Что такое объем кратко

Обновлено: 05.07.2024

ОБЪЁМ, -а, м. 1. Величина чего-н. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. пирамиды. О. здания. 2. Вообще величина, количество. Большой о. работ. О. информации. О. знаний. || прил. объемный, -ая, -ое (к 1 знач.). Объемное изображение. || сущ. объемность, -и, ж.

В словаре Ефремовой

Величина в длину, ширину и высоту какого-л . тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах.
1. Величина, размеры чего-л .
2. Содержание чего-л . с точки зрения величины, размеров, количества содержащегося.
В словаре Фасмера Макса

род. п. -а. От об- и *jęti "брать", как нем. Umfang "размер, объем" от umfangen "охватывать", которое рассматривается как калька лат. circumferentia от греч. περιφέρεια; см. Дорнзейф 23.

В словаре Д.Н. Ушакова

ОБЪЕМ, объемся, объешь, объешься. буд. вр. от объесть, объесться.
II. ОБЪЁМ, объёма, ·муж.
1. Величина в длину, ширину и высоту какого-нибудь тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах. Объем шара. Объем комнаты равен 140 м 3 . Объем воды увеличивается при нагревании.
2. Величина, размеры. Книга небольшого объема. Объем капитальных вложений в промышленность.
| Содержание чего-нибудь с точки зрения величины, размеров, количества содержащегося. Объем работ. Объем знаний. Поставить проблему во всем объеме.
• Объем понятия ( филос. ) - в формальной логике: совокупность признаков, включенных в понятие.

В словаре Синонимов

мера, кубатура, формат, широта, величина, количество, масштаб, границы, диапазон, габариты, выкид, тоннаж, дебит, охват, норма, размах, листаж, размер, параметры, вместимость, емкость, совокупность, фонд, мощь, мощность

В словаре Энциклопедии

одна из количественных характеристик геометрических тел. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его сторон (длины, ширины и высоты), а объем ступенчатого тела (тела, которое можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольных параллелепипедов) равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Для любого тела объем определяется как общий предел вписанных в него или описанных около него ступенчатых тел.

В словаре Синонимов 3

См. величина
во всем объеме.

В словаре Синонимы 4

брутто-объем, величина, выкид, дебит, диапазон, количество, кубатура, листаж, масштаб, мера, микрообъем, размер, тоннаж

Это насколько же нужно ненавидеть учебник, чтобы боятся просто открыть его и прочитать оттуда определения. жуть.

Допустимое отклонение Искусственный Интеллект (111093) Ага, заливай. Мы-ж в школе небыли никогда, не знаем.

Вот если все будут такие вопросы задавать, как нам с американцами соперничать? Они тупые (согласно Задорнову) а мы еще тупее - неужели Вы реально этого не знаете - у меня в голове не укладывается - где вы вообще учитесь, живете? Я в шоке.

Объём тела - это пространство, которое занимает это тело. Чем больше место, занимаемое объектом - тем больше его объём.

Масса тела - это характеристика тела, которая указывает на его тяжесть. Чем больше масса, тем тело тяжелее.

Плотность тела - это расстояние между молекулами в теле. Чем больше расстояние, тем меньше плотность и наоборот. Более плотные тела при одинаковых объёмах тяжелее - кусок ваты будет гораздо легче куска железа такого же размера.

Вот куб:
Всё, что внутри него-это объем куба.
Вот гиря:
Масса гири-это ее вес, то есть 32кг.
Плотность -это физическая величина, показывающая какова масса 1м\3(в кубе) вещества.

Объем - это пространство сосуда занимаемое веществом., тоесть вместимость.
Масса - это тело, тоесть ее величина.
Плотность - это масса тела занимающаая объем.

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

- равные тела имеют равные объёмы;

- если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Основная литература:

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см 3 ). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см 3 .

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см 3 ). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n 3 .

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10 n , b∙10 n , c∙10 n , являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10 n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙10 3n равных кубов с ребром 1/10 n . Так как объём каждого куба равен 1/10 3n , что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.

Случай второй.

Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: a_n, b_n, c_n, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, a_n ≤ a ≤ a_n’, где a_n’ = a_n+1 : 10 n . Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение a_nb_nc_n ≤ abc ≤ a_n’b_n’c_n’, где b_n’= b_n+1 : 10 n , c_n’ = c_n+1 : 10 n

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём V_n прямоугольного параллелепипеда P_n с измерениями a_n, b_n, c_n, а правая часть – это объём V_n’ прямоугольного параллелепипеда P_n’ с измерениями a_n’, b_n’, c_n’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед P_n, а сам содержится в параллелепипеде P_n’, то объём V параллелепипеда P заключён между V_n, = a_nb_nc_n и V_n’= a_n’b_n’c_n’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение a_n’b_n’c_n’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см 3

Ответ: V = 7500 см 3 .

№2.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см 3 , AB = 8 см, АА₁ ₌ 20 см.

Найдём длину АD:

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см 2 .

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

V = a 3

V - объем куба,
a - длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V- объем призмы,
S_o - площадь основания призмы,
h - высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

V- объем параллелепипеда,
S_o - площадь основания,
h - длина высоты.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Формула объема пирамиды:

V - объем пирамиды,
S_o - площадь основания пирамиды,
h - длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h - высота усеченной пирамиды.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формула объема цилиндра:

V= π R 2 h

V= S_оh

V - объем цилиндра,
S_o - площадь основания цилиндра,
R - радиус цилиндра,
h - высота цилиндра,
π = 3.141592

Объем правильной треугольной пирамиды

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V - объем пирамиды;
h - высота пирамиды;
a - сторона основания пирамиды.

Объем конуса

Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Формула объема конуса:

V - объем конуса;
R - радиус основания;
H - высота конуса;
I - длина образующей;
S - площадь боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

V - объем усеченного конуса;
H - высота усеченного конуса;
R и R 2 - радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Формула тетраэдра:

V - объем тетраэдра;
a - ребро тетраэдра.

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.

Формула объема шара:

V - объем шара;
R - радиус шара;
S - площадь сферы.

Объем шарового сегмента и сектора

Шаровый сегмент - это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

Формула объема шарового сегмента:

R - радиус шара
H - высота сегмента
π ≈ 3,14

Формула объема шарового сектора:

h - высота сегмента
R - радиус шара
π ≈ 3,14

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

V - объем прямоугольного параллелепипеда,
a - длина,
b - ширина,
h - высота.

Читайте также: