Что такое таблица истинности кратко

Обновлено: 03.07.2024

Эта лицензия позволяет другим редактировать, поправлять и брать за основу ваше произведение в некоммерческих целях до тех пор пока они указывают вас в качестве автора и лицензируют их новые творения на идентичных условиях.

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

На данной странице будут рассмотрены 6 логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность и исключающие или, которых вам будет достаточно для решения сложных логических выражений. Также мы рассмотрим порядок выполнения данных логических операций в сложных логических выражениях и представим таблицы истинности для каждой логической операции.

Высказывание - это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).

Логические операции - мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

Логическое выражение - устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

Сложное логическое выражение - логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложенное выражение ложно.

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженbя ложны.
Обозначение: F = A v B.

Таблица истинности для дизъюнкции

A	B	F
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Обозначение: F = ¬ A.

Таблица истинности для инверсии

A	¬ А
1	0
0	1

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Обозначение: F = A → B.

Таблица истинности для импликации

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

6) Операция XOR (исключающие или)

Обозначение: F = A ⊕ B .

A	B	F
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Таблицы истинности можно составить и для произвольной логической функции F(a, b, c…).

В общем случае таблицы истинности имеют размер 2 N строк комбинаций для N независимых логических переменных.

Поскольку таблица истинности выражения состоит из строк со всеми возможными комбинациями значений переменных, она полностью определяет значение выражения.

Законы алгебры логики

Те, кому лень учить эти законы, должны вспомнить алгебру, где знание нескольких способов преобразования позволяет решать очень сложные уравнения.

Строго говоря, это не законы, а теоремы. Но их доказательство не входит в программу изучения. Впрочем, доказательство обычно основывается на построении полной таблицы истинности.

Замечание. Знаки алгебры логики намеренно заменены на сложение и умножение.

Замена операций импликации и эквивалентности

Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:

A → B = ¬ A \/ B

Для замены операции эквивалентности существует два правила:

В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

Логическая функция – это функция, у которой значения переменных и значение функции выражают логическую истинность.

Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

Обозначение:

2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.

Обозначение:

3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

Обозначение:

4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.

Обозначение:

5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Обозначение:

6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

Обозначение:

7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.

Обозначение:

Порядок выполнения логических операций

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:

Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквиваленция
Штрих Шеффера
Стрелка Пирса

Для последних двух операций приоритет не определен.

Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.

Примеры решения задач

Задание

Составить таблицу истинности для функции $((A\to B)\wedge A)\leftrightarrow \overline$

Решение

Составим таблицу истинности для заданной функции, которая содержит две переменные и . В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных функций и в последнем столбце — значение функций. В результате получим таблицу:

$(A\wedge B \leftrightarrow B\wedge C)\vee (\bar<C> \to A)$

I –

II –

III –

$\bar<C> IV –$

$\bar<C> V – \to A$

$(A \wedge B \leftrightarrow B\wedge C)\vee (\bar<C> VI – \to A)$

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.

Содержание

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Таблицы истинности для некоторых троичных логических функций

x	2	1	0	2	1	0	2	1
y	2	2	2	1	1	1	0	0
Минимум	2	1	0	1	1	0	0	0

x	2	1	0	2	1	0	2	1
y	2	2	2	1	1	1	0	0
Максимум Минус.	2	2	2	2	1	1	2	1

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0
Webb(x,y)	0	0	0	0	2	2	0	2	1

См. также

Примечания

Литература

Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. — М .: Наука, 1966. — (Математическая логика и основания математики).

Ссылки

Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Булева алгебра
Математическая логика
Логика

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Таблица истинности" в других словарях:

таблица истинности — таблица, с помощью которой устанавливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. В классической математической логике предполагается, что каждое простое (не содержащее логических… … Словарь терминов логики

таблица истинности — teisingumo lentelė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean operation table; truth diagram; truth table vok. Wahrheitstabelle, f rus. таблица истинности, f pranc. table de vérité, f … Automatikos terminų žodynas

ИСТИННОСТИ ТАБЛИЦА — ИСТИННОСТИ ТАБЛИЦА см. Логика высказываний. Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001 … Философская энциклопедия

диаграмма истинности — таблица истинности — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы таблица истинности EN truth diagram … Справочник технического переводчика

Карта Карно — Рис. 1 Пример Куба Карно Куб Карно графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного… … Википедия

ЭЛЕКТРОННЫЕ СХЕМЫ — графические изображения и элементы многочисленных и разнообразных приборов и устройств электроники, автоматики, радио и вычислительной техники. Проектирование и разработка базовых электронных схем и создаваемых из них более сложных систем как раз … Энциклопедия Кольера

Троичные функции — Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа , где троичное множество, а неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества цифровые… … Википедия

Полином Жегалкина — Полином Жегалкина многочлен над кольцом , то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином был предложен в 1927 году… … Википедия

Решение задач становится проще, если подойти к условию формально, выделив важные компоненты и связи. А если перевести это на язык логических операций, решать их станет также просто, как элементарные математические примеры. Это значительно ускорит процесс и избавит от лишней информации. Еще знание логических функций позволяет составлять простые электрические схемы.

План урока:

Способы решения задач по логике

Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:

рассуждая над условием;
решая логические операции;
используя таблицы истинности.

Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.

Этапы решения логических задач:

Разобраться с условием на естественном языке, выделив простые высказывания, и дать им символьные обозначения (латиница).
Записать условие в виде формулы. Решить ее поэтапно, упрощая, учитывая приоритеты (( ), ¬, &, V).
Просчитать формулы строчно или при помощи таблиц истинности, учитывая законы алгебры логики.
Проверить, соответствует ли полученный результат условию задачи.

Табличный способ – этапы, особенности

Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.

Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.

Метод таблиц

Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.

Существует общий алгоритм построения таблиц:

Определить число логических значений/переменных (n) в примере.
Установить вид, число и тип операций. Важно заранее определить очередность действий, выразить это при помощи скобок.
Полученные данные позволяют рассчитать сколько нужно столбцов – это сумма числа переменных и операций.
Нарисовать таблицу, заполнить шапку, записав обозначение переменных и выбранные действия.
Определить, сколько существует наборов логических переменных (т.е. число строчек) по формуле m = 2 n + 1 (шапка).
Заполнить столбцы, вписав наборы значений логических переменных (0 или 1).
Записать результаты логических операций, указанных в шапке для каждой совокупности значений.
Сделать выводы на основании полученных результатов.

Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:

с 2-мя переменными может быть только 4 набора логических переменных;

Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.

Обязательно учитывают приоритет операций:

Указанные в скобках.
Отрицание.
Логическая конъюнкция чисел.
Дизъюнкция.
Строгая дизъюнкция.
Импликация.
Эквивалентность.

Обозначение логических операций:

Сравнение методов решения

Метод рассуждений

Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.

Пример №1.

Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.

дом плотника правее егеря;
стоматолог проживает левее егеря;
дом гитариста с самого краю;
стоматолог живет рядом с гитаристом;
Владимир не гитарист, и его дом не соседствует с гитаристом;
дома Дмитрия и егеря соседние;
здание, в котором прописан Андрей, правее стоматолога;
между домами Андрея и Дмитрия один дом.

Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:

Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:

Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.

Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.

Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.

Табличный метод

Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).

Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:

Разбить задачу на простейшие утверждения, которые обозначить символами (большие буквы латинского алфавита).
Записать условие задачи, как составное выражение из символов логических операций.
Нарисовать таблицу истинности для полученных данных.
Выбрать такой вариант, при котором полученные значения подходят под условие.
Проверить соответствие выбранного варианта и условия задачи.

Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:

Рассмотрим тот же пример.

Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:

Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.

Пример 2.

Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.

Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:

Запишем выясненные данные при помощи логических операций:

Пример 3.

Если А получит максимальный бал, то максимальный бал получат Ви С.
А и С получат или не получат максимальный бал одновременно.
Необходимым условием получения высшего бала С класса является получение высшего бала В классом.

По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.

Выясним, какие же классы добились высшего бала.

Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:

Запишем логические операции, описанные в примере:

Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.

Пример 4.

Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:

последняя – гласная (Х1);
или первая буква согласная (Х2)
вторая – согласная (Х3).

Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.

Решим задачу, используя таблицу.

Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:

Указанному условию соответствует первое имя.

Пример 5.

Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.

Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.

Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале).Уже на второй фразе получается противоречие всему.

Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.

Построение электронных схем, реализующих логические операции

Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.

Электросхема с конъюнктором

Рассмотрим все варианты:

Дизъюнктор, схема электропитания

Рассмотрим этот вид электрической цепочки:

Все контакты включены – лампа горит.
Первый контакт включен, второй выключен – свет горит.
Обратная ситуация – выключен первый, включен второй – лампа светится.
Все контакты выключены – света нет.

Инвертор в электросхемах

В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.

Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.

Обозначение логических элементов

Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.

Читайте также: