Что такое диапазон измерений в метрологии кратко

Обновлено: 02.07.2024

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕЖГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАНДАРТИЗАЦИИ

Государственная система обеспечения единства измерений

Основные термины и определения

State system for ensuring the uniformity of measurements. Metrology. Basic terms and definitions

Дата введения 2015-01-01

Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0-92 "Межгосударственная система стандартизации. Основные положения" и ГОСТ 1.2-2009 "Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия, применения, обновления и отмены"

Сведения о рекомендациях

1 РАЗРАБОТАНЫ Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им.Д.И.Менделеева" (ФГУП "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева")

2 ВНЕСЕНЫ Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии (Росстандарт)

3 ПРИНЯТЫ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 14 ноября 2013 г. N 44)

За принятие проголосовали:

Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97

Сокращенное наименование национального органа по стандартизации

Минэкономики Республики Армения

Госстандарт Республики Беларусь

4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 5 декабря 2013 г. N 2166-ст рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 29-2013 введены в действие в Российской Федерации для применения в качестве рекомендаций по метрологии Российской Федерации с 1 января 2015 г.

Информация об изменениях к настоящим рекомендациям публикуется в ежегодном информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящих рекомендаций соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

Введение

За полтора десятка лет, прошедших с подготовки последней редакции РМГ 29, продолжалось развитие понятийного аппарата современной метрологии, отражающее расширение влияния метрологии на новые области измерений и отвечающее процессам глобализации и интеграции, происходящим в мировой экономике.

Современное представление основных понятий зафиксировано в последней редакции Международного словаря по метрологии (VIM3-2008)*, где основные изменения коснулись расширения таких понятий, как "метрология", "величина", а также включения ряда новых понятий, связанных с метрологической прослеживаемостью и неопределенностью измерений. Одной из задач актуализации РМГ 29 является гармонизация с международной терминологией, что направлено на обеспечение единого подхода к оценке качества результатов измерений, установление их метрологической прослеживаемости и, в конечном итоге, способствует взаимному признанию результатов измерений, калибровок, испытаний и выполнению международных обязательств стран СНГ.

* Доступ к международным и зарубежным документам, упомянутым в тексте, можно получить, обратившись в Службу поддержки пользователей. - Примечание изготовителя базы данных.

В настоящих рекомендациях учтены термины "Международного словаря по метрологии. Основные и общие понятия и соответствующие термины" [1], [2] (далее - VIM3). В формулировках определений преимущество отдавалось принципам сохранения преемственности и целостности сложившейся в СНГ системы терминов. Термины, включенные в настоящие рекомендации в виде отдельной словарной статьи, выделены жирным шрифтом при их первом упоминании в каждой словарной статье. Курсивом* выделены термины, которые разъясняются в примечаниях к основным терминам настоящих рекомендаций. Для терминов, содержащихся в VIM3, приведены английские названия. В случае расхождения трактовок понятий с VIM3, соответствующие различия отражены в примечаниях.

* В бумажном оригинале обозначения и номера стандартов и нормативных документов приводятся обычным шрифтом. - Примечание изготовителя базы данных.

Настоящие рекомендации содержат основные термины, используемые в метрологии. Часть терминов предыдущей редакции РМГ 29 исключены. Это касается, в первую очередь, ряда терминов, содержащихся в других межгосударственных документах и терминов, относящихся к организации деятельности метрологической службы.

Взаимные отношения между терминами иллюструет приложение А, содержащее схемы связи понятий.

1 Область применения

Настоящие рекомендации устанавливают основные термины и определения понятий в области метрологии.

Термины, установленные настоящим документом, рекомендуется применять во всех видах документации, научно-технической, учебной и справочной литературе по метрологии, входящих в сферу работ по стандартизации и (или) использующих результаты этих работ.

2 Метрология и ее разделы

2.1 метрология: Наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Примечание - Определение, данное в VIM3 (2.2) [1], является более широким и включает все теоретические и практические аспекты измерений, независимо от неопределенности измерений и области применения.

2.2 теоретическая метрология: Раздел метрологии, предметом которого является разработка фундаментальных основ метрологии.

Примечание - Иногда применяют термин фундаментальная метрология.

2.3 законодательная метрология: Раздел метрологии, предметом которого является установление обязательных технических и юридических требований по применению единиц величин, эталонов, методов и средств измерений, направленных на обеспечение единства и требуемой точности измерений.

2.4 практическая (прикладная) метрология: Раздел метрологии, предметом которого являются вопросы практического применения разработок теоретической метрологии и положений законодательной метрологии.

practical (applied) metrology

3 Величины и единицы

3.1 величина: Свойство материального объекта или явления, общее в качественном отношении для многих объектов или явлений, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Примечание - Определение, данное в VIM3 (1.1) [1], включает также способ количественного выражения размера величины как числа и основы для сравнения. В качестве основы для сравнения может выступать единица измерения, методика измерения, стандартный образец или их комбинации.

3.2 размер величины: Количественная определенность величины, присущая конкретному материальному объекту или явлению.

size of quantity

3.3 род (величины): Качественная определенность величины.

Примеры

1 Длина и диаметр детали - однородные величины.

2 Длина и масса детали - неоднородные величины.

Примечание - Однородные величины в рамках данной системы величин имеют одинаковую размерность величины. Однако величины одинаковой размерности не обязательно будут однородными.

kind of quantity, kind

3.4 значение величины: Выражение размера величины в виде некоторого числа принятых единиц, или чисел, баллов по соответствующей шкале измерений.

Примечание - В VIМ3 (1.19) [1] значение величины определено как число и основа для сравнения, совместно выражающие размер величины. В зависимости от основы для сравнения значение величины может быть выражено: числом и единицей измерения, числом и указанием методики измерений, числом и указанием стандартного образца.

quantity value, value of a quantity, value

3.5 числовое значение (величины): Отвлеченное число, входящее в значение величины.

numerical quantity value, numerical value of a quantity, numerical value

3.6 система величин: Согласованная совокупность величин и уравнений связи между ними, образованная в соответствии с принятыми принципами, когда одни величины условно принимают за независимые, а другие определяют как функции независимых величин.

1 Порядковые величины, такие как твердость, измеряемая по шкале С Роквелла, обычно не рассматриваются как относящиеся к системе величин, так как они связаны с другими величинами только через эмпирические соотношения.

system of quantities

3.7 уравнение связи (между величинами): Математическое соотношение между величинами в данной системе величин, основанное на законах природы и не зависящее от единиц измерения.

3.8 основная величина: Одна из величин подмножества, условно выбранного для данной системы величин так, что никакая из величин этого подмножества не может выражаться через другие величины.

1 Подмножество, упоминаемое в этом определении, называется набором основных величин.

2 Основные величины относят к взаимно независимым, так как основная величина не может быть выражена как произведение степеней других основных величин.

3.9 производная величина: Величина, входящая в систему величин и определяемая через основные величины этой системы.

Пример - Примеры производных величин механики системы LMT: скорость поступательного движения, определяемая (по модулю) уравнением , где - путь, - время; сила , приложенная к материальной точке, определяемая (по модулю) уравнением , где - масса точки, - ускорение, вызванное действием силы .

3.10 Международная система величин: Система величин, основанная на подмножестве семи основных величин: длины, массы, времени, электрического тока, термодинамической температуры, количества вещества и силы света.

International System of Quantities, ISQ

3.11 размерность (величины): Выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных величин в различных степенях и отражающее связь данной величины с величинами, принятыми в данной системе величин за основные с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

1 Степени символов основных величин, входящих в одночлен, в зависимости от связи рассматриваемой величины с основными, могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными. Понятие размерности распространяется и на основные величины. Размерность основной величины в отношении самой себя равна единице, т.е. формула размерности основной величины совпадает с ее символом.

2 Символы, представляющие размерности основных величин в Международной системе величин, приведены в таблице 1.

Приборы для линейных и угловых измерений характеризуются следующими метрологическими показателями: ценой деления или дискретностью цифрового отсчета, диапазоном измерения по шкале, пределом измерения прибора, измерительным (контактным) усилием и погрешностью.
Для полной характеристики прибора необходимо еще знать интервал деления шкалы, передаточное отношение, предельно допустимую погрешность, повторяемость показаний, гистерезис и др.

Некоторые метрологические показатели и термины определены стандартами. Другие применяются фирмами и на производстве. В обоих случаях следует знать, что они означают.
Одним из основных конструктивных элементов приборов является отсчетное устройство со шкалой или цифровым дисплеем. С помощью шкалы или цифрового дисплея передается информация об измеряемой величине в форме наиболее доступной для пользователя, называемая показания прибора.

Шкала

Шкалой называется совокупность ряда отметок (штрихов) и проставленных у некоторых из них чисел отсчета, соответствующих значениям или отклонениям измеряемой величины.

круговая шкала измерительного прибора

На рисунке 1 показан пример выполнения круговой шкалы. Расстояние между серединами двух соседних отметок (штрихов) шкалы или между двумя штрихами называется интервалом деления (или ценой деления) . Цена деления выражается единицей измерения, указанной на шкале.

Для большинства приборов интервал деления шкалы - постоянная величина на всей длине шкалы. Такие шкалы называются равномерными.
Неравномерные шкалы в приборах для линейных измерений в настоящее время не применяются.
Интервал деления шкалы выбирают от 0,9 до 2,5 мм. При таких интервалах делений обеспечивается наилучший результат глазомерной оценки долей деления при расположении стрелки указателя прибора между штрихами шкалы.

Значение измеряемой величины, соответствующее одному делению шкалы, называется ценой деления (с) . Цена деления, как правило, не должна быть меньше погрешности показаний прибора.

По ГОСТ 5365-83 цена деления шкалы прибора должна быть кратной цифрам 1, 2 или 5.
Ширина штрихов шкал выбирается в пределах 0,1…0,2 мм.
Разность ширин штрихов в пределах одной шкалы не должна быть больше 0,05 мм.
Длина коротких штрихов принимается равной 2-2,5 интервала деления, а длинных – 3…3,5 интервала.
Ширина конца стрелки, располагающегося над штрихами шкалы, не должна быть больше ширины штрихов. Конец стрелки должен перекрывать 0,3…0,8 длины коротких штрихов шкалы.

В настоящее время созданы электронные приборы и инструменты с непосредственным цифровым отсчетом результатов измерений. У этих приборов шкала заменена многоразрядным цифровым дисплеем, на котором цифрами отображается результат измерения. В каждом разряде обычно цифры от 0 до 9.
Наименьшая разница в младшем разряде называется дискретностью показаний .
Высота цифр у ручных инструментов и приборов (например, штангенциркуля) составляет 7,5…9 мм. У выносных электронных блоков высота цифр составляет 12…15 мм и более.

Особенность цифрового отсчета по сравнению со штриховыми шкалами состоит в том, что ее дискретность (наименьшее показание) меньше погрешности показаний прибора. Это объясняется десятичным характером цифрового отсчета. Это качество цифрового отсчета повышает точность настройки приборов при калибровке и настройке на нуль при относительных измерениях.

Диапазон измерения

Значение измеряемой величины, соответствующее всей шкале прибора с нормированной погрешностью, называют диапазоном измерения по шкале прибора. Диапазон измерения по шкале не всегда совпадает с пределом измерения прибора.

Пределом измерения прибора называется наибольшая и наименьшая величины, которые могут быть измерены прибором.
Например, микрометр с пределом измерения 50…75 мм имеет диапазон измерения по штриховой шкале 25 мм.
Для индикаторов, измерительных головок и других приборов, предназначенных для относительных измерений на стойках со столиками, пределы измерения высот определяются высотой стойки, а диаметров - вылетом кронштейна, в котором крепится индикатор. В таких случаях обычно указывают отдельно предел измерения диаметров и высот.

Чувствительность прибора

Перемещение измерительного стержня механического прибора передается стрелке через увеличивающий передаточный механизм (рычажный, зубчатый) . У индуктивных и инкрементных преобразователей отсутствует механическая передача - перемещение измерительного стержня преобразуется в электрический сигнал. В обоих случаях свойство прибора реагировать на изменения измеряемой величины называется чувствительностью или разрешением прибора.
Чувствительность прибора очень важная характеристика и оценивается наименьшим изменением значения измеряемой величины, способным вызвать малейшее заметное изменение показаний прибора, и называется порогом чувствительности или разрешающей способностью прибора.

Отношение линейного или углового перемещения стрелки (указателя) или изменение цифрового показания прибора к изменению размера, вызвавшему это перемещение, называется передаточным отношением прибора .
Для штриховых шкал передаточное отношение определяется отношением интервала деления a к цене деления c :

Если стрелка прибора при точных измерениях останавливается между штрихами шкалы, то отсчет производится глазомерной оценкой дробной части деления, пройденного стрелкой.

Точностью отсчета называется точность, достигаемая при отсчете по шкале прибора. Точность отсчета зависит от качества штрихов шкалы, толщины стрелки (указателя) , расстояния между шкалой и стрелкой, освещенности шкалы и квалификации контролера.
Наиболее благоприятная для точного отсчета ширина штрихов шкалы равна 0,1 интервала деления.
У цифровых шкал точность отсчета зависит от дискретности шкалы, то есть последнего разряда показаний и не имеет субъективной ошибки отсчета.

Параллакс

погрешности измерительных инструментов и приборов

Параллаксом называется кажущееся смещение указателя относительно штрихов шкалы (рис. 2) при наблюдении в направлении, не перпендикулярном плоскости шкалы. Это явление связано с особенностями строения органов зрения человека и может приводить к значительным погрешностям при считывании показаний с измерительного прибора или инструмента.
Погрешности отсчета, вызываемые параллаксом, особенно ощутимо проявляются у штангенциркулей и часто превосходят величину отсчета по нониусу.
Погрешность параллакса, согласно обозначениям, принятым на рис. 2 , будет равна δ = h tg φ .

Для уменьшения погрешности от параллакса расстояние между отсчетным индексом и шкалой должно быть минимальным, а отсчет следует производить при наблюдении перпендикулярно плоскости шкалы.

Воспроизводимость или повторяемость

При многократном измерении одного размера вследствие несовершенства механизма прибора (наличия в нем зазоров, трения, и деформаций) повторные показания прибора могут не совпадать.
Наибольшая разность между показаниями прибора при многократном измерении одной и той же величины в одном направлении при неизменных внешних условиях называется вариацией показаний, воспроизводимостью или повторяемостью .

Воспроизводимость измерений может характеризоваться стандартным отклонением или средней квадратической погрешностью сравниваемых рядов измерений. Воспроизводимость несёт важную информацию для оценки погрешности измерения.
Воспроизводимость свидетельствует о правильности измерения только в том случае, если прибор не имеет систематической ошибки или если систематическая ошибка мала и ей можно пренебречь.

Погрешность показаний

Погрешность показаний прибора - это разность между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины.
На погрешность влияют многие факторы - совершенство конструкции и техническое состояние средства измерения, способ использования прибора, человеческий фактор (острота зрения, дрожание рук, степень мастерства и профессионализма и т. п.) , а также такие факторы, как измерительное усилие, температура приборов и температура помещения, в котором производится измерение.

Измерительное усилие

Измерительным (контактным) усилием называется сила, создаваемая механизмом прибора и действующая на измеряемую поверхность в направлении линии измерения.
Измерительное усилие обычно создается пружинами, деформации и усилия которых изменяются в зависимости от перемещения измерительного стержня прибора.

Разность между наибольшим и наименьшим значениями измерительного усилия при однонаправленном изменении значений измеряемой величины называется колебанием (перепадом) измерительного усилия.

Величина измерительного усилия и его перепад оказывают большое влияние на результат измерения, так как вызывают деформации измерительной оснастки, контролируемой поверхности и других элементов, что приводит к возникновению дополнительной поверхности.
По этой причине всегда стремятся к уменьшению измерительного усилия и его перепада, но в ограниченных пределах, поскольку слишком малое измерительное усилие может привести к отрыву наконечника от контролируемой поверхности, т.е. к ненадежности измерения, особенно при динамических измерениях на больших скоростях.

Нормальное значение температуры

Для измерительных инструментов, приборов и деталей машин ГОСТ 9249-59 установлено нормальное значение температуры, равное 20 ˚С. Именно при этой температуре действительны все размеры, меры, метрологические характеристики измерительных приборов, результаты измерении и т.п.

Степень защиты измерительных приборов

Все измерительные средства особенно их преобразователи и механизмы защищают от попадания мелких твердых частиц, пыли и воды.
Степень защиты измерительных приборов определена и нормируется российским национальным стандартом ГОСТ 14254-96 и международным стандартом DIN EN 60 529.
Для обозначения степени защиты приборов применяются две цифры: первая цифра определяет защиту от попадания твердых частиц и пыли, вторая - от влаги.
Пример обозначения степени защиты - IP54.
Классификация приборов по степени защиты от твердых частиц и влаги приведена в таблице ниже.

Примечание: точками обозначены недостающие цифры в обозначении степени защиты от другого вредного фактора.

Нормируемые метрологические характеристики

Нормируемые метрологические характеристики (НМХ) – характеристики СрИзм, предназначенные для обеспечения единства измерения с требуемой точностью и устанавливаемые нормативными и/или техническими документами.

Содержание:

Отметка шкалы

Штрих или иное условное обозначение на шкале СрИзм. Например, отметкой шкалы на линейке, на циферблатных весах служит штрих. Отметка шкалы может отсутствовать на цифровых, печатающих и иных СрИзм.

Цена деления

Разность значений величины, соответствующей двум соседним отметкам шкалы. Например, цена деления линейки может быть 1 мм, 1 см, 5 см и т.д., цена деления циферблатных весов 5 или 10 г.

Диапазон показаний (ДП)

Область значения шкалы, ограниченная начальным конечным значениям шкалы. Например, школьная линейка может иметь диапазон показаний от 0 до 30,3 или 50,3 см; циферблатные весы ВНУ от 0 до 1 кг. Диапазон показаний эталона мтра (экземпляр № 28), переданного в 1889 г. России составлял 1,02 м, а диапазон измерений – 1 м.

Диапазон измерений (ДИ)

Оласть значения измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности. Например, диапазон измерений на циферблатных весах составляет от 5 г до 5 или 10 кг. Диапазон измерений не всегда совпадает с диапазоном показаний, а может быть больше или меньше последнего. Об этом свидетельствуют диапазоны показаний и измерений циферблатных весов (ДИ>ДП), эталоны метра – экземпляра № 28 (ДИ

Классификация по пределам и диапазонам измерения
Классификация по пределам и диапазонам измерения
Классификация по пределам и диапазонам измерения

Для многих измерительных приборов нижний предел измерения равен нулю, поэтому он часто характеризуется сокращением верхнего предела, а не диапазона измерения в качестве предела измерения . Если нижний предел измерения равен нулю, диапазон измерения отображается как O — N (единица измерения). Например, О — 5 кг. 1-100А и т. Д. В некоторых случаях, если нижний предел измерения не равен нулю, диапазон измерения обозначается следующим образом: 25-50 мм, 10-1000 Ом и т. Д.

Контроль отклонений расположения поверхностей в производственных условиях осуществляют с помощью проходных комплексных калибров. Людмила Фирмаль

Строго говоря, для многих приборов со шкалой 0 нижний предел измерения фактически не равен нулю. Точность измерения малых значений значительно снижается, поэтому нижний предел рабочей части шкалы должен быть определенным значением, составляющим 20-30% от верхнего предела. Многие приборы имеют устройства, которые могут изменять диапазон измерений в очень широком диапазоне. В этих случаях должен быть описан общий диапазон измерений, охватываемый измерительным устройством, и отдельные диапазоны, часто называемые отказом термина поддиапазон.

Есть три способа разделить общий диапазон на отдельные диапазоны. 1. Для каждого диапазона нижний предел измерения остается нулевым. Например, общий диапазон измерения 0-100 можно разделить на диапазон 0-0,1. 0-1; 0-10 и 0-100. 2. Общий диапазон делится на ряд равных последовательных диапазонов. Например, общий диапазон 0-5 делится на диапазон 0-1. 1-2; 2-3; 3-4; 4-5. 3. Как и во втором варианте, общий диапазон делится на последовательные диапазоны, но пределы измерения частично перекрываются. Например, общий диапазон 10-15000 делится на диапазон 10-150. 100-1500 и 1000-15000.

  • Теперь, если принимается во внимание только верхний предел измерения, давайте вернемся к проблеме неточностей или недостатков в характеристиках диапазона измерения. Многодиапазонное измерительное устройство может характеризоваться только верхним пределом измерения, если нет сомнений в том, что разделение на различные диапазоны выполняется в соответствии с первым методом. Однако, поскольку некоторые измерительные устройства имеют ненулевые шкалы, к характеристикам таких измерительных устройств следует подходить с осторожностью.

Для таких измерительных приборов обязательно отображать пределы диапазона измерения. Отображение только верхнего предела измерения привело к тому, что слова, сокращенные как предел измерения или предел , стали называть диапазон измерения. Такие выражения даже появились в технической литературе и нормативных документах. Ограничения (например, устройство , предел ожидания 10, ошибка не превышает 0,1 или изменение инструкций с ограничением 100 e превышает 1%) Давайте проанализируем их (формула: мультилимитное измерительное устройство ) ошибка в этом термине наиболее выражена, когда мы говорим двухлимитный.

По виду контролируемой поверхности калибры подразделяют па калибры для контроля внутренней резьбы и калибры для контроля наружной резьбы. Людмила Фирмаль

Это означает двухдиапазонное измерительное устройство с двумя пределами измерения. Предел измерения. При пределе 10 погрешность измерения не превышает 0,1 или При пределе 100 показание не превышает 1% . Это означает, что верхний предел измерения находится в диапазоне 10 (или 100). Для инструментов диапазона вы можете видеть, что характеристика (ошибка или изменение в чтении) относится ко всему включенному диапазону.

Вышеприведенное выражение следует понимать так, чтобы оно было точным и грамматически правильным, и чтобы показанные характеристики относились только к ограниченному отображению. Многополосные характеристики прибора имеют свои преимущества и недостатки. Преимущество состоит в том, что один многополосный счетчик заменяет несколько однополосных счетчиков. Это дороже, чем каждая отдельная полоса, но дешевле, чем любое одноканальное устройство, которое оно заменяет. Кроме того, нет необходимости удалять одно устройство и устанавливать на его место другое устройство.

Для хранения многополосного счетчика требуется гораздо меньше места, чем для однополосного счетчика. Недостатки многодиапазонных приборов включают ненадежность получения результатов измерений по сравнению с однополосными приборами из-за наличия различных переключающих устройств, которые могут вызвать дополнительные ошибки. , Чем шире диапазон измерений, тем сложнее отремонтировать оборудование. Калибровка таких измерительных приборов также требует времени. Поскольку между проверками невозможно предсказать каждый случай использования измерительного устройства, необходимо проверить все диапазоны.

Если вам потребуется заказать решение по метрологии вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Помощь студентам в учёбе
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal
lfirmal

Образовательный сайт для студентов и школьников

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Читайте также: