Что такое математическая модель кратко

Обновлено: 01.07.2024

Аннотация: В лекции рассмотрены общие вопросы математического моделирования. Приведена классификация математических моделей.

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект -заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.

Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.

Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

Все модели можно разделить на два класса:

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

натурные,
физические,
математические.

Идеальные модели можно разделить на:

наглядные,
знаковые,
математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели .

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит , языки программирования, упорядоченная запись , топологическая запись , сетевое представление .

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью , более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Математическая модель — это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными.

Содержание

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой " width="" height="" />
, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием " width="" height="" />
от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (" width="" height="" />
) после чего воспользуемся \emph, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

$<\displaystyle m<\ddot <x> >=-kx,>$

Жесткие и мягкие модели

$<\displaystyle m<\ddot <x> >=-kx+\varepsilon f(x,>),>$

Здесь >)>" width="" height="" />
— некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жесткости пружины от степени ее растяжения, " width="" height="" />
— некоторый малый параметр. Явный вид функции " width="" height="" />
нас в данный момент не интересует~. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жесткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жесткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жесткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида >t+B\cos >t>" width="" height="" />
, то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

$<\displaystyle U> Математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в$
-образном сосуде, изменение силы тока в колебательном контуре или колебания популяций биологических видов. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений.

Задачи математического моделирования

$<\displaystyle k> Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать ее поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра$
-- прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с ее моделью. Еще одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

Дополнительные примеры

Модель Мальтуса

Cкорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

$<\displaystyle <\dot <x> >=\alpha x,>$

где " width="" height="" />
— некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция e^>" width="" height="" />
. Если рождаемость превосходит смертность (), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить

Система хищник-жертва

$<\displaystyle x> Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов$
, число лис " width="" height="" />
. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя Вольтерра--Лотки:

$<\displaystyle <\begin >=(\alpha -cy)x;\\>=(-\beta +dx)y.\end>>$

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебания численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновестное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Волтерра--Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Математическая модель — концепция представления реальности математическим способом, вариант схемы как комплекса, изучение которого позволяет человеку обрести знания о некой другой системе.

Простой пример: график зависимости среднесуточной температуры от времени.

Математическая модель также была создана для того, чтобы проанализировать и предугадать поведение материального объекта. Однако у математической модели есть проблема, от которой не избавиться — идеализация.

Математическое моделирование — процесс создания, а также приемы построения и исследования математических моделей.

Все науки, которые используют для решения своих задач математический аппарат, практикуют математическое моделирование. То есть, заменяют объект своего исследования математической моделью и занимаются исследованием последней.

При помощи совокупности математических методов можно описать образцовый объект или процесс, который построен на стадии содержательного моделирования.

Как осуществляется связь математической модели и реальности?

Эмпирические законы.
Гипотезы.
Идеализация.
Упрощения.

Самые важные математические модели всегда обладают качеством универсальности. То есть, совершенно разные феномены могут быть описаны одной математической моделью.

Однако стоит помнить, что модель — объект, она может иметь собственные качества и свойства, которые могут не относиться к реальному моделируемому объекту.

Часто математические модели представляют в виде:

Графика. Получить данные для решения задачи мы можем, посмотрев на данные графика.
Уравнения. Данные для решения задачи зашифрованы в виде уравнения, под буквами x и y.

Представим основные понятия, которые важны для изучения данной темы:

Реальный объект — исследуемый объект. Им может быть явление, система, либо процесс.
Модель — нематериальный или материальный объект исследования, который является заменителем настоящего процесса\явления\системы.
Моделирование — способ исследования предметов с помощью прототипов.

Виды математических моделей, классификация

Существует несколько классификаций математических моделей. Рассмотрим некоторые из них.

Формальная типология

Основа данной классификации — какие математические средства используются для создания модели. Для создания схем в формальной классификации часто используется прием дихотомии.

Дихотомия — раздвоение, разделение чего-то на две части. Например, графиков.

К известным типам дихотомии относятся:

Линейные	Нелинейные
Сосредоточенные	Распределенные
Детерминированные	Стохастические
Статические	Динамические
Дискретные	Непрерывные

Типология по методу представления объекта

В рамках данной классификации выделяют структурные и функциональные модели.

Структурная модель показывает объект как комплекс с механизмом и устройством функционирования.
Функциональные модели могут отражать поведение объекта, которое мы можем воспринимать внешне.

Содержательные, а также формальные модели

Многие авторы, которые описывают процесс моделирования в математике, отмечают, что для начала нужно построить специальную образцовую конструкцию, так называемую содержательную модель.

В разных учебных изданиях идеальный объект называется по-разному. Встречаются такие примеры как умозрительная модель, концептуальная модель, а также предмодель.

Конечная математическая схема будет назваться формальной моделью (математическая модель). Она получается в результате представления предмодели с помощью формального языка.

Построить умозрительную модель можно с помощью уже готового набора идеализаций. Например, в механике существуют идеальные пружины, маятники, твердые тела и тд, которые представляют собой готовые заготовки для построения содержательной модели.

Однако есть научные области, в которых сложно построить содержательные модели, потому что в них нет полноценных формализованных доктрин. К таким дисциплинам относятся биология, физика, психология, экономика и многие другие).

Содержательная типология

В работах английского физика Рудольфа Эрнста Пайерлса можно найти некоторые типологии математических моделей, которые используются в физике и других естественных науках. Советские ученые Александр Горбань и Рэм Хлебопрос расширили классификацию Пайерлса. Данная типология акцентирует свое внимание на процессе выстраивания содержательной модели. Итак, существуют следующие типы математических моделей:

Сложность моделируемой системы

Выделяются три уровня систем по сложности:

простые физические;
сложные физические;
биологические системы.

Советский академик Александр Андронов выделил три типа неустойчивых моделей:

Неустойчивые к преобразованию начальных требований.
Неустойчивые к небольшим преобразованиям условий, которые не вызывают никаких изменений в числе степеней свободы системы.
Неустойчивые к небольшим преобразованиям условий, которые вызывают изменения в числе степеней свободы системы.

Неустойчивые модели называют негрубыми. Устойчивые модели — мягкие.

Какие еще бывают модели?

Игровые (игры).
Учебные (тренажеры).
Опытные (уменьшенные копии чего-то).
Исследовательские (для исследования процессов).
Имитационные (представляют явления реальности).

Это ряд прототипов, которые выделяются по принципу применения.

Также выделяют материальные и информационные модели. Натуральные — муляжи, макеты. А информационные — прототипы, которые заменяют реальность формально (то есть словесно, графически и т.д.).

Какие параметры нужны для построения математической модели

Рассмотрим принципы построения математических моделей:

Информационная достаточность. Невозможно построить схему без исследуемой информации. А при полноценном информационном обеспечении (когда все известно), построение не имеет никакого смысла. Поэтому для разработки математической модели важно иметь достаточное количество информации (не избыточное или недостаточное).
Осуществимость проекта. Схема обязана гарантировать достижение определенной цели исследования.
Множественность модели. Модель обязана отражать свойства реальных явлений, которые сказываются на эффективности исследования. Должны исследоваться лишь некоторые части реального объекта. Для полноценного исследования необходимо проанализировать некоторое множество (ряд) моделей.
Агрегирование. Создание в рамках большой и сложной системы несколько подсистем, которые могут помочь решить задачу, поставленную в исследовании.
Параметризация. Подсистема с определенным параметром выражается в числовой величине. Они не описывают процесс функционирования. Зависимость величины может быть задано таблицей, формулой, графиком. Служит для сокращения объема.

Также все математические модели должны отличаться следующими признаками адекватностью, конечностью, полнотой, упрощенностью, гибкостью.

Алгоритм составления, основные моменты

Для того чтобы составить математическую модель необходимо перевести данные задачи в вид математической формы. То есть переделать слова в формулу, уравнение и т.д. Необходимо установить математические связи между всеми условиями задачи.

Стоит помнить, что формула, уравнение математической модели должно полностью соответствовать тексту задачи, потому что иначе цель исследования изменится, а значит и задачу мы будем решать другую.

Представим алгоритм решения математической модели:

Определяем цель исследования.
Выделяем свойства системы.
Выбираем средства, с помощью которых будем исследовать систему.
Проводим исследование.
Анализируем получившиеся результаты.
Корректируем прототип.

Попробуем составить математическую модель на примере простой задачи:

Данный текст нужно представить в виде уравнения. Для этого необходимо установить математические связи между всеми условиями задачи.

Обращаем внимание на главные математические данные. 10 тушек и 50%.
Найдем скрытую информацию. Под 50% имеется в виду 50% от всего количества дичи.
Представим главный вопрос — сколько дичи — в виде X. То есть, X — количество всей дичи, что есть у Ивана Федоровича.
Процентное соотношение дичи из тундры нужно перевести в штуки, потому что в математических задачах важно все составлять в одинаковых значениях.
Число дичи из тундры невозможно посчитать в штуках, поэтому переводим в уравнение 50% = 0,5*X. Данное уравнение верно для вычисления количества дичи из тундры.
Какие данные у нас есть? 10 штук тушек зайцев из тайги, 0,5*X — дичи из тундры, а также X общее количество дичи.
То есть, общее количество дичи будет равно сумме дичи из тайги и дичи из тундры. То есть, уравнение X = 10 + 0,5X.
X = 10 + 0,5X — математическая модель.
Далее решаем линейное уравнение и получаем, что дичи всего 20 штук.
Ответ: 20.

Обобщение — для того, чтобы построить математическую модель, нужно выбросить всю ненужную информацию из задачи, оставить только нужное и заменяем на математический объект.

Неудивительно, что интерес к математическому моделированию в медицине и спорте растет: в США с 1961 по 2006 год процент бюджетных денег, которые тратятся на медицину, возрос с 4% до 20%. В других странах люди тоже хотят жить долго и хорошо, а готовность властей финансировать науку и текущий уровень развития технологий растут с каждым годом. Поэтому вместо того, чтобы проводить медицинские эксперименты на людях, в качестве подопытных кроликов ученые используют математические модели.

Модель для сборки: инструкция

Для построения любой математической модели необходимы данные. Базовые знания о строении и функционировании организма человека можно найти в анатомических атласах и другой справочной литературе. Но поскольку организм каждого человека уникален, врачи наблюдают за каждым пациентом индивидуально: проводят МРТ, компьютерную томографию, измеряют пульс, давление.

Представим, что перед командой ученых (биологов, математиков, физиков, программистов) стоит задача — помочь в постановке диагноза и поиске метода лечения пациентов со стенозом. Первым делом мы, ученые, должны понять, что такое стеноз, и расспрашиваем об этом врачей. Оказывается, стеноз — это возникновение бляшек на сосудах, которые создают разницу в давлении между участками сосуда. В результате сосуд может не выдержать такой нагрузки и порваться. Диагностируется заболевание двумя путями. Первый — качественный способ: нужно сделать снимок сосуда, найти бляшку и по ее виду сделать вывод. Второй — количественный: через бедренную артерию в нужные участки сосуда вводятся датчики, которые измеряют разницу давлений. Результаты количественного анализа — более точные. Это значит, что можно не оперировать пациента без надобности, а осложнения после лечения будут минимальными. Минусы этого способа — в цене и высоких рисках для пациента. Нужна дешевая и безопасная альтернатива, которая поможет поставить количественный диагноз и принять верное решение о лечении. Такой альтернативой может стать математическая модель процессов, происходящих в организме, связанных с развитием болезни.

В нашем случае нужно понять, по каким законам возникает разница в давлениях внутри сосудов, и записать эти законы в виде уравнений. Модели создаются под каждую проблему, болезнь или задачу. Для начала в уравнения (например, гидродинамики) вписывают величины, примерно одинаковые для всех пациентов — в науке они называются константами. Помимо констант, существуют параметры — показатели, которые учитываются для каждого человека индивидуально: длина, ширина сосудов, частота пульса, вид шума в сосудах. После того как мы вписали в уравнения константы, снимаем данные с пациента и записываем их в уравнения. Так ученые связывают параметры и константы с помощью формул: теперь в готовое уравнение мы подставляем разные значения для разных пациентов, чтобы получить необходимый результат — показатель разницы давлений между участками сосуда. Лечение стеноза, в зависимости от степени тяжести заболевания, врачи проводят либо медикаментозно (когда разница в давлениях небольшая), либо с помощью хирургического вмешательства (для более серьезных случаев).

После того как модель запрограммирована, работа не заканчивается. Во-первых, измерить большую часть параметров, которые нужно внести в уравнения, скорее всего, не получится без огромных затрат и дорогостоящих операций. Например, для детального определения структуры бляшек, упругих свойств сосуда и законов, по которым он меняется со временем, потребуется колоссальное количество сил и средств. Поставить такую технологию на поток вряд ли удастся.

Во-вторых, снятые параметры могут измениться через определенное время. Эластичность сосудов сильно меняется в зависимости от гормонов, которые на данный момент присутствуют в крови. А чтобы предсказать, сколько каких гормонов содержится в кровяном русле в интересующий нас период, нужно замоделировать в буквальном смысле весь организм человека, так как гормональный фон зависит от огромного количества факторов.

Врачи не знают математику, а математики — биологию, однако без диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук

В-третьих, даже если мы сможем измерить все необходимые параметры и они не станут сильно меняться со временем, измерения, скорее всего, будут неточными. И чем больше параметров мы снимаем, тем активнее будет расти эта неточность. А поскольку в организме от небольшого изменения каждого параметра существенно меняются все остальные величины, такая неточность часто становится критичной. Например, даже несущественное количество введенного лекарства, растворяющего тромбы, может привести к передозировке, которая вызовет серьезное кровотечение.

Решаются эти проблемы путем упрощения модели: ученые по максимуму сокращают количество параметров и уравнений, стараются сделать их проще, или, как говорят математики, оптимизируют систему. Несмотря на технологическое несовершенство, метод математического моделирования уже работает и помогает людям. Благодаря математическому моделированию была создана известная модель токов в клетке Ходжкина — Хаксли, которая помогла описать, как распространяются электрохимические импульсы, передающие информацию в организме по нервным клеткам. Эта разработка считается одним из самых важных открытий неврологии XX века. За нее ученые получили Нобелевскую премию.

В помощь Усэйну Болту

Профессионалы рынка спортивных достижений шутят, что в 2015 году соревнования идут не между спортсменами, а между разработчиками программ тренировок. Чтобы исследовать живого спортсмена непосредственно во время тренировки, придется повесить на него кучу приборов: измерители пульса, давления, уровня сахара в крови — и еще, желательно, МРТ-аппарат. В таком обмундировании достичь высоких показателей (или хотя бы просто сдвинуться с места) нереально. А вот с помощью математической модели можно рассчитать интересующие показатели на компьютере: ученые заранее снимают параметры со спортсмена в состоянии покоя и составляют уравнения, из которых затем можно извлечь нужные параметры в состоянии физической нагрузки. Моделировать можно самые разные процессы: например, дыхание в клетках мышц футболиста во время бега до образования тромбов. Модели могут быть одномерными или трехмерными, а также учитывать большое количество параметров — например, степень упругости сосудов при моделировании сосудистой сети.

Математически смоделированные стратегии для тренировок — уже рутина для спортивной индустрии. Показатели великого бегуна Усэйна Болта почти совпадают с графиком кривой оптимального темпа для бега на 100 метров в каждый момент времени. На соревнованиях по прыжкам с трамплина на лыжах высота конструкции выбирается с использованием математической модели тел спортсменов так, чтобы нагрузки не стали критичны для организма.

Математика + медицина

Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. В повседневное клиническое использование вводится крайне малая часть таких проектов. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, которые происходят в организме, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально. Сильно упростит задачу, если пациентам будет легко и понятно снимать показатели самостоятельно.

Ученым из разных областей придется все чаще работать на стыке наук и сотрудничать с инженерами и врачами. Чтобы эти идеи не оставались на страницах научных журналов, а реально помогали людям, математики должны начать взаимодействовать с врачами, которые ставят перед ними конкретные медицинские задачи. Такое взаимодействие (из-за особенностей образования и способа мышления) часто дается обеим сторонам непросто: врачи не знают математику, а математики — биологию, все они пользуются разной терминологией и методами. Однако без подобного диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук.

Читайте также: