Что такое арктангенс кратко

Обновлено: 30.06.2024

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения $x\in\mathbb$ - см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения $x\in\mathbb$ - см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций - см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи $y=tgx$ аргумент x - это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от $-\infty;$ до $+\infty$. Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если $tgx=1$, то $x=\frac\pi4+\pi k,\ k\in\mathbb$; если $tgx=0$, то $x=\pi k,\ k\in\mathbb$ и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: $-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2$ (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

Арктангенсом числа $a\ (a\in\mathbb)$ называется такое число $x\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]$, тангенс которого равен $a$. $$ arctg a=x \Leftrightarrow \begin tgx=a\\ -\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2 \end $$

п.2. График и свойства функции y=arctgx

1. Область определения $x\in\mathbb$ .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами $-\frac\pi2\leq arctgx\leq \frac\pi2$ .
Область значений $y\in\left(-\frac\pi2; \frac\pi2\right)$
3. Функция стремится к максимальному значению $y_=\frac\pi2\ \text\ x\rightarrow +\infty$
Функция стремится к минимальному значению $y_=-\frac\pi2\ \text\ x\rightarrow -\infty$
Функция имеет две горизонтальные асимптоты $y=\pm\frac\pi2$ .
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: $arctg(-x)=-arctg(x)$ .

п.3. Уравнение tgx=a

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: $0\lt x\lt \pi$ (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

Арккотангенсом числа $a\ (a\in\mathbb)$ называется такое число $x\in(0;\pi)$, котангенс которого равен $a$. $$ arcctg a=x \Leftrightarrow \begin ctgx=a\\ 0\lt x\lt \pi \end $$

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

1. Область определения $x\in\mathbb$ .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами $0\lt arcctgx\lt \pi$ .
Область значений $y\in(0;\pi)$
3. Функция стремится к максимальному значению $y_=\pi\ \text\ x\rightarrow -\infty$
Функция стремится к минимальному значению $y_=0\ \text\ x\rightarrow +\infty$
Функция имеет две горизонтальные асимптоты $y=0\ \text\ y=\pi$ .
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

2) $ctgx=2$
$x=arcctg2+\pi k$
Можно также преобразовать уравнение в $tg x=\frac$
Получаем ответ: $x=arctg\frac12+\pi k$
Очевидно, что $arcctg 2=arctg\frac$ (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

Аркфункции от обратных тригонометрических функций \begin arcsin(sin\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right],\ \ arccos(cos\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in[0;\pi]\\ arctg(tg\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right),\ \ arcctg(ctg\alpha)=\alpha,\ \ \alpha\in(0;\pi) \end

Аркфункции отрицательных аргументов \begin arcsin(-\alpha)=-arcsin\alpha,\ \ arccos(-\alpha)=\pi-arccos\alpha\\ arctg(-\alpha)=-arctg\alpha,\ \ arcctg(-\alpha)=\pi-arcctg\alpha \end

Суммы аркфункций \begin arcsin\alpha+arccos\alpha=\frac\pi2,\ \ arctg\alpha+arcctg\alpha=\frac\pi2 \end

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для $y=arctgx$ область определения $x\in\mathbb$, область значений $-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2$.
Обратная функция $y=tgx$ должна иметь ограниченную область определения $-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2$ (главная ветвь) и область значений $y\in\mathbb$.
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

Пример 3. Вычислите:
a) $2arccos\left(-\frac12\right)+arctg(-1)+arcsin\frac>=2\cdot\frac<2\pi>-\frac\pi4+\frac\pi4=\frac<4\pi>$
б) $arcsin1-arccos\frac<\sqrt>-arctg(\sqrt)=arcsin1-\frac\pi3+\frac\pi3=arcsin1$
в) $arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4$
г) $5-2arccos0+arcsin\frac>+3arccos\frac>=5-2\cdot\frac\pi2+\frac\pi4+3\cdot\frac\pi4=5$

Пример 4. Постройте графики функций:
$a)\ y=arccos\left(\frac\right)+arccos\left(-\frac\right)$
Сумма арккосинусов $arccosa+arccos(-a)=\pi$, где $-1\leq a\leq 1$.
Получаем систему для определения ОДЗ: \begin -1\leq \frac\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac+1\leq 2\Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\leq 2 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\leq 0 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x+1\leq 0\\ x-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x\geq 1 \end \\ \begin x\lt 0\\ x\leq -1 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -1\cup x\geq 1 \end Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1\leq\frac\leq 1\Leftrightarrow |\frac|\leq 1\Leftrightarrow |x|\geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме $x\notin(-1;1).$ $$ y=arccos\left(\frac\right)+arccos\left(-\frac\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\notin (-1;1) \end $$ Строим график:

$б)\ y=arcctg(\sqrt)+arcctg(-\sqrt)$
Сумма арккотангенсов $arcctga+arcctg(-a)=\pi$, где $a\in\mathbb$
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: $x\geq 0$
$$ y=arcctg\left(\sqrt\right)+arcctg\left(-\sqrt\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\geq 0 \end $$ Строим график:

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctg\left(\frac\pi4\right),\ \ arcsin\left(\frac\pi4\right),\ \ arctg1 $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) $arccosx=arctgx$
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: $-1\leq x\leq 1$
Арккосинус ограничен $0\leq arccosx\leq \pi$, арктангенс $-\frac\pi2\leq arctgx\lt\frac\pi2$
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до $0\leq arctgx\lt \frac\pi2$ и $0\leq arccos x\lt \frac\pi2$ $$ arccosx=arctgx\Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq arctgx\lt\frac\pi2\\ 0\leq arccosx\lt\frac\pi2 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq x\\ 0\lt x\leq 1 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ 0\lt x\lt 1 \end $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для $cos(arctgx)$.
Выведем её. Пуcть $arctgx=\varphi$. Тогда $x=tg\varphi$ и $$ cos(arctgx)=cos\varphi=\sqrt>=\sqrt> $$ Получаем уравнение: $$ x=\sqrt>\Rightarrow x^2=\frac\Rightarrow x^2(1+x^2)=1\Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5,\ \ x^2=\frac<-1\pm\sqrt<5>> $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень $x^2=\frac-1>$
Откуда $x=\pm\sqrt<\frac-1>>$
По условию $0\lt x\lt 1$. Получаем $x=\sqrt<\frac-1>>$
Ответ: $\sqrt<\frac-1>>$

б) $arccos^2x+arcsin^2x=\frac<5\pi^2>$
Используем формулу для суммы: $arccosx+arcsinx=\frac\pi2$
Получаем: \begin arccos^2x+\left(\frac\pi2-arccosx\right)^2=\frac<5\pi^2>\\ arccos^2x+\frac<\pi^2>-\pi arccosx+arccos^2x=\frac<5\pi^2>\\ 2arccos^2x-\pi arccosx+\frac<\pi^2>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot 2\cdot \frac<\pi^2>=\pi^2-\frac89\pi^2=\frac<\pi^2>\\ arccosx=\frac<\pi\pm\frac\pi3>\Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi6\\ arccosx_2=\frac\pi3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\frac\pi6=\frac>\\ x_2=cos\frac\pi3=\frac12 \end \right. \end Ответ: $\left\<\frac12; \frac>\right\>$

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; - 1 ;
cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; - 1 ;
t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ - ∞ ; + ∞ ;
c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ - ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа - это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от - 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos - 3 2 = - 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка - 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса - от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи - ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

a r c sin - a = - a r c sin a , a ∈ - 1 , 1 ;
a r c cos - a = π - a r c cos a , a ∈ - 1 , 1 ;
a r c t g - a = - a r c t g a , a ∈ - ∞ , + ∞ ;
a r c c t g - a = π - a r c c t g a , a ∈ - ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При - 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin - a = - a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( - a ) - это угол (число) в пределах от - π 2 до π 2 , синус которого равен - a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что - a r c sin a лежит в тех же пределах от - π 2 до π 2 , что и a r c sin ( - a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( - a r c sin a ) = - a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство - π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на - 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ - a r c sin a ≥ - π 2 . Переписав его, получим - π 2 ≤ - a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( - a r c sin a ) = - a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin - a r c sin a = - sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin - a r c sin a = - sin a r c sin a = - a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos - a = π - a r c cos a при a ∈ - 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на - 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ - a r c cos a ≥ - π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π - a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π - a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π - arccos a = - a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π - arccos a = - cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π - arccos a = - cos ( a r c cos a ) = - a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства - возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin - 1 2 = - a r c sin 1 2 a r c cos - 5 5 7 = π - arccos 5 5 7 arctg - 1 = - arctg 1 arcctg ( - 3 ) = π - arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ - 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ - ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 - a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус - это число (угол), лежащее в пределах от - π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на - 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ - arccos a ≥ - π π 2 ≥ π 2 - arccos a ≥ - π 2 - π 2 ≤ π 2 - arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 - a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 - a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 - 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 - 2 2 + a r c cos 6 - 2 2 = π 2 a r c cos 6 - 2 2 = π 2 - a r c sin 6 - 2 2 a r c cos 6 - 2 2 = π 2 - π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

a r c sin ( sin α ) = α , - π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
a r c t g ( t g α ) = α , - π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при - π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a - число, лежащее в интервале от - 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при - π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от - π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия - π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное - , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Вот график арккосинуса:

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график - уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

- Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция - общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Читайте также: