Что называется модулем и аргументом комплексного числа кратко
Обновлено: 05.07.2024
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + i·b обозначается | a + i·b |, а также буквой r. Из чертежа видно, что:
Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + i·b и a - i·b имеют один и тот же модуль.
Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + i·b , называется аргументом комплексного числа a + i·b
Каждое не равное нулю комплексное число имеет бесчисленное множество аргументов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°·k, где k - любое целое число). Аргумент комплексного числа связан с его координатами следующими формулами:
Однако ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти аргумент. Для того чтобы найти аргумент комплексного числа, эти формулы надо использовать в совокупности, а также учитывать номер четверти, на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.
А это является формулой для расстояния между точками и .
Т.о., число - это расстояние между точками z1 и z2 на комплексной плоскости.
Пример. Найдем модули комплексных чисел:
Рассчитаем решение для всех 3-х случаев:
2) числа и являются чисто мнимыми, при этом . Значит, , т.е. , либо ;
3) для числа имеем . Поэтому .
Аргумент комплексного числа.
Формулу для определения аргумента комплексного числа z = x + iy, который задан в алгебраической форме, получаем, пользуясь связью декартовых и полярных координат точки M (x, y).
Для точек, которые не лежат на мнимой оси, то есть для z, у которых , получаем ; для точек мнимой положительной полуоси, то есть для z, у которых , получаем ; для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для z, у которых , получаем .
Аргумент числа является величиной неопределенной.
Определение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , то есть когда является числом действительным, у нас есть при и при .
При решение уравнения зависимо от четверти плоскости . Четверть, в которое расположена точка z, определяют по знакам и . В итоге имеем:
При решении примеров удобно пользоваться схемой:
Пример. Найти аргументы чисел:
Решим задачу для каждого из 3-х случаев:
1) числа и — действительные, причем , поэтому ;
2) числа и — чисто мнимые , причем , поэтому ;
3) для числа имеем , поэтому из находим ; так как при этом (точка находится во второй четверти, то получаем или .
Пример. Найти модуль и аргумент числа .
Находим . Т.к. , то есть точка расположена в 4 четверти, то из равенства получаем .
Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.
Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_ =13,\, \, z_ =4i,\, \, \, z_ =4+3i$.
Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt +b^ > $.
Для исходного комплексного числа $z_ =13$ получим $r_ =|z_ |=|13+0i|=\sqrt +0^ > =\sqrt =13$
Для исходного комплексного числа $\, z_ =4i$ получим $r_ =|z_ |=|0+4i|=\sqrt <0^+4^ > =\sqrt =4$
Для исходного комплексного числа $\, z_ =4+3i$ получим $r_ =|z_ |=|4+3i|=\sqrt +3^ > =\sqrt =\sqrt =5$
Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.
Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ - тригонометрическая форма;
- $z=r\cdot e^ $ - показательная форма.
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac<3\pi > $.
Готовые работы на аналогичную тему
1) Подставим данные $r=3;\varphi =\pi $ в соответствующие формулы и получим:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$ - тригонометрическая форма
$z=3\cdot e^
2) Подставим данные $r=13;\varphi =\frac<3\pi > $ в соответствующие формулы и получим:
$z=13\cdot (\cos \frac<3\pi > +i\sin \frac<3\pi > )$ - тригонометрическая форма
$z=13\cdot e^
Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:
1) $z=\sqrt \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$; 2) $z=\frac \cdot (\cos \frac<2\pi > +i\sin \frac<2\pi > )$; 3) $z=\sqrt \cdot e^
Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно
\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi );\] \[z=r\cdot e^ .\]
1) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$ получим $r=\sqrt ;\varphi =2\pi $.
2) Для исходного комплексного числа $z=\frac \cdot (\cos \frac<2\pi > +i\sin \frac<2\pi > )$ получим $r=\frac ;\varphi =\frac<2\pi > $.
3) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt \cdot e^
4) Для исходного комплексного числа $z=13\cdot e^
Аргумент $\varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:
На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:
или решают систему уравнений
Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac =arctg0=0.\]
Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac =arctg(\infty )=\frac<\pi > .\]
Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):
Из курса тригонометрии известно, что $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac > $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $\varphi =\frac<\pi > $.
Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac =arctg(-\infty )=\frac<3\pi > .\]
Аргумент вещественных чисел равен соответственно:
- 0 для положительного числа;
- $\pi $ для отрицательного числа.
Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:
- $\frac<\pi >$ с положительной мнимой частью;
- $\frac<3\pi >$ с отрицательной мнимой частью.
Определить модуль и аргумент комплексных чисел, изображенных на комплексной плоскости (рис.)
Число $z_ $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $\varphi =0$ по примечанию 2.
Число $z_ $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $\varphi =\pi $ по примечанию 2.
Число $z_ $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac<\pi > $ по примечанию 3.
Число $z_ $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac<3\pi > $ по примечанию 3.
Число $z_ $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $\sqrt +2^ > =\sqrt =\sqrt =2\sqrt $, т.е. $r=2\sqrt $, а аргумент $\varphi =\frac<\pi > $ по свойству прямоугольного треугольника.
Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).
Комплексному числу $z=a+b i$ будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка $(a ; b)$: $z=a+b i \leftrightarrow(a ; b)$ (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.
Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа $z_=2+3 i$, $z_=i$ и $z_=-2$ .
Модуль комплексного числа
Комплексное число также можно изображать радиус-вектором $\overline$ (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число $z=a+b i$, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Читайте также: