Что такое пропорция кратко

Обновлено: 17.05.2024

Частное от деления числа a на число b называют отношением числа a к числу b .

Число a называют предыдущим членом отношения, число b – последующим членом отношения.

Пропорцией называют равенство двух отношений:

Иногда пропорцию записывают так:

И в одной, и во второй формах записи пропорции числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.

Для любой пропорции справедливо следующее равенство, которое называют основным свойством пропорции:

Словесно это равенство можно сформулировать так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

Для того, чтобы доказать основное свойство пропорции, умножим пропорцию на выражение .

В результате получим:

что и требовалось доказать.

Основное свойство пропорции позволяет по трем любым известным членам пропорции найти четвертый неизвестный член пропорции. Покажем это на двух примерах.

ПРИМЕР 1 . Найти неизвестный член пропорции x , если

РЕШЕНИЕ . Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:

ПРИМЕР 2 . Найти неизвестный член пропорции x , если

РЕШЕНИЕ . Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:

Из основного свойства пропорции легко вытекают также свойства пропорции, которые называют перестановкой членов пропорции. Эти свойства формулируются так: если

Производные пропорции

Справедливы также свойства пропорции, которые называют производными пропорциями. Эти свойства формулируются так: если

В качестве примера докажем первое из указанных свойств (остальные свойства доказываются аналогично). Для этого к обеим частям пропорции

достаточно прибавить 1. В результате получаем,

что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ . Последнее из свойств пропорций является наиболее общим и может быть доказано, например, с помощью основного свойства пропорции.

Содержание

Основные свойства пропорций

Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d, то ad = bc.
Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то

Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то

Составные (непрерывные) пропорции

Историческая справка

Литература

Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — пер. с голл. И. Н. Веселовского — М.: ГИФМЛ, 1959

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Пропорция" в других словарях:

ПРОПОРЦИЯ — (лат., от pro для, и portio часть, порция). 1) соразмерность, согласование. 2) отношение частей между собою и к их целому. Отношение величин между собою. 3) в архитектуре: удачные размеры. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИЯ — ПРОПОРЦИЯ, пропорции, жен. (книжн.) (лат. proportio). 1. Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. 2. Равенство двух… … Толковый словарь Ушакова

пропорция — отношение, соотношение; соразмерность. Ant. диспропорция Словарь русских синонимов. пропорция см. соотношение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов

ПРОПОРЦИЯ — жен., франц. соразмерность; величина или количество, отвечающее чему либо; | мат. равенство содержания, одинаковые отношения двойной четы цифры; арифметическая, если второе число на столько же более или менее, первого, на сколько четвертое против … Толковый словарь Даля

ПРОПОРЦИЯ — (лат. proportio) в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b =c/d … Большой Энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ — ПРОПОРЦИЯ, в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b=с/d. Непрерывной пропорцией называют группу из трех или более величин, каждая из которых имеет одно и то же отношение к последующей величине, как, например, в… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ — ПРОПОРЦИЯ, и, жен. 1. В математике: равенство двух отношений (в 3 знач.). 2. Определённое соотношение частей между собой, соразмерность. П. в частях здания. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

ПРОПОРЦИЯ — англ. proportion; нем. Proportion. 1. Соразмерность, определенное соотношение частей целого между собой. 2. Равенство двух отношений. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

пропорция — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ratedegreeDdegdrratio … Справочник технического переводчика

ПРОПОРЦИЯ — равенство двух (см.), т.е. а: b = с: d, где а, b, с, d члены пропорции, причём а и d крайние, b и с средине. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: ad = bс … Большая политехническая энциклопедия

пропорция — и; ж. [лат. proportio] 1. Соразмерное соотношение частей между собой. Соблюсти все архитектурные пропорции. Идеальная п. частей тела. 2. Определённое количественное соотношение между чем л. Нарушить пропорцию. Смешав ягоды с песком в пропорции… … Энциклопедический словарь

Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение равно отношению

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Дроби, из которых составлена пропорция, всегда равны. Например, если в пропорции выполнить деление в обеих дробях, то получится число 2 в обеих частях:

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

Преобразуем данное отношение в дробь

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

Преобразуем данное отношение в дробь:

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:

В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.

Поэтому отношение не пропорционально отношению .

Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2 . Понятно, что 2 равно 2.

Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями и знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения и равны между собой:

Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.

4 × 4 = 2 × 8

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция составлена правильно.

Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция

Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция составлена неправильно.

Поэтому в пропорции разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

В настоящей статье речь пойдёт о математической пропорции, о том, что если удаётся свести решаемую задачу к ней, то найти значение неизвестной величины не составит никакого труда. Надо лишь научиться "ходить" по пропорции. Я научу Вас этому, покажу, какие математические действия стоят за нашими "прогулками". Покажу на примерах, как это работает.

В основе понятия "математической пропорции" лежит другое важнейшее понятие математики - "отношение" двух чисел, отличных от нуля (см. картинку 1).

Что же из себя представляет пропорция в математике?

Пропорцией в математике называется равенство отношений двух (и более) пар чисел a, b и с, d, т.е. равенство вида a : b = c : d или

Ключевым в этом определении является "равенство отношений" или "равенство дробей".

Следует ли равенство отношений (дробей) воспринимать как уравнение, если в нём одна из величин неизвестна? Безусловно, да. Значит, к пропорции можно применить все те равносильные преобразования, которые мы применяем при решении уравнений: 1) умножение (деление) обеих частей уравнения на не равное нулю число; 2) прибавление (вычитание) к обеим частям уравнения одного и того же, отличного от нуля числа.

Для понимания механизма "движения" по пропорции нам потребуется первое из указанных выше преобразований.

Итак, чтобы научиться правильно "двигаться по пропорции", надо освоить всего 2 движения, которые называются "правилом крестика" :

1) разрешено перемещать числа из числителя первой дроби в знаменатель второй дроби (и наоборот);

2) разрешено перемещать числа из знаменателя первой дроби в числитель второй дроби (и наоборот).

На моём рисунке (ниже) розовые фигурки могут двигаться только по синей лестнице, а зелёные фигурки только по салатовой. Сами лестницы символизируют "крестик", а фигурки - числа, расположенные в числителях и знаменателях дробей.

Читайте также: