Что такое спираль архимеда кратко

Обновлено: 04.07.2024

В Архимедова спираль (также известный как арифметическая спираль) это спираль назван в честь III века до нашей эры Греческий математик Архимед. Это локус точек, соответствующих местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловая скорость. Эквивалентно в полярные координаты (р, θ) его можно описать уравнением

с действительные числа а и б . Изменение параметра а перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительный а к θ = 0 и отрицательный а к θ = π ), пока б контролирует расстояние между петлями.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от начальной точки пропорционально углу θ по прошествии времени.

Архимед описал такую спираль в своей книге. На спиралях. Конон Самосский был его другом и Паппус заявляет, что эта спираль была открыта Кононом. [1]

Содержание

Вывод общего уравнения спирали.

А физический подход используется ниже для понимания понятия спиралей Архимеда.

Предположим, что точечный объект движется в Декартова система с постоянным скорость v направлен параллельно Икс -оси относительно ху -самолет. Пусть на время т = 0 , объект находился в произвольной точке (c, 0, 0) . Если ху самолет вращается с постоянной угловая скорость ω о z -оси, то скорость точки относительно z -axis можно записать как:

В ху плоскость поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) о происхождении во времени т . (c, 0) положение объекта в т = 0 . п положение объекта во время т , на расстоянии р = vt + c .

Здесь vt + c модуль вектор положения частицы в любое время т , v_Икс - компонента скорости вдоль Икс ось и v_у компонент вдоль у -ось. Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интеграция по частям, что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctan у / Икс ) или же

Его полярная форма

Характеристики

Оскулирующие круги архимедовой спирали. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, в которых круги особенно близки друг к другу.

Спираль Архимеда имеет два рукава, одно для θ > 0 и один для θ . Два плеча плавно соединены в начале координат. На прилагаемом графике показана только одна рука. Сделав зеркальное отображение этой руки через у - ось уступит другую руку.

Для больших θ точка движется с хорошо приближенным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Общая архимедова спираль

Иногда термин Архимедова спираль используется для более общей группы спиралей

Нормальная архимедова спираль возникает, когда c = 1 . К другим спиралям, попадающим в эту группу, относятся: гиперболическая спираль ( c = −1 ), Спираль Ферма ( c = 2 ), а литуус ( c = −2 ). Практически все статические спирали, встречающиеся в природе, являются логарифмические спиралиа не архимедовы. Многие динамические спирали (например, Спираль Паркера из Солнечный ветер, или узор, сделанный Екатерининское колесо) архимедовы.

Приложения

Один метод квадрат круга, согласно Архимеду, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как можно использовать спираль для разрезать угол. Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]

Спираль Архимеда имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры, используемые для сжатия газов, имеют роторы, которые могут быть выполнены из двух чередующихся архимедовых спиралей, эвольвенты круга такого же размера, как спирали Архимеда, [4] или гибридные кривые. Архимедовы спирали можно найти в спиральная антенна, который может работать в широком диапазоне частот. Катушки смотреть пружины баланса и канавки очень ранних грампластинки образуют архимедовы спирали, делая канавки равномерно расположенными (хотя позже было введено переменное расстояние между дорожками, чтобы максимально увеличить количество музыки, которую можно было нарезать на пластинку). [5] Попросить пациента нарисовать спираль Архимеда - это способ количественной оценки человеческого тремор; эта информация помогает в диагностике неврологических заболеваний. Архимедовы спирали также используются в цифровая обработка света (DLP) проекционные системы для минимизации "эффект радуги", создавая впечатление, что несколько цветов отображаются одновременно, хотя на самом деле красный, зеленый и синий чередуются чрезвычайно быстро. [6] Кроме того, спирали Архимеда используются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий с помощью спирального диска. [7] Они также используются для моделирования узора, который появляется на рулоне бумаги или ленты постоянной толщины, намотанной вокруг цилиндра. [8] [9]

Спираль Архимеда — это линия, которая напоминает спираль и выражается определенным уравнением. Открытие кривой приписывается Конону Самосскому, ученику Архимеда. В честь его учителя — спираль названа спиралью Архимеда. Давайте же разберемся с этой линией и попробуем ее самостоятельно построить.

Спираль Архимеда

Линия, которую называют спиралью Архимеда, строится в полярных координатах и определяется уравнением:

Здесь — это положительное число, — полярный радиус.

Другие названия: равносторонняя спираль, неоид.

Как построить спираль Архимеда

Чтобы построить спираль Архимеда, нужно присваивать некоторые произвольные значения и определять . Построим таблицу значений:


0	0
$\frac<\pi>$	$\frac<\pi>a$

$\frac<3\pi>$	$\frac<3\pi>a$

Данная таблица показывает, что при возрастании угла в арифметической прогрессии с разностью " width="9" height="19" />
полярный радиус возрастает тоже в арифметической прогрессии с разностью " width="21" height="19" />
. Кроме того, заметим, что всякой точке этой линии с положительными координатами соответствует на этой линии точка , то есть спираль Архимеда симметрично расположена относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно к полярной оси.

На рисунке изображена спираль Архимеда — сплошной линией изображена ветвь, соответствующая положительным значениям , а пунктирной — отрицательным.

Спираль Архимеда — это траектория точки, равномерно движущейся по прямой линии плоскости, причем эта линия равномерно поворачивается вокруг одной из своих точек.

Спираль Архимеда активно используется в искусстве, посмотрите:

Видео — как нарисовать спираль Архимеда

Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ, узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и золотое сечение, при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.

Виток Архимеда

Кривая, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль луча, вращающегося с неизменной угловой скоростью вокруг своего начала, называется так: "спираль Архимеда". Построение ее проводят следующим образом: задают ее шаг - а, проводят из центра О окружность радиусом, равным шагу спирали, шаг и окружность делят на несколько равных частей, нумеруя точки деления.

Символичность

Поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и лунных фаз, ход истории, человеческой жизни). Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики.

Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.

Спираль Архимеда и последовательность Фибоначчи

Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи. Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.

Спиральная симметрия

Фактор времени, сочетающийся с вращением и направленным движением, формирует форму спирали. Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, имеют отношение ко времени, не к пространству. Они присутствуют в основном в узорах, реже - в архитектуре.

Применение в технике

Ныне спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.

Резьб (также известный как арифметическая спираль ) представляет собой спираль , названной в честь третьего века до нашей эры греческого математика Архимеда . Это геометрическое место, соответствующее местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в полярных координатах ( r , θ ) его можно описать уравнением

р знак равно а + б θ

с действительными числами a и b . Изменение параметра a перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительное значение a в направлении θ = 0 и отрицательное значение a в направлении θ = π ), в то время как b контролирует расстояние между петлями.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от точки старта пропорционально углу θ с течением времени.

Содержание

Ниже используется физический подход для понимания понятия спиралей Архимеда.

Предположим, что точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью v, направленной параллельно оси x относительно плоскости xy . Пусть в момент времени t = 0 объект находился в произвольной точке ( c , 0, 0) . Если плоскость xy вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z , то скорость точки относительно оси z может быть записана как:

В ху плоскость поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) вокруг начала координат в времени т . ( c , 0) - положение объекта при t = 0 . P - это положение объекта в момент времени t на расстоянии R = vt + c .

| v 0 | знак равно v 2 + ω 2 ( v т + c ) 2 v Икс знак равно v потому что ⁡ ω т - ω ( v т + c ) грех ⁡ ω т v у знак равно v грех ⁡ ω т + ω ( v т + c ) потому что ⁡ ω т | v_ | & = + \ omega ^ (vt + c) ^ >> \\ v_ & = v \ cos \ omega t- \ omega (vt + c) \ sin \ omega t \\ v_ & = v \ sin \ omega t + \ omega (vt + c) \ cos \ omega t \ end < выровнено>>>

Здесь vt + c - модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , v _x - составляющая скорости вдоль оси x, а v _y - составляющая вдоль оси y . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctg у / Икс ) или же

Его полярная форма

Оскулирующие круги спирали Архимеда. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, в которых круги особенно близки друг к другу.

Спираль Архимеда имеет два рукава: одно для θ > 0 и одно для θ . Два плеча плавно соединены в начале координат. На прилагаемом графике показана только одна рука. Если сделать зеркальное отображение этого плеча по оси y, получится другое плечо.

Для больших θ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью [2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

Иногда термин архимедова спираль используется для более общей группы спиралей.

Нормальная архимедова спираль возникает при c = 1 . Другие спирали, попадающие в эту группу, включают гиперболическую спираль ( c = −1 ), спираль Ферма ( c = 2 ) и литуус ( c = −2 ). Практически все статические спирали, встречающиеся в природе, являются логарифмическими , а не архимедовыми. Многие динамические спирали (например, Parker спирали от солнечного ветра , или рисунка , сделанного колеса Екатерины ) являются архимедова.

Один из методов возведения круга в квадрат , изобретенный Архимедом, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как с помощью спирали можно разрезать угол пополам . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. [3]

Читайте также: