Что называется касательной к графику функции в точке кратко

Обновлено: 19.05.2024

Чтобы разобраться с этой темой, нужно знать что такое производная.

Сейчас проверим, знаешь ли ты ее… 🙂

Найди приращение функции $ y=^>+2x+3$ при приращении аргумента, равном $ \Delta x$.

Должно получиться $ \Delta y=\Delta x\left( \Delta x+2x+2 \right)$.

А теперь найди производную функции $ y\left( x \right)=3^>\sqrt$ в точке $ <_>=\frac<<\pi >^>$.

Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше…

А если ты справился, то в путь!

Уравнение касательной к графику функции — коротко о главном

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции $ f\left( x \right)$ в точке $ _>$:

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Алгоритм	Пример: $ f\left( x \right)=^>-2x+3$, $ _>=3$
1. Вычислим $ f\left( _> \right)$	$ f\left( _> \right)=f\left( 3 \right)=^>-2\cdot 3+3=6$
2. Найдем формулу производной функции $ ’\left( x \right)$	$ ’\left( x \right)=<<\left( ^>-2x+3 \right)>^<\prime >>=2 -2$
3. Вычислим $ ’\left( _> \right)$	$ ’\left( _> \right)=’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4$
4. Подставим $ _>,\text< >f\left( _> \right)$ и $ ’\left( _> \right)$ в формулу уравнения касательной $ y=’\left( _> \right)\cdot \left( x-_> \right)+f\left( _> \right)$	$ \beginy=’\left( _> \right)\cdot \left( x-_> \right)+f\left( _> \right)=\\\text< >=4\left( x-3 \right)+6=4 -12+6=\\\text< >=4 -6\end$

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график какой-то функции $ y=f\left( x \right)$:

Выберем на линии графика некую точку $ A$. Пусть ее абсцисса $ _>$, тогда ордината равна $ f\left( _> \right)$.

Затем выберем близкую к точке $ A$ точку $ B$ с абсциссой $ _>+\Delta x$; ее ордината – это $ f\left( _>+\Delta x \right)$:

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси $ Ox$ как $ \alpha $.

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол $ \alpha $?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – $ 180<>^\circ $, а минимально возможный – $ 0<>^\circ $.

Значит, $ \alpha \in \left[ 0<>^\circ ;180<>^\circ \right)$. Угол $ 180<>^\circ $ не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с $ 0<>^\circ $, а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку $ C$, чтобы прямая $ AC$ была параллельна оси абсцисс, а $ BC$ – ординат:

По рисунку видно, что $ AC=\Delta x$, а $ BC=\Delta f$.

Тогда отношение приращений:

(так как $ \angle C=90<>^\circ $, то $ \triangle ABC$ – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать $ \Delta x$.

Тогда точка $ B$ будет приближаться к точке $ A$. Когда $ \Delta x$ станет бесконечно малым $ \left( \Delta x\to 0 \right)$, отношение $ \frac$ станет равно производной функции в точке $ _>$.

Что же при этом станет с секущей?

Точка $ B$ будет бесконечно близка к точке $ A$, так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки $ A$, но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси $ \displaystyle Ox$ назовем $ \varphi $. Тогда получится, что производная

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент $ \displaystyle k$? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью $ \displaystyle Ox$!

То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы $ \alpha $ и $ \displaystyle \varphi $ тупые. А приращение функции $ \Delta f$ – отрицательное.

Снова рассмотрим $ \triangle ABC$: $ \angle B=180<>^\circ -\alpha \text< >\Rightarrow \text< >\ \angle B=-\ \alpha $.

Получаем: $ \frac=-\ \alpha \text< >\Rightarrow \text< >\frac=\ \alpha $, то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку $ \displaystyle B$ к точке $ \displaystyle A$, и секущая $ \displaystyle AB$ примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке $ \displaystyle A$.

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $ _>$.

Найдите значение производной функции $ \displaystyle \mathsf\left( x \right)$ в точке $ _>$.

Решение.

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

$ \displaystyle f’\left( x \right)=k=\ \varphi$.

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси $ \displaystyle Ox$ – это $ \displaystyle \angle BAC$. Найдем тангенс этого угла:

Таким образом, производная функции $ \displaystyle \mathsf\left( x \right)$ в точке $ _>$ равна $ \displaystyle 1,2$.

Ответ: $ \displaystyle 1,2$.

Теперь попробуй сам.

Еще статью на геометрический смысл производной ты найдешь здесь: «Геометрический смысл производной«.

Решим два примера

Пример 1. На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $ _>$. Найдите значение производной функции $ \displaystyle \mathsf\left( x \right)$ в точке $ _>$;

Пример 2. На рисунке изображен график функции $ \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $ _>$. Найдите значение производной функции $ \displaystyle \mathsf\left( x \right)$ в точке $ _>$.

Решение примера №1

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

$ \displaystyle k=f’\left( x \right)=\ \beta$.

Достроим треугольник со стороной $ \displaystyle AC$, лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

Он тупой $ \left( >90<>^\circ \right)$, поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла).

Рассмотрим кривую $y=f(x)$.
Выберем на ней точку A с координатами $(x_0,y_0)$, проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке $x_0$: $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: $(y_B-y_A)=k(x_B-x_A)$.
Для $A(x_0,y_0),\ B(x,y)$ получаем: \begin (y-y_0)=k(x-x_0)\\ y=k(x-x_0)+y_0\\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end

Уравнение касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная $f'(x_0)=a\ne\infty$ - существует и конечна.

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде $y=kx+b$, нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace_x+\underbrace_ $$

Уравнение касательной с угловым коэффициентом: \begin y=kx+b\\ k=f'(x_0),\ \ b=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0 \end

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой $y=f(x)$, абсцисса точки касания $x_0$.
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания $f(x_0)$
Шаг 2. Найти общее уравнение производной $f' (x)$
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания $f'(x_0 )$
Шаг 4. Записать уравнение касательной $y=f' (x_0)(x-x_0)+f(x_0)$, привести его к виду $y=kx+b$
На выходе: уравнение касательной в виде $y=kx+b$

п.3. Вертикальная касательная

В случае, если производная $f'(x_0)=\pm\infty$ - существует, но бесконечна, в точке $x_0$ проходит вертикальная касательная $x=x_0$.

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода $x_0\notin D$, в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку $x_0\in D$, входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку $(x_0,y_0)$.

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида $y=\sqrt[n]$.

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции $f(x)=2x^2+4x$
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=-2 \end \right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0).
Касательная в точке $x_0=0$: \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot 0+4=4\\ y=4(x-0)+0=4x \end Касательная в точке $x_0=-2$: \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot (-2)+4=-4\\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 \end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой $2x+y-6=0$. Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: $y=-2x+6\Rightarrow k=-2$.
Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже $k=-2$. Получаем уравнение: \begin f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end Точка касания $x_0=-\frac32$ \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end Уравнение касательной: \begin y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end Или, в каноническом виде: \begin 2x+y+\frac92=0 \end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой $k=0$.
Получаем уравнение: $f'(x_0)=0$. \begin 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end Точка касания $x_0=-1$ \begin f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end Уравнение касательной: \begin y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end

Ответ: а) $y=4x$ и $y=-4x-8$; б) $y=x-\frac98$; в) $2x+y+\frac92=0$; г) $y=-2$

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции $f(x)=\frac-x$ перпендикулярна прямой $y=11x+3$. Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1=11$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2=-\frac=-\frac$ \begin f'(x)=\left(\frac\right)'-x'=\frac-1=\frac=\\ =\frac=- \frac \end В точке касания: \begin f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac=-\frac\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-14\\ x=8 \end \right. \end
Уравнение касательной при $x_0=-14$ \begin f(x_0)=\frac+14=\frac+14=-18+14=-4\\ y=-\frac(x+14)-4=-\frac \end Уравнение касательной при $x_0=8$ \begin f(x_0)=\frac-8=\frac-8=-2\\ y=-\frac(x-8)-2=-\frac \end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение $y=-\frac$
и точка касания (8;-2), уравнение $-\frac$

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам $y=x^2-5x+6$ и $y=x^2+x+1$. Укажите точки касания.

Найдем производные функций: \begin f_1'(x)=2x-5,\ \ f_2'(x)=2x+1 \end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b - для второй.
Запишем уравнения касательных $g_1(x)$ и $g_2(x)$ через эти переменные. \begin g_1(x)=f_1'(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\\ \\ g_2(x)=f_2'(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) \end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: \begin \begin 2a-5=2b+1\\ 6-a^2=1-b^2 \end \Rightarrow \begin 2(a-b)=6\\ a^2-b^2=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ (a-b)(a+b)=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ a+b=\frac53 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin 2a=3+\frac53\\ 2b=\frac53-3 \end \Rightarrow \begin a=\frac73\\ b=-\frac23 \end \end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2\cdot\frac73-5=-\frac13,\ \ b=6-a^2=6-\frac=\frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-\frac x3+\frac59 $$
Точки касания: \begin a=\frac73,\ \ f_1(a)=\left(\frac73\right)^2-5\cdot\frac73+6=\frac-\frac+6=\frac=-\frac29\\ b=-\frac23,\ \ f_2(b)=\left(-\frac23\right)^2-\frac23+1=\frac49-\frac23+1\frac=\frac79 \end
Ответ: касательная $y=-\frac x3+\frac59$; точки касания $\left(\frac73;-\frac29\right)$ и $\left(-\frac23;\frac79\right)$

Пример 5*. Докажите, что кривая $y=x^4+3x^2+2x$ не пересекается с прямой $y=2x-1$, и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: $x^4+3x^2+2x=2x-1$ \begin x^4+3x^2+1=0\Rightarrow D=3^2-4=5\Rightarrow x^2=\frac<-3\pm\sqrt<5>> \end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, $x\in\varnothing$ - решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом $k=2$, то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой $y=2x-1$.
Строим уравнение касательной. По условию: $f'(x)=4x^3+6x+2=2$ \begin 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 2x^2+3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=-\frac32 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x\in\varnothing \end \right. \Rightarrow x=0 \end Точка касания $x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0$.
Уравнение касательной: $y=2(x-0)+0=2x$

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми:
$y=2x$ и $y=2x-1$.
Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую $y=2x-1$ имеет угловой коэффициент $k=-\frac12$, его уравнение: $y=-\frac12 x+b$. Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и $b=0$.

Уравнение перпендикуляра: $y=-\frac x2$.
Находим точку пересечения прямой $y=2x-1$ и перпендикуляра $y=-\frac x2$: \begin 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac=-0,2 \end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние $OA=\sqrt=0,2\sqrt=\frac>$
Ответ: $\frac>$

Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке. Определения, подкасательной и поднормали. Угол между двумя кривыми. Полезные формулы аналитической геометрии. Примеры решения задач на составления уравнений касательной и нормали, и на вычисление угла между кривыми.

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Угол между кривыми равен наименьшему углу между касательными.

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

На экзаменах по дисциплинам с физико-математическим уклоном или при расчетах встречается тип задач о касательной к графику функции.

Однако следует разобраться в основных терминах и соотношениях.

Специалисты рекомендуют пользоваться специальным алгоритмом, позволяющим правильно находить точку касания прямой с какой-либо фигурой.

Общие сведения

Для решения задач следует разобрать основные понятия, определения, формулы и свойства касательной.

Кроме того, очень важно понять ее геометрический смысл, поскольку без него будет сложно разобраться в более сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.

Определения и понятия

У касательной есть определенный параметр — угол наклона (а).

Его необходимо отсчитывать от оси абсцисс (только положительное направление) к прямой, заданной графиком y = kx + b.

От него зависит ее расположение.

Математики сделали некоторые выводы, которые основываются на значении углового коэффициента:

В первом, втором и третьем случаях коэффициент является положительным, а в последнем — отрицательным. Эти факты следует учитывать при решении задач. Касательная прямая может являться и секущей, т. е. соприкасаться с графиком функции сразу в двух и более точках. Следует отметить, что при параллельности прямой оси ОХ (y = b), она может пересекать функцию бесконечное число раз.

Существует еще одно определение: касательной к функции вида y = f(x) в точке (х0, f(x0)) является прямая, которая проходит через эту точку с тем условием, что отрезок имеет множество значений, близких к ней (х -> x0).

Геометрический смысл

Рисунок 1. Геометрический смысл.

Соотношение, которое было получено выше, называется производной. Если к графику в точке проведена секущая или касательная, то тангенс угла будет равен самой производной заданной функции в точке с координатой х0.

Из этого определения можно сделать вывод о существовании производной. Если значение последней равно 0, то, следовательно, не существует общих точек с заданной фигурой.

Касательные к фигурам и графикам

При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.

Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.

Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.

В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.

Одна и несколько окружностей

Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.

Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.

Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:

Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц — R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц — R.

В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.

Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.

Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.

Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 — х1) + b(y2 — у1) = R2 — R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 — х1)^2 + (y2 — у1)^2].

Эллипс, гипербола и парабола

Пусть задан эллипс с полуосями a и b.

Его центром является точка с координатами (xц;уц). Уравнение, описывающее фигуру имеет такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] + [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Необходимо выразить переменную y. Функция будет состоять из двух полуэллипсов: y = (b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц. Касательные к геометрической фигуре могут быть параллельными оси ОХ или ОУ.

В некоторых случаях график задан уравнениями кривых, к которым относятся гипербола и парабола. Пусть первая имеет координаты центра (xц;уц) с вершинами (xц+а;уц) и (xц-a;уц). Ее уравнение принимает такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Если же ее вершины имеют такие координаты (xц;уц+b) и (xц;уц-b), то она описывается следующим равенством [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = -1. В последнем равенстве меняется знак. При решении нужно разбить на две объединенные функции:

В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором — абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.

Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 — 4a(c — x).

В зависимости от его значения находятся корни:

Существует несколько типов задач на нахождение уравнения прямой, которая соприкасается с заданным графиком функции. Самой простой является задача со следующей формулировкой: прямая является касательной к графику функции. Найдите все точки касания. В этом случае задается уравнение графика функции и прямой. Некоторые задания считаются более сложными. В них необходимо написать уравнение касательной или касательных.

Упражнения и ход вычислений

Нужно написать уравнение прямой-касательной к y(x) = x^3 — 2x^2 + 3 в т. xо = 2. Следует воспользоваться следующим алгоритмом:

Одним из типов задач является нахождение точек, лежащих на ОХ, в которых прямые (касательные) || OX. Задана функция f(x) = x^3 — x^2 — 3x + 7. Угол наклона равен 0 градусов, т. к. касательная || OX (производная в точках касания равна 0).

Алгоритм решения следующий:

Рекомендуется оставить в таком виде, поскольку при вычислении кубического корня появятся некоторые погрешности. В этих примерах необязательно составление графика.

Таким образом, геометрический смысл уравнения касательной к функции — производная. Следует изучить основные понятия, формулы и разобрать решение типовых задач. Также нужно повторить таблицу производных функций.

Алгебра Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

Алгебра Решение систем линейных уравнений алгоритмы общих и частных методов нахождения корней, основные правила и теоремы и примеры их использования, онлайн калькулятор

Читайте также:

Алгоритм	Пример: \( f\left( x \right)=^>-2x+3\), \( _>=3\)
1. Вычислим \( f\left( _> \right)\)	\( f\left( _> \right)=f\left( 3 \right)=^>-2\cdot 3+3=6\)
2. Найдем формулу производной функции \( ’\left( x \right)\)	\( ’\left( x \right)=<<\left( ^>-2x+3 \right)>^<\prime >>=2 -2\)
3. Вычислим \( ’\left( _> \right)\)	\( ’\left( _> \right)=’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\)
4. Подставим \( _>,\text< >f\left( _> \right)\) и \( ’\left( _> \right)\) в формулу уравнения касательной \( y=’\left( _> \right)\cdot \left( x-_> \right)+f\left( _> \right)\)	\( \beginy=’\left( _> \right)\cdot \left( x-_> \right)+f\left( _> \right)=\\\text< >=4\left( x-3 \right)+6=4 -12+6=\\\text< >=4 -6\end\)

Что называется касательной к графику функции в точке кратко

Уравнение касательной к графику функции — коротко о главном

Геометрический смысл производной

п.2. Алгоритм построения касательной

п.3. Вертикальная касательная

п.4. Примеры

Основные формулы

Определения

Полезные формулы из аналитической геометрии

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Вывод формулы для угла между кривыми

Общие сведения

Определения и понятия

Геометрический смысл

Касательные к фигурам и графикам

Одна и несколько окружностей

Эллипс, гипербола и парабола

Рекомендации специалистов

Упражнения и ход вычислений