Что такое косинус кратко

Обновлено: 05.07.2024

У многих учеников возникают проблемы с этой темой, в основном, из-за непонимания общего смысла тригонометрии. В этой статье я постараюсь помочь вам разобраться зачем нужна тригонометрия и расскажу про лайфхак, чтобы не учить значения синуса и косинуса.

К моменту начала изучения тригонометрии Вы, скорее всего, уже знаете: определение прямоугольного треугольника и окружности — этого вполне достаточно для понимания темы.

*прошу заметить, что некоторые формулировки могут не соответствовать действительности - это сделано для того, чтобы вы лучше запомнили основы. Точные понятия и определения расскажет ваш учитель математики.

Что такое синус и косинус?

Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То-есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.

Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.

Синус - это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).

Косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

Думаю не ошибусь, если скажу, что теорема Пифагора - самая полезная теорема в геометрии. Давайте применим её для данного треугольника:

Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от - ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α - это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , - 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности - точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Содержание

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

$\frac<d^2> R(\varphi) = - R(\varphi),$

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1 , то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

$\ \cos$
$\ \sin$

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

$\left\< \begin Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений: f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y) \end \right.$

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

+\frac-\frac+\frac+\cdots = \sum_^\infty\frac>," width="" height="" />
+\frac-\frac+\frac+\cdots = \sum_^\infty\frac>." width="" height="" />

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями \,x=\frac," width="" height="" />
\,x=\frac," width="" height="" />
" width="" height="" />
и \,x=\frac," width="" height="" />
можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

\,x=x+\frac + \frac + \frac + \frac + \cdots = \sum_^\infty\frac2^(2^-1)B_>x^ \quad \left(-\frac<\pi><x<\frac<\pi>\right), \quad" width="" height="" />
где B_n — числа Бернулли. +\frac+\frac+\frac+\cdots = \sum_^\infty\frac<(-1)^nE_>x^," width="" height="" />
где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\sin \alpha \,\!$	$<0>\,\!$	$\frac<1>\,\!$	$\frac< \sqrt>\,\!$	$\frac< \sqrt<3>>\,\!$	$<1>\,\!$	$<0>\,\!$	$<-1>\,\!$	$<0>\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	$<1>\,\!$	$\frac< \sqrt<3>>\,\!$	$\frac< \sqrt>\,\!$	$\frac<1>\,\!$	$<0>\,\!$	$<-1>\,\!$	$<0>\,\!$	$<1>\,\!$

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

$\sin \frac<\pi> = \sin 18^\circ = \frac-1>$

$\cos \frac<\pi> =\frac\left(\sqrt>> \left(\sqrt<2(5+\sqrt)>+\sqrt-\sqrt \right) + \sqrt>> \left (\sqrt<6(5+\sqrt)>+\sqrt - 1 \right) \right)$

$\cos \frac<\pi> = \frac \sqrt<2 \left( 2\sqrt<\sqrt<\frac<17(17-\sqrt)>>-\sqrt<\frac<17-\sqrt>>-4\sqrt<2(17+\sqrt)> + 3\sqrt+17>+\sqrt<2(17-\sqrt)>+\sqrt+15 \right)>$

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad \,$

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

>\,^2 \alpha = \frac< \cos^2 \alpha>, \qquad \qquad \," width="" height="" />
>\,^2 \alpha = \frac< \sin^2 \alpha>. \qquad \qquad \," width="" height="" />

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

>\, \left( - \alpha \right) = - \mathop<\mathrm>\, \alpha \,," width="" height="" />
>\, \left( - \alpha \right) = - \mathop<\mathrm>\, \alpha \,," width="" height="" />
>\, \left( - \alpha \right) = - \mathop<\mathrm>\, \alpha \,." width="" height="" />

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

+ \alpha) = \pm g (\alpha)" width="" height="" />
- \alpha) = \pm g (\alpha)" width="" height="" />

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

$\cos \left( \frac< \pi> - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$

Формулы сложения

$\sin(\alpha \pm \beta)= \sin(\alpha) \cos(\beta) \pm \cos(\alpha) \sin( \beta)$
$\cos(\alpha \pm \beta)= \cos( \alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

$\sin x = \frac<\sin x> = \frac\cos \frac><\sin^2 \frac + \cos^2 \frac> =\frac <2\operatorname<tg>\frac>^2 \frac>$

$\cos x = \frac<\cos x> = \frac - \sin^2 \frac> + \sin^2 \frac> =\frac^2 \frac>^2 \frac>$

$\operatorname<tg> ~x = \frac = \frac <2\operatorname<tg>\frac>^2 \frac>$

$\operatorname<ctg> ~x = \frac = \frac^2 \frac> <2\operatorname<tg>\frac>$

$\sec x = \frac<1> = \frac^2 \frac>^2 \frac>$

$\operatorname<cosec> ~x = \frac = \frac^2 \frac> <2\operatorname<tg>\frac>$

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

$( \sin x )$

$( \cos x )$

$( \mathop<\mathrm<tg> >\, x )$

$( \mathop<\mathrm<ctg> >\, x )$

$( \sec x)$

$( \operatorname<cosec> ~x)$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int\mathop<\mathrm<tg> >\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,$

$\int\mathop<\mathrm<ctg> >\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,$

$\int\sec x\, dx=\ln \Big|\operatorname<tg> ~ (\frac <\pi>+\frac) \Big|+ C,,$

$\int \operatorname<cosec> ~ x\, dx=\ln \Big|\operatorname~ (\frac) \Big|+ C.$

История

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса неразрывно связаны с понятием угла.

Звучит ужасно, да?

Не так страшен черт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии 🙂 ), начнём с самого начала.

Синус, косинус, тангенс, котангенс — коротко о главном.

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому)

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Понятие угла: радиан, градус

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок.

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в $ 1<>^\circ $ (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную $ \frac$ части окружности.

То есть на рисунке выше изображён угол $ \beta $, равный $ 50<>^\circ $, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером $ \frac$ длины окружности.

Углом в $ 1$ радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол $ \gamma $, равный $ 1$ радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина $ AB$ равна длине $ BB’$ или радиус $ r$ равен длине дуги $ l$).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

$ l=\theta \cdot r$, где $ \theta $ — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен $ 2\pi $.

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что $ 2\pi =360<>^\circ $.

Соответственно, $ \pi =180<>^\circ $.

А сколько радиан составляют $ 60<>^\circ $?

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Тогда смотри ответы:

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона $ AC$)

Катеты – это две оставшиеся стороны $ AB$ и $ BC$ (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла $ \angle BAC$, то катет $ AB$ – это прилежащий катет, а катет $ BC$ — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике $ \sin \beta =\frac$.

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике $ \cos \beta =\frac$.

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике $ tg\beta =\frac$.

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике $ ctg\beta =\frac$.

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла $ \beta $.

По определению, из треугольника $ ABC$: $ \cos \beta =\frac=\frac=\frac$.

Но ведь мы можем вычислить косинус угла $ \beta $ и из треугольника $ AHI$: $ \cos \beta =\frac=\frac=\frac$.

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника $ ABC$, изображённого ниже на рисунке, найдём $ \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha $.

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла $ \beta $.

Ответы: $ \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac$.

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным $ 1$.

Такая окружность называется единичной. Еще ее называют тригонометрической. Это одно и тоже.

Эта окружность — универсальная шпаргалка для решения уравнений и даже неравенств, если уметь ей пользоваться!

Здесь мы тоже ее разберем довольно подробно.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси $ x$ (в нашем примере, это радиус $ AB$).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси $ x$ и координата по оси $ y$.

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник $ ACG$. Он прямоугольный, так как $ CG$ является перпендикуляром к оси $ x$.

Чему равен $ \cos \ \alpha $ из треугольника $ ACG$?

Всё верно $ \cos \ \alpha =\frac$.

Кроме того, нам ведь известно, что $ AC$ – это радиус единичной окружности, а значит, $ AC=1$.

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен $ \sin \ \alpha $ из треугольника $ ACG$?

Ну конечно, $ \sin \alpha =\frac$!

Подставим значение радиуса $ AC$ в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка $ C$, принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что $ \cos \ \alpha $ и $ \sin \alpha $ — это просто числа?

Какой координате соответствует $ \cos \alpha $?

Ну, конечно, координате $ x$!

А какой координате соответствует $ \sin \alpha $?

Всё верно, координате $ y$!

Таким образом, точка $ C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )$.

А чему тогда равны $ tg \alpha $ и $ ctg \alpha $?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что $ tg \alpha =\frac=\frac$, а $ ctg \alpha =\frac=\frac$.

А что, если угол будет больше $ 90<>^\circ =\frac<\pi >$?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла $ _><_>G=180<>^\circ -\beta \ $?

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате $ y$; значение косинуса угла – координате $ x$; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси $ x$.

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет $ 360<>^\circ $ или $ 2\pi $.

А можно повернуть радиус-вектор на $ 390<>^\circ $ или на $ -1140<>^\circ $?

Ну конечно, можно!

В первом случае, $ 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ $, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении $ 30<>^\circ $ или $ \frac<\pi >$.

Во втором случае, $ -1140<>^\circ =-360<>^\circ \cdot 3-60<>^\circ $, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении $ -60<>^\circ $ или $ -\frac<\pi >$.

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на $ 360<>^\circ \cdot m$ или $ 2\pi \cdot m$ (где $ m$ – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол $ \beta =-60<>^\circ $.

Это же изображение соответствует углу $ -420<>^\circ ,-780<>^\circ ,\ 300<>^\circ ,660<>^\circ $ и т.д.

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой $ \beta +360<>^\circ \cdot m$ или $ \beta +2\pi \cdot m$ (где $ m$ – любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Итак, мы знаем, что:

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в $ 90<>^\circ =\frac<\pi >$ соответствует точка с координатами $ \left( 0;1 \right)$, следовательно:

$ \text\ 90<>^\circ =\frac=\frac\Rightarrow \text\ 90<>^\circ $ — не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в $ 180<>^\circ ,\ 270<>^\circ ,\ 360<>^\circ ,\ 450<>^\circ (=360<>^\circ +90<>^\circ )\ $ соответствуют точки с координатами $ \left( -1;0 \right),\text< >\left( 0;-1 \right),\text< >\left( 1;0 \right),\text< >\left( 0;1 \right)$, соответственно.

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

$ \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0$ $ \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1$ $ \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac=0$

$ \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac\Rightarrow \text\ \pi $ — не существует

$ \sin \ 270<>^\circ =-1$ $ \cos \ 270<>^\circ =0$

$ \text\ 270<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 270<>^\circ $ — не существует

$ \text\ 270<>^\circ =\frac=0$ $ \sin \ 360<>^\circ =0$ $ \cos \ 360<>^\circ =1$ $ \text\ 360<>^\circ =\frac=0$

$ \text\ 360<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 2\pi $ — не существует

$ \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1$ $ \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0$

$ \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 450<>^\circ $ — не существует

$ \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac=0$.

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в $ 30<>^\circ =\frac<\pi >,\ 45<>^\circ =\frac<\pi >$ и $ 30<>^\circ =\frac<\pi >,\ 45<>^\circ =\frac<\pi >$, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Читайте также: