта (имеющих два разных математических сценария) на самом деле являются одним и тем же объектом. В частности, тождество — это равенство между двумя выражениями, которое истинно независимо от значений различных используемых переменных. Тождества обычно используются для преобразования одного математического выражения в другое, особенно для решения уравнения.
Определение тождества
Равенство, которое является верным при любом значении, входящей в него переменной, называется тождеством. Тождество, как и уравнение, имеет переменную — x, y или любую другую букву. Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что уравнение имеет корень — то есть значение переменной, при которой выполняется данное равенство. А в тождестве равенство должно выполняться при любом значении переменной. То есть, равенство не всегда будет тождеством.
является уравнением, поскольку верно только при .
А равенство является и тождеством и уравнением, так как верно при любом значении переменной , и как решение уравнения — — любое число.
Тождественно равными называются два выражения, если соответственные значения их равны при любых значениях переменных.
Тождественным преобразованием называется замена выражения тождественно равным ему выражением. Например, когда мы раскрываем скобки, то выражение заменяется тождественно ему равным.
Пример: — это тождественное преобразование левой части выражения — получаем тождество.
Уравнение или тождество
Как и уравнение, тождество имеет переменную. Уравнение содержит вопрос: при каких значениях переменной получается равенство. Тождество — это утверждение в том, что равенство верно при любом значении переменной.
Тождествами являются равенства, с помощью которых записываются все свойства сложения и умножения (переместительное, распределительное, сочетательное и т.д.)
Определите, где в перечисленных ниже выражениях будет тождество, а где только уравнение.
Вы увидите, что все выражения, кроме третьего, являются уравнениями. А тождество у нас получается только в третьем выражении, так как при раскрытии скобок в правой части уравнения, мы получаем взаимоуничтожение переменных в правой и левой частях равенства, которое остается верным.
Очень часто тождества используются в тригонометрии. Вы можете посмотреть статью на эту тему подробнее: тригонометрические тождества часть 1 и тригонометрические тождества часть 2.
Например, самое известное, так называемое основное тригонометрическое тождество:
— верно при любом значении .
Например, замечательное тождество , которое истинно независимо от элементов и (например, относительных целых чисел или поля действительных чисел . ), позволяет понять методы вычисления вавилонян для выполнения умножения:
,
.
То есть, умножение осуществлялось с помощью вычитания квадратов чисел — для этого у вавилонян имелись таблицы квадратов чисел.
А еще вы можете ознакомиться с основным логарифмическим тождеством. Удачи при изучении математики.
Читайте также: