Что такое центр окружности кратко

Обновлено: 05.07.2024

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ.
РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности.
ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности.
ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности) Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Кругом называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга) Секущая - это прямая, имеющая с окружностью две общие точки (на рисунке 1 показана секущая l ). Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой (на рисунке 1 показана хорда АВ). Итак, Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности. Части, на которые хорда разбивает круг
, называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги. Диаметром называют хорду, проходящую через центр окружности. Сектором круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов

Определение - объяснение понятия, опирающееся на начальные понятия (например, понятие "точка") или на определенные ранее.
Окружность - это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки плоскости.
Центр окружности - точка плоскости, равноудаленная от всех точек окружности.
Радиус окружности - равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности.
Хорда - отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр окружности - хорда, проходящая через центр.

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ :

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Хорда AB стягивает дуги AFB и AJB.

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одного из основных геометрических объектов – окружности. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти ее радиус, диаметр и длину.

Определение окружности

Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от определенной точки. Данная точка называется центром окружности.

Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

Диаметр окружности (d) – это линия (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две противоположные точки, лежащие на ней.

Примечание: Не стоит путать окружность с кругом, т.к. круг – это множество точек плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности).

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

Определение окружности

Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Свойство 3

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.

Содержание

Другие определения

Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

$\pi$

Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
Длина единичной полуокружности обозначается через .
Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей. — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Свойства

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
Длину дуги окружности радиуса , образованной центральным углом , измеренным в радианах, можно вычислить по формуле .
- Длину окружности с радиусом можно вычислить по формуле .
- Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
- Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
Основные формулы

$C = 2 \pi R = \pi D.$

$R = \frac<C> = \frac.$

$D = \frac<C> <\pi>= 2 R.$

Площадь круга радиуса R:

$S= \pi R^2 = \frac<\pi D^2> .$

Площадь сектора, ограниченного углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

$S= \pi R^2 \frac<\alpha> .$

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности углом α, хордой:

$S= \pi R^2 \frac<\alpha> -\frac.$

Уравнения

Декартовы координаты

Общее уравнение окружности записывается как:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0,\,$

$\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2,$

$2x_0=-A,\; 2y_0=-B,\; 2R = \sqrt<A^2+B^2-4C> .$

Точка — центр окружности, — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

$x^2 + y^2 = R^2.\,$

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) и

$\begin x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end = 0.$

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

$y = y_0 \pm \sqrt<R^2 - (x - x_0 )^2> .$

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

$y = \pm \sqrt<R^2 - x^2 > .$

Полярные координаты

Окружность радиуса с центром в точке :

$\rho^2 - 2\rho\,\rho_0\cos\left(\phi-\phi_0\right) + \rho_0^2 = R^2.$

$\rho_0 = R,\;\phi_0 = \alpha,$

Если полярные координаты центра окружности то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

$\rho(\varphi)=2R\cos\,(\varphi-\alpha),\;\;\;\alpha-\frac\pi 2 \leqslant \varphi \leqslant \alpha+\frac\pi 2.$

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид:

$\rho=R.\,$

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

$\left|z - z_0\right| = R\,$

или в параметрическом виде

$z=z_0 + Re^<it> ,\,t\in\R.\,$

Касательные и нормали

$\left(x_1,y_1\right)$

Уравнение касательной к окружности в точке определяется уравнением

$\left(\frac +x_1\right)x + \left(\frac+y_1\right)y + \left(\fracx_1+\fracy_1+C\right) = 0.$

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

$\frac<x-x_1> = \frac.\,$

Концентрические и ортогональные окружности

Две окружности, заданные уравнениями:

$x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда и

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

Читайте также: