Что такое факториал в математике кратко

Обновлено: 04.07.2024

Математикой должны заниматься блондинки - они врать не умеют.

суббота, 18 сентября 2010 г.

Факториал

Факториалом в математике называют произведение всех натуральных чисел, включая указанное число. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа, например 4!. Так что, если вы встретили восклицательный знак в математике, это совсем не означает "Вау! Число!". Это просто факториал. Из священных математических текстов нужно выучить одну фразу "Факториал нуля равен единице". Почему факториал нуля равен единице? Читайте по ссылке. Точные значения факториалов чисел до 50 приведены на рисунке.

На картинке показано, как считать факториал для натурального числа 7. Вычисление факториала других чисел производится точно так же: все числа от одного до указанного перед восклицательным знаком перемножаются между собой.

Факториал 1 (единицы) равен единице.
1! = 1
Факториал 2 (двух) равен двум.
2! = 1 · 2 = 2
Факториал 3 (трех) равен шести.
3! = 1 · 2 · 3 = 6
Факториал 4 (четырех) равняется двадцати четырем.
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
Факториал 5 равен ста двадцати.
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
Ну и так далее.

В общем виде формулу для нахождения факториала можно записать так:

Таблица факториалов до 255 представлена на отдельной странице.

Кстати, если вы будете ехать за рулем автомобиля и увидите восклицательный знак в треугольнике на белом или желтом фоне - это не урок математики с факториалами, это дорожный знак "Внимание!".

Найти решение:

Чему равен 50 факториал - последняя строчка таблицы факториалов на картинке дает точный ответ на этот вопрос. Приблизительное значение (более короткая запись числа) можно посмотреть на отдельной странице "Таблица факториалов до 255".

Действие факториала - математически действие факториала представляет собой последовательность умножения натуральных чисел между собой. Такой себе математический междусобойчик во множестве натуральных чисел.

Факториал 15 равен - ответ можно посмотреть в таблице факториалов на картинке.

Как считать факториал - здесь в тексте написано, как считается факториал, а на картинке есть пример факториала семи (7!).

Факториал от нуля - равен единице, как бы странно это не выглядело. Но, таковы математические догмы. На картинке большими синими цифрами написано.

Как счетать факториал - вообще-то, у меня написано как "счИтать" факториал. Мне кажется, помимо факториалов, вам не помешает изучить курс "Русский язык для блондинок". А то не красиво будет смотреться фраза "Я табе лублу!" краской на асфальте.

Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел. Формула факториала:

Это очень просто, вот пример:

7! = 1 * … * 7 = 5040.

Факторизация - разложение функции на множители.

Таблица факториалов

Свойства факториалов

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:

Расчет по предыдущему значению

Функцию легко вычислить из предыдущего значения:

Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.

Некоторые очень большие значения

Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.

Примеры вычисления факториалов больших чисел:

100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;

200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.

Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.

Программа на языке Паскаль:

На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.

Факториал дроби (½) - это половина квадратного корня pi = (½)√π.

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n !, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

$n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_<i=1> ^n i.$

$5 ! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. \$

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

Содержание

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества A,B,C,D> из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

$n! = \Gamma(n+1).$

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

$n=-1, -2, -3\ldots.$

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

$\Pi(z)=\int_0^\infty t^<z> e^\, \mathrmt\,.$

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

$n! = \sqrt<2\pi n> \left(\frac\right)^n \left(1 + \frac + \frac - \frac - \frac + \frac + \frac + O\left(n^\right)\right),$

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

$n! \approx \sqrt<2\pi n> \left(\frac\right)^n.$

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10 157 ;
1000! ≈ 4,02×10 2567 ;
10 000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

$\left\lfloor \frac \right\rfloor + \left\lfloor \frac\right\rfloor + \left\lfloor \frac\right\rfloor + \ldots.$

$n! = \prod_ p^<\lfloor \frac\rfloor + \lfloor \frac\rfloor +\ldots>,$

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p , не превосходящим n .

Другие свойства

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n ], имеющих ту же чётность что и n . Таким образом,

^ 2i = 2^k\cdot k!," width="" height="" />
^ (2i+1) = \frac = \frac." width="" height="" />

По определению полагают 0!! = 1.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

Кратный факториал

$\textstyle n\underbrace<!!\ldots !> m -Кратный факториал числа n обозначается _m$
и определяется следующим образом:

Пусть число n представимо в виде где ," width="" height="" />
." width="" height="" />
Тогда [1]

$n\underbrace<!!\ldots !> _m = \prod_^k (mi-r).$

Двойной факториал является частным случаем m -кратного факториала для m = 2.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением [2] :

$n\underbrace<!!\ldots !> _m = \prod_^ (mi-r)=m^k \cdot \frac +1 \right )> \right)>.$

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

$(n)_k = n^<\underline<k> > = n^= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac.$

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k .

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

$n^<(k)> = n^<\overline<k>> = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac.$

Праймориал или примориал

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

$\operatorname<sf> (4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,$

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

$\operatorname<sf> (n) =\prod_^n k! =\prod_^n k^ =1^n\cdot2^\cdot3^\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m -уровневый факториал числа n , как произведение первых n ( m −1)-уровневых факториалов, то есть

$\operatorname (n,m) = \operatorname(n-1,m)\operatorname(n,m-1)=\prod_^n k^,$

где (n,0)=n" width="" height="" />
для и (0,m)=1." width="" height="" />

Субфакториал

Субфакториал ! n определяется как количество беспорядков порядка n , то есть перестановок n -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Факториал" в других словарях:

ФАКТОРИАЛ — [англ. factorial Словарь иностранных слов русского языка

ФАКТОРИАЛ — (от латинского factor деятель, создатель, множитель), произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т.е. 1?2. n; обозначается n! … Современная энциклопедия

ФАКТОРИАЛ — произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т. е. 1.2.3. .n; обозначается n!. Напр., 5! = 1.2.3.4.5 = 120 … Большой Энциклопедический словарь

факториал — сущ., кол во синонимов: 1 • термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Факториал — (от латинского factor деятель, создатель, множитель), произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т.е. 1´2´. ´n; обозначается n!. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ФАКТОРИАЛ — произведение всех натуральных чисел от 1 до данного натурального числа n; обозначается n! = 1·2·3·. ·n; по определению, 0! = 1 … Большая политехническая энциклопедия

Факториал — математическая функция целочисленного аргумента, обозначается n! (произведение целых чисел от 1 до n, весьма быстро растет с ростом аргумента); в данном случае возможна ассоциация с ее обозначением восклицательным знаком: ஐ Шел он сквозь… … Мир Лема - словарь и путеводитель

факториал — произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, то есть 1·2·3·. ·n; обозначается: n!. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. * * * ФАКТОРИАЛ ФАКТОРИАЛ, произведение натуральных чисел от единицы до какого либо… … Энциклопедический словарь

факториал — faktorialas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. factorial vok. Faktorielle, f; Fakultät, f rus. факториал, m pranc. factorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Чтобы найти факториал числа, нужно умножить все целые числа от 1 до этого числа.

Рассчитать онлайн факториал любого числа можно на этом онлайн калькуляторе.

Примеры:
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Расчет факториала от предыдущего значения

Мы можем легко вычислить факториал из факториала предыдущего числа.

Небольшая таблица для понимания

Пример:

9! равняется 362880. Попробуйте посчитать 10!

10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362880 = 3 628 800

Итак, правило такое:

Итак, 10! = 10 × 9!, … и 125! = 125 × 124!, и т. д.

Факториал нуля

А существует ли факториал нуля?

Принято считать, что 0! = 1. Таким образом, факториал нуля равен единице. Почему именно так, можно узнать, посетив страницу Факториалы.

Где используется факториал

Одна из областей, в которой факториал часто используется — это раздел математики, который называется комбинаторика, где нужно посчитать количество перестановок, размещений или сочетаний.

Пример:
Сколько существует способов расположить буквы а,б,в,г без повторений.
Для одной буквы — это один способ — а (или 1! способов)
Для двух букв — два способа — аб, ба. (или 2! способов)
Для трех букв — шесть способов — абв, авб, бав, бва, ваб, вба (или 3! способов).
Для четырех букв — 24 или 4! способов (комбинации попробуйте сами)

Факториалы отрицательных чисел

Могут ли быть факториалы для чисел типа -1, -2 и т. д.?

Нет. Факториалы отрицательных целых чисел не определены. Если вам интересно, почему нельзя получить факториалы чисел, меньших нуля, посмотрите Почему нет факториалов отрицательных чисел.

Интересные факты о факториале

Шесть недель — ровно 10! секунд (= 3 628 800)

Есть 52! способа перемешать колоду карт.

Это 8,0658175 … × 10 67 способов

В наблюдаемой вселенной около 60! атомов.

60! составляет около 8,320987 … × 10 81, а текущие оценки числа атомов составляют от 10 78 до 10 82 .

Читайте также: