Что такое эллипс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Что мы знаем со школы про эллипс? К сожалению, исходя из своей практики работы с учениками, многие вплоть до 11 класса не сталкиваются с такой замечательной плоской фигурой, впрочем как и с её частным случаем - окружностью. Некоторые знают только примерный вид уравнения.

Кстати, какое оно? Каноническим уравнением эллипса считается следующее уравнение:

Почему оно именно такое? Что ж, это можно вывести из определения. Поэтому давайте его напишем.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Давайте сделаем рисунок и попробуем вывести каноническое уравнение из определения эллипса.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса M(x; y) до фокусов - через 2a. По определению 2а > 2c, т.е. а > c.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат OXY так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали а оси OX, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F₁(-c; 0) и F₂(+c; 0).

Тогда, согласно определению эллипса, MF₁ + MF₂ = 2a, то есть:

Мы вывели каноническое уравнение эллипса и доказали, что оно эквивалентно начальному уравнению из определения.

Эллипс - кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.

1. Каноническое уравнение содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка (x; y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей координат Ox и Oy, а также точки O(0; 0), которая является центром эллипса.

2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a;0), в которых ось Ox пересекает эллипс. Положив в уравнении x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0; b) и B₂(0; -b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса .

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса . Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Также из канонического уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.

4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных слагаемых (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если |x| возрастает, то |y| уменьшается и наоборот.

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения b/a. При a = b = R эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса принимает вид x² + y² = R². Однако, в качестве характеристики формы эллипса чаще используется отношение c/a.

Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным, то есть больше походить на окружность, быть ближе к ней по форме. Если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть M(x; y) - произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точки M.
Очевидно, что r₁ + r₂ = 2a.

Тогда имеют место быть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx

Выведем эти формулы

Прямые x = ±a/ε называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.

Если r - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d = ε.

Из равенства a² - c² = b² следует, что a > b. Если же a √( b² - a²).

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Допустим, что перед нами стоит следующая задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

Зададим эллипс параметрическими уравнениями:
x = a ⋅ cos(t) и y = b ⋅ sin(t). Кстати, выразив косинус и синус из каждого, а потом возведя в квадрат оба уравнения, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.

В силу симметричности эллипса относительно начала координат, нам достаточно найти площадь 1/4 части эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий рисунок.

Здесь x изменяется от 0 до a, следовательно параметр t изменяется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса будем искать с помощью интегрирования функции, задающей эллипс в первой четверти координат.

Длина дуги эллипса (периметр эллипса)

Стоит заметить, что для окружности всё получается гораздо проще, и мы легко выводим формулу, знакомую нам со школы C = 2πR .

Приближённые формулы для периметра

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

Площадь сегмента эллипса

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой , проходящей через точки (x; y) и (x; -y) можно определить по формуле:

Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1 , то площадь можно определить по формуле

Физический смысл фокусов

1. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.

2. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.

3. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой F₁M равен углу между касательно и прямой F₂M.

4. Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

5. Эволютой эллипса является астроида , вытянутая вдоль вертикальной оси. Эволюта плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны кривой. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .

6. Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину .
Аффинная длина — параметр плоской кривой , который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях , сохраняющих площадь ).

7. Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.

Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов - Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.

Последнее свойство используется в физике для построение оптических резонаторов в лазерной технике. Лампа накачки размещается вдоль одной из фокальных осей зеркально отражающего эллиптического цилиндра, а лазерный стержень располагается вдоль другой фокальной оси. На второй фокальной оси помещают активную среду. А свойства эллиптической поверхности помогают быть уверенными в том, что вся энергия лампы накачки соберется в области активной среды.

Многофокусные эллипсы

N-эллипс — обобщение эллипса , имеющее более двух фокусов. N- эллипсы называют также мультифокальными эллипсами , полиэллипсами, k -эллипсами , эллипсами Чирнхауса . Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.

Пусть на плоскости задано n точек (ui , vi ) (фокусы ), тогда n -эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d . В виде формулы данное утверждение записывается как

1-эллипс представляет собой окружность , 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n -эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.

Определение. Эллипс - это замкнутая плоская кривая, которая имеет уравнение x²/a²+y²/b²=1. Это каноническое уравнение эллипса, в нем координатные оси совпадают с осями эллипса.

Он имеет два фокуса. Это такие точки, сумма расстояний от которых до любой P(x,y) есть постоянная величина. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Эллипс

Элементы:

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0); F ₂ (- c ; 0)
A₁ A₂ - большая ось;
B₁ B₂ - малая ось;
О - центр эллипса (пересечения малой и большой осей);
A₁, A₂, B₁, B₂ - вершины эллипса;
Диаметр эллипса - отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через O;
с – фокусное расстояние, половина расстояния между F₁ и F₂;
a – большая полуось эллипса;
b – малая полуось;
r₁ и r₂ - фокальные радиусы эллипса;
если a > b, то уравнения директрис эллипса x=-a/e, x=a/e;
если a 2 /a - отрезок, который соединяет фокус фигуры и точку на кривой, перпендикулярен ее большей оси.

Теорема. Фокусное расстояние c и полуоси эллипса связаны соотношением:

Доказательство: В случае, если М лежит на пересечении кривой с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если М - пересечение его с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = а – c + а + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r ₂ – постоянна, то , приравнивая, получаем:

Основные свойства эллипсa

Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r₁ равен углу между касательной и радиусом r₂. Лучи, выпущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе.
Уравнение касательной к эллипсу в М с координатами (x_M, y_M): .
Если две параллельные прямые пересекают эллипс, то отрезок соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через (.) O эллипсa. (Это свойство дает возможность находить центр эллипса.)
При равенстве полуосей эллипс превращается в окружность.
Эллипс это коническое сечение. Он может быть получен как пересечение плоскости с конусом.

Уравнение

Каноническое уравнение в декартовой системе координат, центр в начале координат, большая ось на оси абсцисс: . Эллипс - кривая второго порядка. Координаты x и y входят только в четных степенях, поэтому эллипс симметричен относительно осей координат. Оси координат пересекают эллипс в A₁(-a,0), A₂(a,0), B₁(0,-b), B₂(0,b). Эллипс лежит в прямоугольнике 2a и 2b.
Центр смещен в ( x_o, y_o):
Параметрическое: , где 0 ≤ α ≤ 2 π.
В полярной системе координат: , где полюс полярной системы координат левый фокус F₁, полярная ось луч F₁ , F₂, p = b²/a фокальный параметр.

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписанный в эллипс касается только двух вершин эллипсa B₁ и B₂. Соответственно, радиус вписанного круга будет равен длине малой полуоси эллипсa r = b.

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описанный вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A₁ и A₂. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa R = a.

Как построить эллипс

П е р в ы й с п о с о б.

Сумма расстояний от любой точки эллипсa до его фокусов величина постоянная равная 2а.

Иголки втыкаем в фокусы F₁ , F₂.
К иголкам привязываем нитку длинной 2а.
Нитку оттягиваем карандашом и чертим.

В т о р о й с п о с о б.

Проводим две концентрические окружности радиуса a и b.
Через центр О проводим произвольный луч ON.
Через точки K и M, в которых луч ON пересекает окружности, проводим прямые соответственно параллельные осям Ox и Oy.
Точка их пересечения L - точка искомого эллипса.
Меняя направление луча ON, получим новые точки эллипсa.

Эксцентриситет эллипса

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая равна отношению е = с/a называется эксцентриситетом, характеризует вытянутость фигуры. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем линия больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Пример 2. Дана кривая 9x 2 + 25y 2 = 225. Найти: 1) показать, что это эллипс, найти его полуоси 2) эксцентриситет 3) директрисы.

Разделим обе стороны на 225

сократим, получим каноническое уравнение эллипса

Следовательно, 1) полуоси a = 5, b = 3, 2) F₁(-c, 0), F₂(c, 0) с определим из равенства b 2 = a 2 - c 2 , c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16, c = 4, поэтому левый фокус F₁(-4, 0), правый F₂(4, 0).

4) уравнение директрис x = ±a/e =±5*5/4=±25/4.

Пример 3. Эксцентриситет e = 1/3, центр его совпадает с началом координат, F₁ (-2;0). Вычислить расстояние от точки M₁ с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

Т.к. F₁ (-2;0), то с = 2. Зная с и e = 1/3, определим а. e = c/a, а = c/е = 2*3=6. Уравнение директрисы x = -а/e = -6*3 = -18. Точка M₁ имеет координату х = 2. Следовательно, d = |-18|+2=20.

Пример 4. Определить точки эллипса x 2 /100+y 2 /36 =1, расстояние от которых до F₂ равно 14. Найти директрисы.

a = 10, b = 6, c 2 = а 2 - b 2 = 100 -36 = 64 = 8 2 . Найдем эксцентриситет е = c/а = 8/10 = 4/5. Используем формулу для r₂ = а - еx, 14 = 10 - 4/5*x, отсюда х = -5. Подставим в исходное координату х и найдем у = ±√27 = ±3√3. Условиям задачи удовлетворяют точки (-5; 3√3) и (-5; -3√3).
Уравнения директрис x = ±a/e = ±10/4/5 = ±25/2 = ±12,5.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F₁ и F₂ равна постоянной величине. Точки F₁ и F₂ называют фокусами эллипса.


Рис.1	Рис.2

Элементы эллипсa

А₁А₂ = 2 a - большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B₁B₂ = 2 b - малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a - большая полуось эллипса

b - малая полуось эллипса

O - центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a . Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =	c
	a

Радиус эллипсa R - отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =	ab	=	b
	√ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ		√ 1 - e 2 cos 2 φ

где e - эксцентриситет эллипсa, φ - угол между радиусом и большой осью A₁A₂. Фокальный параметр эллипсa p - отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:

p =	b 2
	a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k - отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k =	b
	a

где e - эксцентриситет.

Сжатие эллипсa (1 - k ) - величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

1 - k =	a - b
	a

Директрисы эллипсa - две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии a e от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно p e .

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r ₁ равен углу между касательной и фокальным радиусом r ₂ (Рис. 2, точка М₃).

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами ( x _M, y _M):

1 =	x x _M	+	y y _M
	a 2		b 2

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)

5. Если вписать эллипс с фокусами F₁ и F₂ у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:

1 =	F₁A ∙ F₂A	+	F₁B ∙ F₂B	+	F₁C ∙ F₂C
	CA ∙ AB		AB ∙ BC		BC ∙ CA

Уравнение эллипсa

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипсa описывается уравнением:

1 =	x 2	+	y 2
	a 2		b 2

Если центр эллипсa О смещен в точку с координатами ( x_o , y_o ), то уравнение:

1 =	( x - x_o ) 2	+	( y - y_o ) 2
	a 2		b 2

Параметрическое уравнение эллипсa:

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписан в эллипс касается только двух вершин эллипсa B₁ и B₂. Соответственно, радиус вписанного круга r будет равен длине малой полуоси эллипсa OB₁:
r = b

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описан вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A₁ и A₂. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa OA₁:
R = a

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и уравнения (каноническое и параметрическое) одной из основных геометрических фигур – эллипса.

Определение эллипса

Эллипс – это замкнутая кривая на плоскости, сумма расстояний от каждой точки которой до ее фокусов (F₁ и F₂) равна постоянному значению.

Примечание: частным случаем эллипса является окружность.

Элементы эллипса

Для рисунка выше:

Примечание: свойства эллипса представлены в отдельной публикации.

Уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Если центр эллипса (точка O) находится в начале системы координат (декартовой), а большая ось лежит на оси абсцисс, то фигуру можно описать уравнением ниже:

Если центр эллипса находится в точке с координатами (x₀; y₀), уравнение принимает следующий вид:

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F₁(-c;0); F₂(c;0)

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 - a 2 y 2 - x 2 b 2 = 0,

a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Читайте также: